人教A版高中数学选修3-3-8.2 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型-教案设计

欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
【教学目标】
1．掌握庞加莱模型。

2．熟练运用庞加莱模型解决具体问题。

3．亲历庞加莱模型的探索过程，体验分析归纳得出庞加莱模型在现实中的应用，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】
重点：庞加莱模型的理解。

难点：庞加莱模型的实际应用。

【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习庞加莱模型，这节课的主要内容有庞加莱模型，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解庞加莱模型内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习平面庞加莱模型，它的具体内容是：
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：证明图中的双曲线l与l1在双曲平面D上不想交。

解析：教师板书
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。

三、课堂总结
（1）这节课我们主要讲了庞加莱模型的理解与应用：
（2）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测
1．在欧氏平面上取一个圆记为C，我们规定圆内的点（不考虑圆外和圆周上点）称为“非欧点”，圆内弦称为“非欧直线”。

这样在圆C内部就建立起一个双曲几何的模型，这个模型我们称为克莱因（Klein）模型。

你能说明在这个模型内，“过直线外一点，有两条直线与该直线不相交”这个结论成立吗？
2．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。

欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
【学习目标】
知识与能力：
1．感知庞加莱模型在现实中的应用。

2．掌握庞加莱模型。

3．了解庞加莱模型的内涵。

过程与方法：
1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。

2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。

情感态度与价值观：
1．让学生从类比中学习新的知识。

2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。

3．培养合作交流意识。

【学习重难点】
重点：庞加莱模型的理解。

难点：庞加莱模型的应用。

【学习过程】
一、自主预习
（一）知识点一：欧式几何
内容：_______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________。

（二）知识点二：椭圆几何
内容：________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________。

（三）知识点三：椭圆几何
内容：________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________。

二、探究思考
1．在欧氏平面上取一个圆记为C，我们规定圆内的点（不考虑圆外和圆周上点）称为“非欧点”，圆内弦称为“非欧直线”。

这样在圆C内部就建立起一个双曲几何的模型，这个模型我们称为克莱因（Klein）模型。

你能说明在这个模型内，“过直线外一点，有两条直线与该直线不相交”这个结论成立吗？
三、习题检测
1．证明图中的双曲线l与l1在双曲平面D上不想交。

2．证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。

3．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。

【学习小结】
1．这节课我们主要学习哪些知识？
2．这节课我们主要学习哪些解题方法？步骤是什么？。