第三章导数及其应用2
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值课件理
(2)由题可知 g(x)＝(x2－a)e1－x， 则 g′(x)＝(2x－x2＋a)e1－x＝(－x2＋2x＋a)e1－x. 根据题意，方程－x2＋2x＋a＝0 有两个不同的实根 x1，x2(x1<x2)， 所以 Δ＝4＋4a>0，即 a>－1，且 x1＋x2＝2，
注意点 极值点的含义及极值与最值的关系 (1)“极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取 得极小值，则 x2 为极小值点，极小值为 f(x2)． (2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未 必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.
第三章 导数及其应用
第2讲 导数的应用
考点二 函数的极值与最值
撬点·基础点 重难点
1 判断函数极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是 极大值 ； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是 极小值 ． 2 求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导函数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果 左正右负，那么函数 y＝f(x)在这 个根处取得极大值；如果 左负右正 ，那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成． 3 函数的最值 在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间(a，b)上的连续函数 y ＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
目录 上页 下页 返回 结束
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
目录 上页 下页 返回 结束
6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
目录 上页 下页 返回 结束
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
同济七版NUAA高数课件 第三章 中值定理及导数的应用 第二节 洛必达法则
x0
1
例2
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
解
原式
lim
x1
3
3 x2
x2
3 2x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
练习：
求 lim e x e x 2x . x0 x sin x
例6 求 lim ln(1 x2 ) . x0 sec x cos x
解
原式
lim
x0
x2 cos 1 cos 2
x x
1 恒 等 变 形 ， 非 零 因 子出分
x2
lim
x0
s
in2
x
定理2 设(1) lim f ( x) lim F ( x) ;
xa
xa
(2) 在 a 点的某邻域内(点 a 可以除外), f ( x)及
.
练习： lim x arctan x
x 2
2. 型 1 1 0 0 . 0 0 00
通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 0 或 不定型。 0
例10 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解 原式 lim x sin x x0 x sin x
lim 1 cos x 0. x0 sin x x cos x
例14 求 lim x cos x .
高中数学同步教学 第3章 §2 第1课时 实际问题中导数的意义
§2 导数在实际问题中的应用 第1课时 实际问题中导数的意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的 排
则f′(10)表示
A
•( )
• A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
• C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
• [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度,故选A.
2．物体自由落体运动的方程为
s(t)＝12gt2，g＝9.8
m/s2，若lim Δt→0
s1＋Δt－s1 Δt
＝g＝9.8 m/s，那么下面说法正确的是( C )
即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即此段时间质点的平均 速度为 17m/s.
(2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6.即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
•放,就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能 环
•保,势在必行．现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们 •希望汽油的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗最少 或
•每升汽油能使汽车行驶的路程最长． • 如何使汽油的使用效率最高？
• 1．在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理 解的量．以中路学程物关于理时为间例,速度是_______质_量__关_于__长_度的导数, 线密功度关是于_时_间____________的导数,功率是____________的导 数．
2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用1
第三章导数及其应用第二讲导数的简单应用练好题·考点自测1.［2021陕西模拟］若函数f(x）=kx-ln x在区间(1，+∞)上单调递增,则k的取值范围是（) A。
（-∞，—2］B.(-∞,—1]C。
［2,+∞）D.[1,+∞)2。
下列说法错误的是(）A。
函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的B。
若x0是可导函数y=f（x)的极值点，则一定有f'（x0）=0 C。
函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值D.函数f(x）=x sin x有无数个极值点3.［2020安徽安庆一中5月模拟］函数y=f(x）的导函数的图象如图3—2—1所示,给出下列命题:①（0,3)为函数y=f(x）的单调递减区间；②(5,+∞）为函数y=f（x)的单调递增区间；③函数y=f(x)在x=0处取得极大值;④函数y=f（x)在x=5处取得极小值.其中正确的命题序号是() A.①③B.②④C.①④ D。
②③④图3-2-14.[2017全国卷Ⅱ,11，5分］若x =—2是函数f (x ）=(x 2+ax —1）e x -1的极值点，则 f (x )的极小值为 （ ）A 。
—1 B.—2e -3 C 。
5e —3 D 。
15.[2021河南省名校第一次联考］已知函数f (x ）=x (x -c )2在x =2处取极大值,则c = 。
6。
[2021武汉市部分学校质检］设函数f (x )=ln1+sinx 2cosx在区间[−π4,π4］上的最小值和最大值分别为m 和M ，则m +M = .拓展变式1。
［2020全国卷Ⅱ，21,12分]［文］已知函数f (x )=2ln x +1. (1）若f （x ）≤2x +c ,求c 的取值范围; (2）设a >0，讨论函数g （x ）=f (x )-f (a )x -a的单调性。
2。
已知函数g （x ）=13x 3−a 2x 2+2x +5。
(1)若函数g (x )在（—2，-1）内单调递减，则a 的取值范围为 ；（2）若函数g （x ）在(-2,-1）内存在单调递减区间，则a 的取值范围为 ；（3）若函数g (x ）在（—2,—1）上不单调，则a 的取值范围为 。
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第三章 导数及其应用含答案
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba(n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则lnx 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14. 2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________． 解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a2＝－1，解得a ＝2.答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e， ∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋a x (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. 9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a❷，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________． 解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a ，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0， 故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________． 解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716[题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4. 4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1， 故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得 x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减．7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0, 函数f (x )单调递增．。
