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PPT教程：经济数学(第二版)
xn dn (w1,, wn ; c)
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
然成立.
一般有下面的定理: ➢ 定理5-1 设∫f(u)du=F(u)+C,u=φ(x),且u=φ(x)有连续导函数,
则:∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C (5.1) ➢ 事实上:
➢ 当我们要求某个不定积分∫g(x)dx而又不能直接用基本积分公 式时,如果被积函数g(x)可以写成f[φ(x)]φ'(x)的形式,而∫f(u)du 又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得∫g(x)dx,即:
CHAPTER
05
第5章 不定 积分
PART
05
5.1
不定积分的概念
5. 1. 1 原函数的概念
在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的 本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人 口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学 家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.
➢ 由不定积分的定义可知: ∫cos xdx=sin x+C.
PART
05
5.2
基本积分公式
由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:
PART
05
5.3
不定积分的性质
性质1 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k为不等于零的常数) 性质2 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 由性质1、2可得推论: • ∫[k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)]dx=k1∫f1(x)dx+k2∫f2(x)dx+
以化难为易.
5. 1. 2 不定积分的定义
➢ 定义5-2 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函 数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做∫f(x)dx, 即:∫f(x)dx=F(x)+C
一般有下面的定理: ➢ 定理5-1 设∫f(u)du=F(u)+C,u=φ(x),且u=φ(x)有连续导函数,
则:∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C (5.1) ➢ 事实上:
➢ 当我们要求某个不定积分∫g(x)dx而又不能直接用基本积分公 式时,如果被积函数g(x)可以写成f[φ(x)]φ'(x)的形式,而∫f(u)du 又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得∫g(x)dx,即:
CHAPTER
05
第5章 不定 积分
PART
05
5.1
不定积分的概念
5. 1. 1 原函数的概念
在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的 本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人 口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学 家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.
➢ 由不定积分的定义可知: ∫cos xdx=sin x+C.
PART
05
5.2
基本积分公式
由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:
PART
05
5.3
不定积分的性质
性质1 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k为不等于零的常数) 性质2 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 由性质1、2可得推论: • ∫[k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)]dx=k1∫f1(x)dx+k2∫f2(x)dx+
以化难为易.
5. 1. 2 不定积分的定义
➢ 定义5-2 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函 数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做∫f(x)dx, 即:∫f(x)dx=F(x)+C
经济数学课件完整版
0.2.6
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
《经济数学基础》课件
《经济数学基础》PPT课 件
欢迎来到《经济数学基础》PPT课件！这个课程将帮助您回顾数学基础，深入 了解微积分、线性代数和概率论的基本概念以及它们在经济学中的应用。准 备好迎接数学的魅力了吗？让我们开始吧！
课程介绍
在本节中，我们将介绍《经济数学基础》课程的目标和大纲，并讨论学习数 学在经济学中的重要性。
数学基础回顾
1
代数与方程
通过回顾代数和方程的基本概念，我们将建立数学思维的基础。
2
几何与图形
了解几何和图形的基本原理，为后续的微积分和线性代数打下坚实的基础。
3
函数与图像
研究函数的性质和图像，掌握函数在经济学建模中的应用。
微积分基础
1 极限与连续
学习极限和连续的概念， 理解微积分的基本原理。
2 导数与微分
概率论基础
随机变量与概率分布
学习随机变量和概率分布的基本概念，掌握它 们在经济学中的应用。
假设检验与置信区间
应用假设检验和置信区间解释经济学中的统计 结果。
期望值与方差
了解期望值和方差的含义，并学习如何计算和 解释它们。
应用案例分析
通过实际经济应用案例，将概率论与经济学联 系起来。
经济应用举例
经济数据分析
通过图表和数据分析，探索经济 学中的数学方法。
金融市场建模
应用数学建模技巧解决金融市场 中的实际问题。
优化问题求解
利用数学优化方法解决经济学中 的优化问题。
课程总结
我们回顾了数学基础，学习了微积分、线性代数和概率论的基本概念，并将 它们应用于经济学中。希望这门课程对您的学习和职业发展有所帮助！
掌握导数和微分的定义， 并学习如何应用它们解决 经济学问题。
3 积分与面积
欢迎来到《经济数学基础》PPT课件！这个课程将帮助您回顾数学基础，深入 了解微积分、线性代数和概率论的基本概念以及它们在经济学中的应用。准 备好迎接数学的魅力了吗？让我们开始吧！
课程介绍
在本节中，我们将介绍《经济数学基础》课程的目标和大纲，并讨论学习数 学在经济学中的重要性。
数学基础回顾
1
代数与方程
通过回顾代数和方程的基本概念，我们将建立数学思维的基础。
2
几何与图形
了解几何和图形的基本原理，为后续的微积分和线性代数打下坚实的基础。
3
函数与图像
研究函数的性质和图像，掌握函数在经济学建模中的应用。
微积分基础
1 极限与连续
学习极限和连续的概念， 理解微积分的基本原理。
2 导数与微分
概率论基础
随机变量与概率分布
学习随机变量和概率分布的基本概念，掌握它 们在经济学中的应用。
假设检验与置信区间
应用假设检验和置信区间解释经济学中的统计 结果。
期望值与方差
了解期望值和方差的含义，并学习如何计算和 解释它们。
应用案例分析
