知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义

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反比例函数中比例系数k的几何意义

反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线（k>0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B

反比例函数中k的几何意义的应用

反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。

1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。

当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。

2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。

当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。

3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。

4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。

5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。

总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。

它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。

因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。

中考数学复习考点知识归类讲解12 反比例函数比例系数k的几何意义

中考数学复习考点知识归类讲解专题12 反比例函数比例系数k 的几何意义知识对接考点一、反比例函数比例系数k 的几何意义（1）意义：从反比例函数y ＝(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. （2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x=或3y x =-专项训练一、单选题1．如图，已知反比例函数2y x=-的图像上有一点P ，过点P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则POA 的面积是（）A．2 B．1 C．1-D．122．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数kyx=在第一象限的图象上的两点，且其横坐标分别为1，4，若AOB的面积为54，则k的值为（）A．23B．1C．2D．1543．若图中反比例函数的表达式均为4yx=，则阴影面积为4的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，点A是反比例函数4yx=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）A ．-4B ．2C ．4D ．85．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（）A ．60B ．48C ．36D ．206．在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11k y x=（x ＞0），经过点B ，双曲线22k y x=（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（）A．﹣3 B．3 C．D7．如图，A、B是双曲线y＝kx图象上的两点，过A点作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，BD＝2OD，且ADO的面积为8，则DCO的面积为（）A．12B．1 C．32D．28．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数kyx=（x＞0）和1yx=-（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x（x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．9210．如图．在平面直角坐标系中，△AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝k x相交于点C ，且BC ∶OC ＝1∶2，则k 的值为（）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．92二、填空题11．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0k y k x=≠图象上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ．若四边形AMON 的面积为12，则k 的值是__________．12．如图，在反比例函数3yx=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____13．如图，点P在反比例函数4yx=-的图像上，过点P作PA x⊥轴于点A，则POA的面积是_______．14．如图所示，反比例函数kyx=（0k≠，0x>）的图像经过矩形OABC的对角线AC的中点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为________．15．如图，点A 与点B 分别在函数11(0)k y k x =>与220)k y k x=<（的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为3，则12k k -的值是___．三、解答题16．如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数ky x=（0k >）的图象于点Q ，32OQCS=．（1）求A 点和B 点的坐标；（2）求k 的值和Q 点的坐标．17．点O 为平面直角坐标系的原点，点A 、C 在反比例函数a y x=的图象上，点B 、D 在反比例函数b y x=的图象上，且0a b >>．（1）若点A 的坐标为()6,4，点B 恰好为OA 的中点，过点A 作AN x ⊥轴于点N ，交b y x=的图象于点P ． ①请求出a 、b 的值； ②试求OBP 的面积．（2）若////AB CD x 轴，32CD AB ==，AB 与CD 间的距离为6，试说明-a b 的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．18．如图，点C 在反比例函数y 1=x的图象上，CA ∥y 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点A ，CB ∥x 轴，交反比例函数y 3=x的图象于点B ，连结AB 、OA 和OB ，已知CA ＝2，则△ABO 的面积为__．19．如图是反比例函数2yx=与反比例函数在第一象限中的图象，点P是4yx=图象上一动点，PA⊥X轴于点A，交函数2yx=图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数2yx=图象于点D，点D的横坐标为a．（1）用字母a表示点P的坐标；（2）求四边形ODPC的面积；（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．20．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是（只填序号）． 21．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB =22．如图，过C 点的直线y ＝﹣12x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，且BC ＝AB ，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，交反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象于点D ，连接OD ，△ODH 的面积为6（1）求k 值和点D 的坐标；（2）如图，连接BD ，OC ，点E 在直线y ＝﹣12x ﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE 的面积是△OCD 面积的2倍，求点E 的坐标．11 / 11 23．如图，直线l 分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，交反比例函数(0)k y k x =≠的图象于P 、Q 两点．若2AB BP =，且AOB 的面积为4（1）求k 的值；（2）当点P 的横坐标为1-时，求POQ △的面积．。