第三章,导数的应用
那么至少存在一个 a,b， 使得
(5)泰勒中值定理
f (b) f a f g b g a g .
设 f (x) 在区间I上n+1阶可导，x0 I，那么 xI ，至少存在一个 使
f (x)=f
x0
f x0 (x x0 )
f
x0
2!
(
x
x0
)2
f
(
n) x0
n!
(x
x0
)n
f (n1)
n
1!
(
x
x0
)n1
其中 介于 x0与x 之间.
2、极值与最值 (1)函数的极值 1)极值的概念
函数的极大值与极小值统 称为函数的极值 使函数取 得极值的点称为极值点
设函数 f (x) 在区间(a,b)内有定义 x0 (a,b) 如果在 x0 的某一去心邻域内 有 f (x) f (x0) 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值 如果在 x0 的某一 去心邻域内有 f (x) f (x0 )，则称 f (x0 )是函数 f (x)的一个极大值.
(2)函数的最值 求函数在 [a,b]上的最值的步骤如下： 计算函数 f (x) 在一切可能极值点 x1 , x2 , , xm的函数值，并将它们与 f (a), f (b)相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；即
M max f (x1), f (x2), , f (xm), f (a), f (b) m min f (x1), f (x2), , f (xm), f (a), f (b)
特别：当 f (x) 在[a,b] 上单调时最值必在端点处达到.
3、曲线的凹凸性与拐点
(1)曲线的凹凸性
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数的概念及运算
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》§3.1导数的概念及运算最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝1 x ln a4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)题组二教材改编2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝.答案2e解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.3．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x－y＋1＝0解析∵y′＝2(x＋2)2，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．若f (x )＝sin xx ，则f ′π2＝________.答案－4π2解析∵f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，∴f ′π2＝－4π2.6．(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．答案1解析∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x 21－2cos 2x4f ′(x )＝.答案－12cos x 解析因为y ＝sin x 2－cos x2＝－12sin x ，所以y ′＝－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .2．已知y ＝cos xe x，则y ′＝________.答案－sin x ＋cos x e x解析y ′＝cos xe x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.3．f (x )＝x (2019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2020，则x 0＝.答案1解析f ′(x )＝2019＋ln x ＋x ·1x＝2020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2020，得2020＋ln x 0＝2020，∴x 0＝1.4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝.答案－4解析∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案A解析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴0＝x 0ln x 0，0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点2求参数的值例2(1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝.答案1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，3＋a ＋b ＝3，×12＋a ＝k ，＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝.答案－2解析∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，∴m ＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋30.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，1＝f (x 1)，0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案y ＝0或4x ＋y ＋4＝0解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos xsin x 在点x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝.答案－1解析∵y ′＝－1－cos xsin 2x，∴y ′π2x =＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.(3)(2018·开封模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，2)解析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ()A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π答案C解析因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ＝－1π＋2π×(－1)＝－3π.2．(2018·衡水调研)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为()A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2答案B解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知，ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e.3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是()A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0答案C解析y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增；当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.5．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.3π4， B.π4，，3π4 D.0答案A解析求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.6．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．－e C.1eD ．－1e答案C解析y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x ＝＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.7．(2018·鹰潭模拟)已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为．答案(－2,9)解析∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)．8.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________.答案2解析设切点坐标为(m ，n )(m >0)，对y ＝14x 2－3ln x 求导得y ′＝12x －3x ，可令切线的斜率为12m－3m ＝－12，解方程可得m ＝2(舍去负值).9．若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为．答案－1＋ln 2解析由y ＝ln x ，可得y ′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，由曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y＝12x ＋b ，可得1x 0＝12，解得x 0＝2，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b ，b ＝－1＋ln 2.10．(2018·云南红河州检测)已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝______.答案1－e解析因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e.由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接)答案(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1)解析(1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－13x3＋c－n，则有h(－1)＝56＋c－n，h(0)＝c－n，h(1)＝16＋c－n，故h(0)<h(1)<h(－1)．