04 反比例函数比例系数k与图像的关系

反比例函数y＝k

x （k≠0）比例系数k与图像的关系

性质1：设y＝k1

x （k1＞0），y＝

x （k2＞0），y＝

x （k3＞0）的图像如

图1所示，则有k1＜k2＜k3，即当k＞0时，反比例函数的图像越靠近y轴，k的值越小，越远离y轴，k的值越大．

性质2：设y＝k1

x （k1＜0），y＝

x （k2＜0），y＝

x （k3＜0）的图像如

图2所示，则有k1＞k2＞k3，但|k1|＜|k2|＜|k3|，即当k＜0时，反比例函数的图像越靠近y轴，k的值越大，越远离y轴，k的值越小．

一次函数——待定系数法专题训练

一次函数——待定系数法专题训练一、基础训练 1、已知 y a +与x a +（a,b 为常数）成正比例，且当x=3时，y=5；当x=2时，y=2，求y 与x 的函数关系式 2、已知以此函数图像经过点A （3，4）和B （－1，2）（1）求一次函数的解析式（2）求OAB 的面积 3、已知：直线1l :24y x =+与直线2l 交于点A （－1，a ），且直线2l 与直线1y x =-没有交点，求直线2l 的函数解析式 4、已知直线y kx b =+经过P （3，2），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 和点B ，若OA+OB ＝12，求直线的函数解析式 5、若一次函数y kx b =+，当自变量的取值为2x -≤≤6时，对应的函数值为119y -≤≤，求函数解析式二、能力提高 6、将直线1l ：24y x =-向左平移5个单位长度得到直线2l （1）求直线2l 的函数解析式（2）若直线2l 与直线3l ：2y kx =-及y 轴围成三角形面积为12个平方单位，求直线3l 的函数解析式（3）若直线2l 与直线3l ：2y kx =-交于第三象限，2l 、3l 及x 轴围成三角形的面积为9个平方单位，求直线3l 的函数解析式

7、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+（k<0,b<0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于点A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若A 的横坐标为1 2 - ，求这个一次函数的解析式 8、如图所示，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，a ）在第一象限内，直线PA 交y 轴与点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，6AOP S = （1）求COP S （2）求点A 的坐标及a 的值（3）若BOP DOP S S = ，求直线BD 的解析式 9、如图所示，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，另一直线y kx b =+经过点C （1，0），且把 AOB 分成两部分，若 AOB 被分成的两部分的面积比为1：5，求k, b 的值 10、如图所示，正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴正半轴上，A 点坐标为（1，0）（1）经过点C 的直线48 33 y x = -与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积（2）若直线经过点E 且将正方形ABCD x=4

反比例函数比例系数k的几何意义探究教学设计

通过师生互动的形式再次呈现本节课的主要知识。概括是课堂教学的核心，适时的总结利于学生对知识学习的升华。反比例函数系数k 的几何意义探究教学任务分析流程、思路与理念流程思路通过简单题目复习回顾反比例函数的图像和性质，为本节课的学习做准备。并以最后一题面积问题，有特殊到一般引入新课。分两点位于反比例函数图像同一支和不同支，及函数在一、三象限和二、四象限等不同情况进行分类探究反比例函数系数的几何意义。通过两个不同类型的例题让学生灵活运用反比例函数的几何意义。理念从旧知识到新知识，充分运用已学过的反比例函数的图像和性质，为本节课的探究做好准备，并以最后一题面积的求解引入新课。让学生感受从特殊到一般的数学思考方法。让学生通过讨论和探究过程体会反比例函数系数的几何意义，进一步体会分类讨论和数形结合的数学思使学生正确理解反比例函数系数的几何意义及函数交点的意义，规范学生的解题步骤，让学生进一步体会数形结合和转化的思想。通过技能的训练，巩固反比例函数系数的几何意义。通过分层递进练习，让每个学生都有可以做的题目，使不同程度的学生通过练习得到不同程度的发展和提高。体现人人学不同数学的新课程理念。