5.3反比例函数中k的几何意义及应用

反比例函数应用学案（3）研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有。

在解相关反比例函数的问题时，若能灵活使用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

现举例说明。

例1、如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。

应用二：比较面积大小例2、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。

过这三点分别向x轴、y 轴作垂线。

过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。

A、 B、C、 D、应用三：确定解析式例3、解答题已知反比例函数的图象经过，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1经过A点，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|：|AC|的值．评析：本题考查学生函数、方程的数学思想及待定系数法的使用．解： (1)由，∴ .∵，∴.∴y= .把代人双曲线，得m=2.(2) ∵点在一次函数y=ax+1上，∴ . ∴ .∴一次函数y= . ∴当y=0，则x= ，即C（，）又∵B（- ，0）则 BC= ，AB= .∴RtΔABC中，AC= . ∴AC=AB. ∴∠AC0= .在RtΔABO中，可求|AO|= ，∴|AO|:|AC|= .练习、1、（2003年全国初中数学联赛试题）若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A、1B、2C、kD、2、如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，63、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB ⊥x轴于点B。

反比例函数系数k的几何意义(复习讲义)01

反比例函数系数k 的几何意义（复习讲义）01一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k ≠0）．其解析式有三种表示方法： ①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=（k ≠0）的性质（1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆【例1】如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限的交点，且3=∆AOB S , （1）求m 的值（2）（2）求ABC ∆的面积 k x k x ⇔⇔⇔⇔k x k x2x -变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x 8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AND FABD F M N xyO【例2】如图，一次函数的图象与轴，轴交于A ，B 两点，与反比例函数的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作轴，轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF SS ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）【例3】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①；②．（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数k y x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.y a x b =+x y k y x=y x A C B D=y ax b =+x y ,M N k y x=,A B A AC x ⊥AE y ⊥,C E B BF x ⊥BD y ⊥F D ，，AC BD K CD A B ，k y x=AEDK CFBK S S =四边形四边形AN BM =A B ，k y x=AN BM yx D CA BOF E 图1 图2【例4】如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.【例5】如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.【例6】如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.【例7】两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xm y -=2的图像如图，大致是（）A. B. C. Dx2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（） A.72 B.5 C.74 D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（）A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6= 4、如图，A,B 是函数x y 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（）k xA ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 . （2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x =，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是．课后习练一、填空题 1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．DB AyxO C4xk xb k x A B CDE yx O6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（）A ．2 BC．7、已知P 为函数y=的图像上一点，且P ，则符合条件的P 点数为（） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个2x2x。

反比例函数比例系数k的几何意义

反比例函数比例系数k的几何意义反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│1、如图，反比例函数4yx=-的图象与直线13y x=-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC△的面积为（）A．8 B．6 C2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝2x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小3、如图12，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．2S=B．4S=C．24S<<D．4S>4、如图，已知双曲线)0k(xky＞=经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．5、如图5所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n）在函数y=x9（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+…y n= 。

6、如图，已知点A、B在双曲线xky=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝．7、如图，在第一象限内,点P（2，3）,M()2,a是双曲线)0(≠=kxky上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为8、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx=（0x>）的图象上，则点E的坐标是（，）.9、如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S=阴影，则12S S+=．10、如图，已知双曲线(0)ky kx=<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．411、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为12、如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点．以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（A）A．点G B．点E C．点D D．点F13、已知点A在双曲线y=6x上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC的面积=，（2）△ABC的周长为14、如图，一次函数y ax b=+的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC BD=．（第11题）第3题第5题图第6题图第8题图9题图其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）。

反比例函数中K的几何意义

反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。

它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。

反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。

K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。

反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。

下面将详细讨论K的几
何意义。

1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。

如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。

如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。

2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。

当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。

反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。

3.K决定了特定坐标点的函数值。

例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。

4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。

具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。

总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。

通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。

反比例函数中k的几何意义

专题二反比例函数中k的几何意义
【主干必备】反比例函数中比例系数k的几何意义设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】

反比例函数几何意义公式

反比例函数几何意义公式摘要：1.反比例函数的定义和几何意义2.反比例函数的几何意义公式3.反比例函数图形与系数的关系4.反比例函数在实际生活中的应用5.总结正文：在我们学习数学的时候，反比例函数是一个重要的知识点。