12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)·(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.13．已知函数f(x)＝e x－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝e x垂直的切线，则实数m的取值范围是()D．(e，＋∞)答案B解析由题意知，方程f′(x)＝－1e有解，即ex－m＝－1e有解，即ex＝m－1e有解，故只要m－1e>0，即m>1e即可，故选B.14．(2018·泰安模拟)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，求a＋b的值．解依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ()A ．在直线y ＝－5x 上B ．在直线y ＝5x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案B 解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上．16．已知函数f (x )＝x －3x.(1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解(1)f ′(x )＝1＋3x2，设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0x －x 0)，∵切线过(0，－3)，∴－30－x 0)，解得x 0＝2，∴y 0＝12，∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3.(2)设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n x －m )，即y x －m )，令x ＝0，得y ＝－6m，从而切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·|－6m |·|2m |＝6，为定值．。
数学(文)一轮教学案：第三章第2讲 导数的应用 Word版含解析
第2讲导数的应用考纲展示命题探究1函数的单调性与导数的关系2用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意点应用导数解决函数单调性问题的原则方法(1)求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．(2)由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验.1．思维辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法．()答案(1)×(2)√(3)×2．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．故选D.3．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．答案 (ln 2，＋∞)解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．[考法综述] 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性．利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现，难度一般．命题法 判断函数的单调性典例 已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m ，m ∈R .(1)已知函数f (x )在点(1，f (1))处与x 轴相切，求实数m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a <b ，证明：f (b )－f (a )b －a<1a －1. [解] 由f (x )＝ln x －mx ＋m ，得f ′(x )＝1x －m (x >0)．(1)依题意得f ′(1)＝1－m ＝0，即m ＝1.(2)当m ≤0时，f ′(x )＝1x －m >0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m >0时，f ′(x )＝－m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m x ，由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上单调递减． (3)证明：由(1)知m ＝1，得f (x )＝ln x －x ＋1，对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a<1a －1可化为(ln b －b )－(ln a －a )b －a<1a －1，因为0<a <b ，所以有b －a >0，故不等式可化为(ln b －b )－(ln a －a )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1(b －a )，即ln b a <b a －1，令t ＝b a ，得ln t －t ＋1<0(t >1)，令f (t )＝ln t －t ＋1.由(2)知，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，即f (t )<f (1)，于是上式成立，故对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a <1a－1成立． 【解题法】 单调区间的求法及由单调性求参数取值范围的方法(1)利用导数求函数的单调区间的两个方法①方法一：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )；c ．解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；d ．解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ②方法二：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；c ．把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；d ．确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．1．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案 D解析 由题意可知存在唯一的整数x 0，使得e x 0(2x 0－1)<ax 0－a ，设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由g ′(x )＝e x (2x ＋1)可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)>g (0)h (－1)≤g (－1)，即⎩⎨⎧ a <1－2a ≤－3e ，所以32e≤a <1，故选D.2.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f (x )x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.3．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1k B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1答案 C解析 构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在R 上为增函数．∵k >1，∴1k －1>0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1>0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1， 所以选项C 错误，故选C.4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，2a >0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立．当a <0时，2a <0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a >2或a <－2，又因为a <0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选C.5．已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x－a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ， 所以g ′(x )＝2－2x ＋2a x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x 2当0<a <14时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减； 当a ≥14时，g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ＝0，解得a ＝x －1－ln x 1＋x －1. 令φ(x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －1－ln x 1＋x －1ln x ＋x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －12＋x －1－ln x 1＋x －1. 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝－e (e －2)1＋e －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫e －21＋e －12<0. 故存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 01＋x －10，u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)． 由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以0＝u (1)1＋1<u (x 0)1＋x －10＝a 0<u (e )1＋e －1＝e －21＋e －1<1. 即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0.