教学过程设计

k 探究二.如图,若A,C 为y＝x k（k为常数，k≠ 0）上的任两点过A,C 分别作x轴（或y 轴）的垂线, 垂足分别为B, D , 则AOB 和 COD 的面积相等吗?为什么? k 小结:从反比例函数y＝x（k 为常数，k≠ 0）的图象上任选 x 点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积S＝1 2 xy 三、典型例题例一: 已知反比例函数y＝ m－7 m－7的图象的一支位于第一 x 象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求m 的值．例二:如图，反比例函数k y 的图象与一次函数x y mx b 的图象交于两点A(1,3),B(a, 1)． 1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； 2）根据图象，直接回答：当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ ABO 的面积；教师提问，学生独立思考，教师引导学生正确运用反比例函数系数的几何意义解决问题。教师应关注：（1）学生是否直接应用反比例函数系数的几何意义解决解答题；（2）学生是否理解函数交点要同时满足一次函数和反比例函数的解析式，并将几何问题转化为代数问题，从而求函数解析式；（2）学生是否灵活运用数形结合的思想解决问题。使学生正确理解反比例函数系数的几何意义及函数交点的意义，规范学生的解题步骤，让学生进一步体会数形结合和转化的思想。

知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义

一、选择题 1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是y=- ．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：待定系数法．分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=- ，故答案为：y=- ，点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）考点：反比例函数图象上点的坐标特征。专题：函数思想。分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数， ∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6，故本选项错误；故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC 的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝1 2 |k|．解答：解：根据题意可知：S△AOB＝1 2 |k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6．故选C．点评：本题主要考查了反比例函数 k y x =中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为1 2 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

用待定系数法求函数表达式

21.3用待定系数法确定一次函数表达式【教材分析】本节是冀教版数学八年级下册第二十一章第三节内容.在此之前学生已经能够根据实际问题的意义写出函数表达式,并且知道一次函数的意义及其性质,本节是在此基础上学习确定一次函数的表达式的方法,这一节内容在本章及初中的函数学习中都占有重要地位. 【教学目标】（1）知识与技能：1、能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法. 2、会用解二元一次方程组的方法求y=kx+b中的待定系数k与b. （2）过程与方法：经历观察、猜测、探索、合作交流等过程，锻炼学生的总结归纳能力，培养学生数形结合的数学思维. （3）情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神、合作精神. 【教学重难点】重点：利用待定系数法求一次函数的表达式难点：待定系数法的探索过程【教学方法和手段】 1、综合采用启发式、讨论式、探究式的教学方法 2、借助多媒体课件运用联想、猜测、观察、讨论等多种教学手段【教学过程设计】 (一) 创设情境利用多媒体课件出示温故而知新的画面,出示复习问题 1 、请你给大家说一说一次函数和正比例函数的意义 2、请你为大家描述一下一次函数和正比例函数图像的特点 3 、请你在平面直角坐标系中画出正比例函数y=2x和一次函数y=2x+3的图像（设计意图:问题1、2 为本课课题服务的.在质疑中发现问题,在问题中展开教学,可以激活学生的数学思维,在解决问题中深化学生对知识的理解.） (二)尝试与探索通过正比例函数和一次函数表达式,我们可以画出它们的函数图像;反过来,如果给你一个函数图像,你能求出它的函数表达式吗?我们一起来看下面两个问题. 1、抛出问题 (1)现有位同学画了如图所示的一条直线，但是他忘记了写表达式，

反比例函数中“K”与面积专题4

专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景反比例函数y＝k x 中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数y＝k x 图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。二：基本图形 S四边形PEOF =|K| S△ABO=|K|

S△ABM=|K| S△ABC=2|K| S四边形ABCD=2|K| S△AOC=S四边形ACEF

2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________ 3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1 +S 2 =________

4、如图，点A是反比例函数y＝k x 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值 5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝k x (x﹥0)的图象上,连接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则 6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则 S ABCD

7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 _____。 8、(陕西2011中考)如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于点A和点B，若点C 是x轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=____ 。 9、如图，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上，点B在y轴上，若将△OAB沿x轴正方向平移，当点B落在反比例函数的图象上时，点A 的坐标为_____。。

二次函数待定系数法求函数解析式

精心整理专题训练求二次函数的解析式一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.