它不仅具有丰富的理论意义，还在实际生活中有着广泛的应用。

本文将介绍反比例函数的几何意义公式，以及反比例函数图形与系数的关系，帮助大家更好地理解和应用反比例函数。

首先，我们来回顾一下反比例函数的定义。

反比例函数是指形如y = k/x （其中k为常数，x≠0）的函数。

在这个定义中，x和y分别代表自变量和因变量，k为比例系数。

那么，反比例函数的几何意义是什么呢？反比例函数的几何意义在于，它表示了平面上一点到原点的距离与该点到另一固定点的距离的比值。

换句话说，反比例函数描述了平面上一点与原点及另一固定点之间距离的比例关系。

接下来，我们来看一下反比例函数的几何意义公式。

设点P（x，y）到原点O的距离为PO，到固定点A的距离为PA，那么反比例函数的几何意义公式可以表示为：PO / PA = k其中k为反比例函数的比例系数。

根据这个公式，我们可以看出反比例函数图形的几何意义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）与原点O和固定点A 的距离比例为k。

反比例函数图形与系数的关系也非常明显。

当k>0时，反比例函数图形为第一、三象限；当k<0时，反比例函数图形为第二、四象限。

此外，反比例函数图形的分支数量与k有关。

当k>1时，反比例函数图形有两个分支；当0<k<1时，反比例函数图形有四个分支；当k=1时，反比例函数图形为一个点；当k<0时，反比例函数图形无分支。

最后，我们来看一下反比例函数在实际生活中的应用。

反比例函数在实际生活中有很多应用，比如物理中的电磁学、力学等领域，经济学中的成本与收益分析等。

通过了解反比例函数的几何意义和公式，我们可以更好地解决实际问题。

总之，反比例函数是一个既有理论意义又有实际应用的数学知识点。

浅谈反比例函数中“k”的性质与运用

浅谈反比例函数中“k ”的性质与运用诸暨市浣江初中有关反比例函数问题时常在中考中出现，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k 的几何意义，就会为解决问题提供极大的方便。

本文就做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学相关问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考查方式和解题思路。

一、反比例函数的概念：如果某个函数如果可以写成)0(≠=k xky 或)0(1≠=-k kx y 或)0(≠=k k xy 的形式，则这个函数为反比例函数。

二、反比例函数中k 与图像的形状关系：|k |越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直; |k |越小，图像的弯曲度越大。

三、反比例函数中k 值与图像位置和性质的关系：反比例函数与坐标轴没有交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k ＞0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

四、反比例函数与一次函数中k 值关系：一次函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=的关系：（1）当21k k ⋅ ＜0时，两图像没有交点；（2）当时21k k ⋅ ＞0，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。

五、反比例函数中k 和几何意义：如图1所示，反比例函数)0(≠=k xky 中，比例系数k 的几何意义，就是过该函数图像上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S 矩形PMON = PM ・PN = |x|・|y| = |xy| = |k |，这就说明，过曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k |，这是系数k 几何意义。

同时通过k 性质可以延伸理解出多种图形面积的不变性特征，如下表所示：明确了k 的几何意义，会给以下几种类型的解题运用带来许多方便，我们可以通过以下几举例说明。

反比例函数k的几何意义

知识讲解1.反比例函数的概念如图所示，过双曲线)0(k≠=kxy上任一点),(yxP作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM∙PN=|y|∙|x|.,yxk=∴||kSkxy==，。

这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。

这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。

（请学生思考，图中三角形OEF的面积和系数k的关系。

）2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.例题1函数y=1x-(x>0)的图象大致是( )例题2 函数y=kx+1与函数y=kx在同一坐标系中的大致图象是( )yOxAyO xByOxCyOxD y y y y3.反比例函数y=kx 中k 的意义注意:反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.例题1：如图，P 、C 是函数x4y =（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3.例题1图例题2图例题3图例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小：。

例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k>=xy 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为。

k的几何意义反比例函数

反比例函数k的几何意义
过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x 轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。