通过实际经济应用案例，将概率论与经济学联 系起来。
经济应用举例
经济数据分析
通过图表和数据分析，探索经济 学中的数学方法。
金融市场建模
应用数学建模技巧解决金融市场 中的实际问题。
优化问题求解
利用数学优化方法解决经济学中 的优化问题。
课程总结
我们回顾了数学基础，学习了微积分、线性代数和概率论的基本概念，并将 它们应用于经济学中。希望这门课程对您的学习和职业发展有所帮助！
掌握导数和微分的定义， 并学习如何应用它们解决 经济学问题。
3 积分与面积
大学经济数学 ppt课件
-2 -3 -4
阶梯曲线
广州大学纺织服装学院
经济数学
(3)分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例 如 ,
2x1, f(x) x21,
x0 x0
yx2 1
y2x1
广州大学纺织服装学院
经济数学
例1 设 f(x) 1 21 0 x x 2 1,求函 f(x3 数 )的定 .
经济数学
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
广州大学纺织服装学院
数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
经济数学
1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
x自变量 , u中间变,量y因变量 ,
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经济数学
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如：y u,ux21
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如： y
cot x , 2
y
u , u cotv,v
x. 2
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经济数学
4. 初等函数
广州大学纺织服装学院
1、函数的概念
经济数学
定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
阶梯曲线
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经济数学
(3)分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例 如 ,
2x1, f(x) x21,
x0 x0
yx2 1
y2x1
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例1 设 f(x) 1 21 0 x x 2 1,求函 f(x3 数 )的定 .
经济数学
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
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数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
经济数学
1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
x自变量 , u中间变,量y因变量 ,
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经济数学
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如：y u,ux21
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如： y
cot x , 2
y
u , u cotv,v
x. 2
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4. 初等函数
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1、函数的概念
经济数学
定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
第二章 极限与连续 《经济数学》PPT课件
由函数连续的定义可知,如果函数f(x)在点x0处满足下列条件之一: • (1)函数f(x)在点x0处无定义; • (2)lim(x→x0) f(x)不存在; • (3)lim(x→x0 ) f(x)存在,但不等于f(x0). 则点x0就是函数f(x)的间断点. 如图2-13所示的是几种在点x=x0处不连续的函数.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
第一章 函数 《经济数学》PPT课件
【例1-1】某班级的全体学生组成一个集合.该班的学生都是这个集合 的元素.
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
《经济数学》教学课件 第一章 函数
（四）函数的有界性
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值， 恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解 要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数 学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、 隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线． 当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个 对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时， 与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值 时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值， 恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解 要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数 学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、 隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线． 当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个 对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时， 与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值 时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．
经济数学课件PPT课件
T(月)
1
2
3
4
5
6
Q(吨) 11 10 12 11 12 12
精品ppt
13
(3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y
之间的关系.
例3 需求函数与供给函 数. Q f,(P) Q (P)
如图.P表示商品价格,Q
Q
S
Q=φ(P) E
表示需求量,供给量,E点
Q=f(P) S
为需求和供给平衡点．
域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组
成的数集.