9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.

3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2

一次函数待定系数法

用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与实际问题姓名一．选择题 1.直线y=4x+b 经过点（2,1），则b 的值为（） A ．1 B.5 C.-5 D.-7 2．一次函数的图象经过点A （-2，-1），且与直线y=2x-3平行，?则此函数的解析式为（） A ．y=x+1 B.y=2x+3 C ．y=2x-1 D ．y=-2x-5 3．已知一次函数y=kx+b ，当x=1时，y=2，且它的图象与y?轴交点的纵坐标是3，则此函数的解析式为（） A ．y=x+3 B ．y=2x+3 C ．y=-x+3 D ．不能确定 4. 将直线y=2x 向右平移2个单位所得的直线解析式为（） A .y=2x-2 B. y=2x+2 C. y=2（x-2） D. y=2（x+2） 5.一根弹簧的原长为12 cm ，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1kg 就伸长1 2 cm ，写出挂重后的弹簧长度y （cm ）与挂重x （kg ）之间的函数关系式（） A 、y = 1 2 x + 12（0＜x ≤15） B 、y = 1 2 x + 12（0≤x ＜15） C 、y = 12 x + 12（0≤x ≤15） D 、y = 1 2 x + 12（0＜x ＜15） 6.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y （元）与销售量x （件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（） A ．①② B ．②③④ C ．②③ D ．①②③ 7.在一定范围内，某产品的购买量y （吨）与单价x （元）满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，如客户购买400吨，单价为（） A ．820元 B.840元 C.860元 D.880 二．填空题 1．已知一次函数的图象经过点A （1，4）、B （4，2），?则这个一次函数的解析式为___________． 2．如图1，该直线是某个一次函数的图象，?则此函数的解析式为_________．图 1 图 2

《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义

《反比例函数》微专题 ——比例系数k 的几何意义姓名：一、课前热身，提炼模型 1.如图，点P 是双曲线x y 4 =上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为。第1题图第2题图第3题图 2.如图，点P 是双曲线x y 4 - =上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为。 3.如图，点P 是双曲线x k y = 上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为。二、探索新知，深化模型例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为。

变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为。变式2.如图，点A 是双曲线x y 4 - =上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为。三、巩固提高，运用模型例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x k y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为。

变式.如图，反比例函数x k y = （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为。四、课堂小结，知识升华通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？

五、中考链接，能力提升如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x k y = （k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________．（用含m 的代数式表示）

反比例函数比例系数k的几何意义

反比例函数比例系数k的几何意义反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线, 所得矩形面积为│k│ 1、如图，反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC △的面积为（） A．8 B．6 C 2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝ 2 x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小 3、如图12，A、B是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为 S，则（） A．2 S=B．4 S=C．24 S < 4、如图，已知双曲线)0 k( x k y＞ =经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC 的面积为3，则k＝____________． 5、如图5所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n）在函数y= x 9 （x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2， △P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+… y n= 。 6、如图，已知点A、B在双曲线 x k y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P 是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝． 7、如图，在第一象限内,点P（2，3）,M()2,a是双曲线)0 (≠ =k x k y上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为 8、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 1 y x =（0 x>）的图象上，则点E的坐标是（，）. 9、如图，点A、B是双曲线3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影，则 12 S S +=． 10、如图，已知双曲线(0) k y k x =<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6 -，4），则△AOC的面积为（） A．12 B．9 C．6 D．4 11、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 12、如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点 D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点．以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、 E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（A） A．点G B．点E C．点D D．点F 13、已知点A在双曲线y= 6 x 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC 的面积=，（2）△ABC的周长为 14、如图，一次函数y ax b =+的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 k y x =的图象相交于C，D 两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF；④AC BD =．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）（第11题）第3题第5题图第6题图第8题图9题图