所以，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．6.设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ， 从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x－e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366， x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 7．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )>0， 故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)． 1 判断函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．2 求可导函数f (x )的极值的步骤(1)求导函数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极小值，可列表完成．3 函数的最值在闭区间[a ，b ]上的连续函数y ＝f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值．在区间(a ，b )上的连续函数y ＝f (x )，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．注意点 极值点的含义及极值与最值的关系(1)“极值点”不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1即为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．(2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.1．思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点．( )(2)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )A ．72B ．36C ．12D ．0 答案 D解析 因为y ′＝4x 3－4，令y ′＝0即4x 3－4＝0，解得x ＝1.当x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，所以函数的极小值为y |x ＝1＝0，而在端点处的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，所以y min ＝0.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. [考法综述] 函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大．命题法 求函数的极值与最值典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1). (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．[解] (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－∞，0) 0 f ′(x )－ 0 ＋ 0 －f (x )极小值 极大值 点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.【解题法】 求函数极值和最值的方法(1)求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表结合导函数与0的大小(或函数的单调性)进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．(2)函数的最大值①若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．②若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．③函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 由A 知a －b ＋c ＝0；由B 知f ′(x )＝2ax ＋b,2a ＋b ＝0；由C 知f ′(x )＝2ax ＋b ，令f ′(x )＝0可得x ＝－b 2a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝3，则4ac －b 24a ＝3；由D 知4a ＋2b ＋c ＝8.假设A 选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ≠0，2a ＋b ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－10，c ＝8，满足题意，故A 结论错误．同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫372，5 B ．(5，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫374，25 D ．(5,25)答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c >0，3＋2b ＋c <0，12＋4b ＋c >0，作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2表示可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－2,1)答案 C 解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，解得－5<a <1，且a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2，1)．4．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2015π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A ．－e 2π(1－e 2015π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2015π)1－e πC ．－1－e 2016π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π答案 D解析 因为f ′(x )＝2e x sin x ，所以x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z )，又0≤x ≤2015π，所以f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2014π＝－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π，故选D. 5．已知点M 在曲线y ＝3ln x －x 2上，点N 在直线x －y ＋2＝0上，则|MN |的最小值为________．答案 2 2解析 当点M 处的曲线的切线与直线x －y ＋2＝0平行时|MN |取得最小值．令y ′＝－2x ＋3x ＝1，解得x ＝1，所以点M 的坐标为(1，－1)，所以点M 到直线x －y ＋2＝0的距离为|1＋2＋1|2＝22，即|MN |的最小值为2 2.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6在x ＝________时取得极小值． 答案 2解析 依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )在x ＝2时取得极小值．7．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，所以a ＝1.(2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )<0，又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0.因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈[2，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增．所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0，且x ∈(0，x 0)时，f (x )<g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>g (x )，所以m (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0]时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0]，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1>0.可知0<m (x )≤m (x 0)．故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e 2.8.设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 9.设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k …是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ·x 2－2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)(e x －kx )x 3(x >0)， 由k ≤0，知e x －kx >0，令f ′(x )＝0，则x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．综上，f (x )的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知f ′(x )＝0，即e x －kx ＝0在(0,2)内存在两个不等实根． 令g (x )＝e x －kx ，g ′(x )＝e x －k ，令g ′(x )＝0，x ＝ln k ，则0<ln k <2，即1<k <e 2.当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．当ln k <x <2时，g (x )为增函数．