例4
求函数
y x1 x3
的定义域
设δ＞0，集合{x|0＜|x-x。|＜δ}称为以x。 为心的去心δ邻域 。
注意：集合和关系是不同的两个概念。
精品ppt
11
1.1 函 数
1.1.1 函数的概念
定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任
取一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作
精品ppt
2
2、集合的表示法
(1)列举法
把集合中所有元素列在一个大括
号内。
例 A={1,3,5,7,9}；
B={1,2,3,4，5，6，7,8，9，
10}。
(2)描述法
用集合中元素所满足的条件P(a)来
描述集合。
精品ppt
3
例 A={x|x=2n,n为整数}； B={x|3≤x≤4}； C={x|x²-5x+6=0}。 集合C也可以用列举法来
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
第四章 导数的应用 《经济数学》PPT课件
4.3.1
函数的极值
1) 极值的定义 ➢ 如图所示,函数f(x)有两个极大值f(x2),f(x4),三个极小值
f(x1),f(x3),f(x5),但这并不意味着f(x2)或f(x1)是函数f(x)在定义 域中的最大值或最小值,而只是对xi附近局部范围来说的,如图42所示的函数f(x),其极小值f(x5)甚至比极大值f(x2)大.
的灵敏程度,这就是经济量的弹性.一般来说,商品的需求量对市 场价格的反应是很灵敏的,反映当商品价格变动时需求量变动的 强弱程度的量就是需求弹性. • 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格,记该商品在点P0处的 需求弹性或需求弹性系数为: 记需求弹性函数为: • 在经济上表示,当产品的价格为P时,价格变动1%,需求量将变化 η%.
PART
04
4.5
导数在经济中的应用
4.5.1 导数的概念在经济中的应用
1) 边际分析 ➢ 在第1章中,我们介绍了几个经济中常用的函数: • 成本函数C(Q):给出生产Q单位产品的总成本. • 收益函数R(Q):给出销售Q单位产品的总收益. • 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q):给出生产Q单位产品并全部销售出去后的总利润. ➢ 这三个函数中的自变量Q只能取非负整数,但对现代企业而言,产品的生产、
一般地,函数在给定的区间上的最大值与最小值可能在区间内部 的点处取得,也可能在区间的端点处取得.如果函数的最大值与最 小值是在区间内部的点处取得,那么这个最大值(或最小值)一定 也是极大值(或极小值).因此,对于在给定区间上的函数,可直接求 出极值可疑点(驻点和导数不存在的点)及区间端点处的函数值, 比较这些数值的大小,即可求出函数的最大值与最小值.
4.3.2 函数的最大(小)值
在第2章中我们曾经指出,闭区间上的连续函数一定存在最大值 和最小值.与极值概念不同的是,极值是一个局部性的概念,而最 大值(或最小值)是全局性的概念.最大值(或最小值)是函数在所 考察的区间内全部函数值中的最大者(或最小者),而极值只是函 数在极值点的某个邻域内的最大值或最小值.
第三章 导数与微分 《经济数学》PPT课件
CHAPTER
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
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经济数学
精选
1
经济数学
二元函数偏导数与极值实验
求二元函数偏导数的实验 diff(f,’x’)：求函数f关于x的一阶偏导数 diff(f,’x’,n)：求函数f关于x的n阶偏导数
求二元函数极值的实验 fminunc(f,x0)：求函数f在x0附近的极值点（拟牛顿法） fminsearch(f,x0)：求函数f在x0附近的极值点（单纯形法）
精选
输入：p1=poisspdf(7,3) 输出：p1 =0.0216 输入：p2=poisscdf(7,12) 输出：p2 =0.0895
11.3 MATLAB中随机7变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
连续型随机变量的概率
设 X U[1, 7],求P{X 3}
设 X E[6] ,求P{1 X 3}
精选
11.1 MATLAB中求二2 元
函数偏导数与极值实验
经济数学
例1
设
f
e1 xln y
，求
f x
，2 f
y 2
输入
>> syms x y f
输出
>> f=exp(1+x*log(y)) ;
>> dfdx=diff(f,’x’) ;
>> df2dy2=diff(f,’y’,2) ;
精选
11.3 MATLAB中随机9变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