应用反比例函数中k的几何意义解题举例

反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=x k ，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||2 1 k S AOM = ?. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9 y x = 的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析四边形OBAC 是正方形及反比例函数9 y x =的图象在第一象限相交于点A ，则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。将点A （3，3，）代入直线得y=3 2 x+1。 2.特殊点组成图形的面积例2如图3，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．解析由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影， ∴12S S +=2＋2＝4。例3如图4，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意图2 图3

两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S > 解析 ∵A 、B 是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×2 1 xy=4. 3、求字母的值例4如图5，直线y=mx 与双曲线y= x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ?=2S △AOM =2×2 1xy=xy=2 ∴k=2。例5如图6，已知双曲线)0k (x k y ＞= 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．解析：由双曲线)0k (x k y ＞= 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，设点D 的坐标（x,y ），又DE ∥BA, ∴点B 的坐标为（2x,2y ）， ∵△OBC 的面积3, ∴ 21OA.AB=21 ×2x×2y=2xy=2k=3, ∴k=2 3 . 4、求线段的长度例6如图7，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x = 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为（保留根号）．解析：∵AOB △的面积为1，图 5 图6

反比例函数的图像和性质.docx

《反比例函数的图像和性质（1）》教学设计第一部分教学设计一、内容和内容解析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质．反比例函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础．反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质．反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在．反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量、之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次

函数待定系数法

函数待定系数法教学设计教学目标 1.理解待定系数法； 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 3、体会用"数形结合"思想解决数学问题．教学重难点待定系数法确定一次函数解析式教学过程一、提出问题，创设情境一次函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，如果知道了k 与b 的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k 和b 呢？问题1 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时，y ＝-3．能否写出个一次函数的解析式呢？根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y ＝kx ＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k 与b 的值．由已知条件x ＝-2时，y ＝-1，得 -1＝-2k ＋b ．由已知条件x ＝3时，y ＝-3，得 -3＝3k ＋b ．两个条件都要满足，即解关于x 的二元一次方程解得 k=-0.4,b=-1.8 所以，一次函数解析式为． y=-0.4x-1.8 问题2 已知弹簧的长度y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x 、y 有什么关系？二、导入新课上题可作如下分析：已知y 是x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是y ＝kx ＋b 的形式，所以要求的就是系数k 和b 的值．而两个已知条件就是x 和y 的两组对应值，也就是当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k 与b 的二元一次方程组，进而求得k 与b 的值．解设所求函数的关系式是y ＝kx ＋b(k≠0),由题意，得 ?? ?+=+?=b k b k 42.706 解这个方程组，得 ???==6 3.0b k 所以所求函数的关系式是y ＝0.3x ＋6．(其中自变量有一定的范围) 讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k 和b 的过程，转化为关于k 和b 的二元一次方程组的问题． 2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．问题3 若一次函数y ＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m 的值．

用待定系数法求一次函数

教学内容:用待定系数法求函数解析式教学目标 1.理解待定系数法； 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题． 3、体会用“数形结合”思想解决数学问题重点难点重点:待定系数法确定一次函数解析式难点：待定系数法确定一次函数解析式预习导学一.自学指导：自学课本对应的内容，独立完成下列问题。 1. 已知一个一次函数当自变量x ＝-2时，函数值y ＝-1,当x ＝3时， y ＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？ 2.若直线y ＝-kx ＋b 与直线y ＝-x 平行，且与y 轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式. 解 :因为直线y ＝-kx ＋b 与直线y ＝-x 平行，所以k ＝-1,又因为直线与y 轴交点的纵坐标为-2,所以b ＝-2,因此所求的直线的表达式为y ＝-x -2. 归纳：一次函数解析式的方法.步骤：（1）方法：待定系数法（2）步骤：① 设：设一次函数的解析式为y=kx+b ②列：将已知条件中的x,y 的对应值代入解析式得 K ,b 的方程组。 ③解：解方程组得x y 的值。 ④写：写出直线的解析式。 1.已知正比例函数y=kx 的图象经过点P(-1，2),则其解析式为 2.已知直线经过点A （0，2）、B(3，0)两点，求其解析式解：设直线的解析式为y=kx+b,由题意得 ???+=-+-=-. 33,21b k b k ???????-=-=59 52b k 解5 952--=x y 所以，一次函数解析式解：设这个一次函数为:y ＝kx ＋b (k ≠0），依题意，得：