1反比例函数的含义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。

k>0时，图像在一、三象限。

k<0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

2反比例函数图象的画法步骤
①列表：自变量的取值应以原点为中心，在原点的两侧取三对(或三对以上）互为相反数的值，填写 y值时，只需计算一侧的函数值，另一侧的函数值是与之对应的相反数；
②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲钱的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

3反比例函数的图像及性质。

反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型

反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的性质注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。

例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

6.2(3)反比例函数中比例系数K的几何意义

五【目标评定】1.知道平行四边行的判定方法。
已知□有点知□不知□
2.会用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
已会□有点会□不会□
【作业】作业本：A组：基础练习+综合运用
B组：基础练习+综合运用部分至少选一道，
C组:基础练习+综合运用部分可选做
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
3.如图1，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是。
图1图2
4.如图2，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k＝。
1.概念认知：两坐标轴和过反比例函数图象上的一点作两坐标轴的垂线段围成的矩形面积=
2.自我检测：
①如图1，已知点A在反比例函数图像上，过点A作AC⊥X轴于C，过点A作AB⊥Y轴于B，则矩形ABOC的面积=
图1图2
②如图2，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是：
②如图2，已知直线a∥b,则⊿ABC和⊿ABD的面积大小关系是
③如图3，已知AD是⊿ABC一边上的中线，则⊿ABD和⊿ACD的面积大小关系是
图1图2图3
2.画一画，想一想：
①如图4，已知反比例函数图像经过点A（1，2）,则K=;
过点A作AB⊥X轴于B，过点A作AC⊥Y轴于C，四边形ACOB是形，AC=,AB=,四边形ACOB的面积是
3.【主题一展示】两人小对子交流与分享。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ序如下：
①就【自研自探】的相关问题的解决交换意见；
②由C组展示“概念认知”和“自我检测”

反比例函数知识点

反比例函数知识点：1.定义：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；xk y 1=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如xy 1=，x y 213=等都是反比例函数，但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。

2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5. 性质:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。

3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．6. 反比例函数y ＝xk （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

反比例函数中比例系数k的几何意义

19.6反比例函数中比例系数k的几何意义一、复习旧知：1.反比例函数的表达式有______种形式，分别是_________________________.2.反比例函数的图象是_______________.3.反比例函数的图象性质是:_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 二、创设情境---自主探究1.已知：如图1，∠AED=∠B ，AD=y ，AE=2，AB=x ，AC=6，写出y 与x 的函数关系式.2.已知：如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC=x ，AC=y ，S △ABC =6，则y 与x 的函数表达式为：________________.3.已知：如图3，在矩形ACBH 中，BC=x ，AC=y ，S 矩形ACBH =12，则y 与x 的函数表达式为：4观察2题和3题中图形面积与函数表达式中的k 值有怎样的关系.三、学习新知---合作探究已知点A （-6,2）、B （3，m ）是反比例函数图象上的两点，根据要求完成下列问题： 1.反比例函数的表达式：________________________; 点B 坐标__________. 2.在平面直角坐标系中画出函数图象.图1图2图33.过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点C 和点H ，连接AO （1）则S △AOC =_________. （2）则S 矩形ACOH =__________.4. 过点B 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点E 和点F ，连接BO （1）则S △BOF =__________. （2）则S 矩形BEOF =___________.5.观察问题3和问题4的结果有怎样的关系，它们的结果与反比例函数解析式中的k 又有怎样的关系？小结：如图，在反比例函数xky =（k ≠0）上任意一点P(x,y)，过这一点分别作x 轴和y 轴的垂线PM 、PN ，连接OP ，则S △POM =___________ ； S 矩形PMON =___________.四、学以致用—自主练习1.已知：反比例函数图象上一点A ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，作AB ⊥y 轴于点B ，连接AO.（1）若点A （2,3），则反比例解析式k=_____; S △AOC =____； S 矩形ABOC =_____.（2）若S △AOC =4，且反比例函数图象在一、三象限内，则反比例函数表达式：__________ （3）若S 矩形ABOC =5，则反比例函数表达式：______________________________________ 2.计算与双曲线xky =（k ≠0）上的点有关的图形面积.。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。