例1 例2
例3
精选
11.3 MATLAB中随机10变量
的概率与数字特征的实验
经济数学
课本P315－P318
精选
11
第11章 MATLAB数学实验（下）
3
poisscdf(k,lambda)
2 概率 4
二项分布
计算
1
5
指数分布 expcdf(k,lambda)
正态分布
binopdf(k,n,p) binocdf(k,n,p)
normcdf(c,mu,sigma)
精选
11.3 MATLAB中随机6变量
的概率与数字特征的实验
经济数学
离散型随机变量的概率 二项分布
二项分布：[E,D]=binostat(n,p) 泊松分布：[E,D]=poisstat(n,p)
2.连续型随机变量的期望与方差
期望 int(x*f,x,-inf,+inf) 方差 int(x^2*f,x,-inf,+inf)-(int(x*f,x,-inf,+inf))^2
均匀分布： [E,D]=unifstat(a,b) 指数分布： [E,D]=expstat(1/lambda) 正态分布： [E,D]=normstat(mu,sigma)
dfdx = log(y)*exp(1+x*log(y)) df2dy2 = -x/y^2*exp(1+x*log(y)) +x^2/y^2*exp(1+x*log(y))
例2 求 f x4 sin y cos z 在(0,5,4)附近的极小值
输入 >> syms x y z
输出 -0.0021,4.7124,6.2832
矩阵的一般运算
A±B：矩阵的和差运算 k*A：矩阵的数乘运算 A*B：矩阵的乘法运算 A’：矩阵的转置运算 A^k：矩阵的乘幂运算
求秩、求逆运算
inv(A)：求逆矩阵 rank(A)：求秩 rref(A)：求最简阶梯阵 det(A)：求行列式的值
线性方程组的求解
“\”：左除 X=A\B 方程AX=B的解 “/”：右除 X=B/A 方程XA=B的解
>> a*b,b*a
>> b’*a’
1 0 1
例3设Βιβλιοθήκη A 2
1,
0
2 例4 设 A 1
1 1 2 , B 1
2 4
3 2 5
求解AX=B，XA=B
求 A ，A的秩，A最简阶梯阵， A的逆．
输入 >> a=[2,1;1,2]; b=[1,2;-1,4];
精选
11.2 MATLAB中4矩阵
运算及变换实验
经济数学
例1
输入矩阵
A
2 1
0 7
3
0
输入 >> a=[2,0,-3;-1,7,0]
输出 a = 2 0 -3
-1 7 0
例2
设
A
1
2
,
B
3
7
求A*B，B*A，BT*AT
输入 >> a=[-1;2]; b=[3,-7];
输入 >> a=[-1,0,1;2,1,0;-3,2,-5]
>> x1=a\b
>> d=det(a),r=rank(a),
>> f=rref(a),i=inv(a)
精选
>>
x2=b/a 11.2
MATLAB中5矩阵
运算及变换实验
经济数学
均匀分布
泊松分布
unifcdf(c,a,b)
poisspdf(k,lambda)
泊松分布
例1 设随机变量 X N(50, 0.1) 求 P{X 6}，P{X 13}
例2 设随机变量 X P(7) 求 P{X 3}，P{X 12}
输入：p1=binopdf(6,50,0.1) 输出：p1 =0.1541 输入：p2=binocdf(13,50,0.1) 输出：p2 =0.9997
unifcdf(3,-1,7) expcdf(3,6) -expcdf(1,6)
设X N(2,9),求 P{X 6}
精选
1-normcdf(6,2,3)
11.3 MATLAB中随机8变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
1. 离散型随机变量的期望与方差
期望 sum(X.*P) 方差 sum(X.^2.*P)-(sum(X.*P))^2
>> x0=[0,5,4];
-2.000
>> f=inline(‘x^4+sin(y)-cos(z)’);
>> fminsearch(f,x0)
精选
11.1 MATLAB中求二3 元
函数偏导数与极值实验
经济数学
矩阵运算及变换
矩阵的输入及生成
方括号内逐行输入元素 逗号或空格：同行 分号：换行 eye(n) zeros(m,n)等
精选
1
经济数学
二元函数偏导数与极值实验
求二元函数偏导数的实验 diff(f,’x’)：求函数f关于x的一阶偏导数 diff(f,’x’,n)：求函数f关于x的n阶偏导数
求二元函数极值的实验 fminunc(f,x0)：求函数f在x0附近的极值点（拟牛顿法） fminsearch(f,x0)：求函数f在x0附近的极值点（单纯形法）
精选
输入：p1=poisspdf(7,3) 输出：p1 =0.0216 输入：p2=poisscdf(7,12) 输出：p2 =0.0895