一 .小组合作 1.已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（3，- 1），且与直线y=4x-3的交点在Y 轴上. (1).求这个函数的解析式（2）.此一次函数的图象经过哪几个象限？（3）.求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积？点拨：本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，解答本题需要注意有两种情况，不要漏解，要分类讨论。 2.甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地．l1，l2分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求l1 、 l2的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）；（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地该车比另一辆车早多长时间到达B 地？点拨：解决此类问题的通常方法是理解两个函数交点的意义，先用待定系数法求出解析式。再解两个解析式组成的方程组，从而解决问题课堂小结: 本节课你收获到什么？求解析式的方法方法：待定系数法步骤：思想：数形结合课后作业: 做基础训练的基础夯实部分 0×K+b=2 3k+b=0 { b=2 K= - 23{ 2 3∴所求解析式为 y= - x+2 解：设直线的解析式为y=kx+b,由题意得

反比例函数比例系数的几何意义

反比例函数比例系数的几何意义 1．如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．Π 1题图3题图4题图5题图 2．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（） A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小 C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2 D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值 3．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（） A．4B．6C．4D．12 4．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝（a＞0，x＞0），y2＝（b＞0．x＞0）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3 5．如图，函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，P A∥y轴交l1于点A，PB∥x轴，交l1于点B，△P AB的面积为（） A．B．C．D． 6．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0， x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（） A．10B．4C．3D．5 7．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（2，4）在其图象上，则（﹣2，4）也在其图象上

B．当k＞0时，y随x的增大而减小 C．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k D．反比例函数的图象关于直线y＝x和y＝﹣x成轴对称 8．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（） A．1B．2C．4D．无法计算 8题图9题图10题图12题图 9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（） A．4B．4.2C．4.6D．5 10．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（） A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4 11．对于反比例函数y＝（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上 B．当k＞0时，y随x的增大而减小 C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为k D．反比例函数的图象关于直线y＝﹣x成轴对称 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C 在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（） A．2B．3C．4D．6 13．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y＝在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之

高中数学-函数待定系数法练习

高中数学-待定系数法练习课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.

故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得解得故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()

反比例函数的图像与性质

反比例函数的图象和性质一、反比例函数的定义函数k y x = （k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与k y x =-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意： ⑴反比例函数k y x =（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线k y x =的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的． ⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)k y k x =≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0k y k = ≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩

用待定系数法求一次函数解析式

14.2.2 一次函数(3) 用待定系数法求一次函数解析式教学目标 1．知识与技能会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数. 2．过程与方法经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合． 3．情感、态度与价值观培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度．重、难点与关键 1．重点：待定系数法求一次函数解析式． 2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题. 3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、?加减法解一次函数中的待定系数．教学方法采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵．教学过程一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x, 的图象 2引入新课：在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 332y x =-+图1 图2 y=2x 332 y x =-+

二．提出问题，形成思路 1.求下图中直线的函数表达式。图1 图2 分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y=kx ,将点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。初步应用，感悟新知【例1】 1.已知一次函数的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求（1）这个一次函数的解析式；（2）当x=5时，函数y的值. 【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b．【教师活动】分析例题，讲解方法．【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考．解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．依题意得：解得这个一次函数的解析式为y=-3x-2．像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。