11.3 MATLAB中随机7变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
连续型随机变量的概率
设 X U[1, 7],求P{X 3}
设 X E[6] ,求P{1 X 3}
精选
11.1 MATLAB中求二2 元
函数偏导数与极值实验
经济数学
例1
设
f
e1 xln y
，求
f x
，2 f
y 2
输入
>> syms x y f
输出
>> f=exp(1+x*log(y)) ;
>> dfdx=diff(f,’x’) ;
>> df2dy2=diff(f,’y’,2) ;
精选
11.3 MATLAB中随机9变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
例1 例2
例3
精选
11.3 MATLAB中随机10变量
的概率与数字特征的实验
经济数学
课本P315－P318
精选
11
第11章 MATLAB数学实验（下）
3
poisscdf(k,lambda)
2 概率 4
二项分布
计算
1
5
指数分布 expcdf(k,lambda)
正态分布
binopdf(k,n,p) binocdf(k,n,p)
normcdf(c,mu,sigma)
精选
11.3 MATLAB中随机6变量
的概率与数字特征的实验
经济数学
离散型随机变量的概率 二项分布
二项分布：[E,D]=binostat(n,p) 泊松分布：[E,D]=poisstat(n,p)
2.连续型随机变量的期望与方差
期望 int(x*f,x,-inf,+inf) 方差 int(x^2*f,x,-inf,+inf)-(int(x*f,x,-inf,+inf))^2
均匀分布： [E,D]=unifstat(a,b) 指数分布： [E,D]=expstat(1/lambda) 正态分布： [E,D]=normstat(mu,sigma)
dfdx = log(y)*exp(1+x*log(y)) df2dy2 = -x/y^2*exp(1+x*log(y)) +x^2/y^2*exp(1+x*log(y))
例2 求 f x4 sin y cos z 在(0,5,4)附近的极小值
输入 >> syms x y z
输出 -0.0021,4.7124,6.2832
矩阵的一般运算
A±B：矩阵的和差运算 k*A：矩阵的数乘运算 A*B：矩阵的乘法运算 A’：矩阵的转置运算 A^k：矩阵的乘幂运算
求秩、求逆运算
inv(A)：求逆矩阵 rank(A)：求秩 rref(A)：求最简阶梯阵 det(A)：求行列式的值
线性方程组的求解
“\”：左除 X=A\B 方程AX=B的解 “/”：右除 X=B/A 方程XA=B的解
>> a*b,b*a
>> b’*a’
1 0 1
例3设Βιβλιοθήκη A 2
1,
0
2 例4 设 A 1
1 1 2 , B 1
2 4
3 2 5
求解AX=B，XA=B
求 A ，A的秩，A最简阶梯阵， A的逆．
输入 >> a=[2,1;1,2]; b=[1,2;-1,4];
精选
11.2 MATLAB中4矩阵
运算及变换实验
经济数学
例1
输入矩阵
A
2 1
0 7
3
0
输入 >> a=[2,0,-3;-1,7,0]
输出 a = 2 0 -3
-1 7 0
例2
设
A
1
2
,
B
3
7
求A*B，B*A，BT*AT
输入 >> a=[-1;2]; b=[3,-7];
输入 >> a=[-1,0,1;2,1,0;-3,2,-5]
>> x1=a\b
>> d=det(a),r=rank(a),
>> f=rref(a),i=inv(a)
精选
>>
x2=b/a 11.2
MATLAB中5矩阵
运算及变换实验
经济数学
均匀分布
泊松分布
unifcdf(c,a,b)
poisspdf(k,lambda)
泊松分布
例1 设随机变量 X N(50, 0.1) 求 P{X 6}，P{X 13}
例2 设随机变量 X P(7) 求 P{X 3}，P{X 12}
输入：p1=binopdf(6,50,0.1) 输出：p1 =0.1541 输入：p2=binocdf(13,50,0.1) 输出：p2 =0.9997
unifcdf(3,-1,7) expcdf(3,6) -expcdf(1,6)
设X N(2,9),求 P{X 6}
精选
1-normcdf(6,2,3)
11.3 MATLAB中随机8变量 的概率与数字特征的实验
经济数学
1. 离散型随机变量的期望与方差
期望 sum(X.*P) 方差 sum(X.^2.*P)-(sum(X.*P))^2
>> x0=[0,5,4];
-2.000
>> f=inline(‘x^4+sin(y)-cos(z)’);
>> fminsearch(f,x0)
精选
11.1 MATLAB中求二3 元
函数偏导数与极值实验
经济数学
矩阵运算及变换
矩阵的输入及生成
方括号内逐行输入元素 逗号或空格：同行 分号：换行 eye(n) zeros(m,n)等