∵g (0)＝1>0，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0，g (ln k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧e 2－2k >0，e ln k －k ·ln k <0，得e<k <e 22. 综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22 10．已知函数f (x )＝ln x －a (x 2－x )(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )在[1,2]上的最大值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1x －2x ＋1. ∴f (1)＝0，f ′(1)＝0，即所求切线方程为：y ＝0.(2)∵f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2＋ax ＋1x，x >0. ∴当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在[1,2]上单调递增．∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2.当a ≠0时，可令g (x )＝－2ax 2＋ax ＋1，x ∈[1,2]，g (x )的对称轴x ＝14且过点(0,1)．∴当a <0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .当a >0时，若g (1)≤0，即a ≥1时，f ′(x )<0在[1,2]上恒成立． f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.若g (1)>0，g (2)<0，即16<a <1时，f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋8a 4a 上大于零， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上小于零， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ＝ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48. 若g (1)>0，g (2)≥0，即0<a ≤16时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .综上：f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln 2－2a ，a ≤16ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48，16<a <10，a ≥1.11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)当a ＝2时，对于任意的m ∈[－1,1]，n ∈[－1,1]，求f (m )＋f ′(n )的最小值；(2)若存在x 0∈(0，＋∞)，使f (x 0)>0，求a 的取值范围．解 (1)由题意得f (x )＝－x 3＋2x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或43.当x 在[－1,1]上变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵f ′(x )＝－3x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝23，且抛物线开口向下，∴对于n ∈[－1,1]，f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－7.∴f (m )＋f ′(n )的最小值为－11.(2)∵f ′(x )＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.①若a ≤0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (0)＝－4，则当x >0时，f (x )<－4.∴当a ≤0时，不存在x 0>0，使f (x 0)>0.②若a >0，则当0<x <2a 3时，f ′(x )>0；当x >2a 3时，f ′(x )<0.从而f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2a 3上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递减， ∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝－8a 327＋4a 39－4＝427a 3－4. 根据题意，得4a 327－4>0，即a 3>27，解得a >3.综上，a 的取值范围是(3，＋∞)．1 利用导数证明不等式的常用技巧(1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式．(2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证．(3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累．其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论．2 导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3 利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．注意点 函数定义域的重要性在函数的综合应用中，不论是研究函数的性质，还是构造函数，还是建立新的函数关系时，都要正确求出函数的定义域，再利用导数求解.1．思维辨析(1)2ax ＋e x≥x ＋1恒成立，可转化为a ≥x ＋1－e x2x 恒成立．( ) (2)对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，则f (x )min ≥g (x )max .( )(3)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，则f (x )－g (x )有2个零点．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．在区间(0，π)上，sin x 与x 的大小关系是________．答案 sin x <x解析 构造函数f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0且不恒等于0，故函数f (x )在(0，π)上单调递减，所以f (x )<f (0)＝0，故sin x <x .3．已知函数f (x )＝x ＋1e x .(1)讨论函数f (x )的单调性，并求其最值；(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )<ax 2＋1恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝x ＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x ＝0，则x ＝0.当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值为f (0)＝1，无最大值．(2)由(1)知，若a ＝0，则当x >0时f (x )>1＝ax 2＋1，原不等式不成立．若a <0，则当x >0时，ax 2＋1<1，原不等式不成立．若a >0，f (x )<ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x >1.设φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x ，那么φ′(x )＝[ax 2＋(2a －1)x ]e x .若a ≥12，则φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x 在(0，＋∞)上单调递增，φ(x )的最小值大于φ(0)＝1，因而(ax 2－x ＋1)e x >1恒成立．若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －2时φ(x )单调递减，φ(x )<φ(0)＝1，原不等式不成立．综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [考法综述] 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值，曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视．命题法1 利用导数证明不等式问题典例1 已知函数f (x )＝e xx e x ＋1. (1)证明：0<f (x )≤1；(2)当x >0时，f (x )>1ax 2＋1，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x .当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1>0.又e x >0，故f (x )>0.f ′(x )＝e x (1－e x )(x e x ＋1)2. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1.综上，有0<f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )<1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a <0，则当0<x <1－a时，1ax 2＋1>1，不等式不成立． ③若a >0，则f (x )>1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x －1>0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x .若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a >0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【解题法】 利用导数证明不等式的方法(1)证明f (x )≥g (x )或f (x )≤g (x )，可通过构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，将上述不等式转化为求证h (x )≥0或h (x )≤0，从而利用求h (x )的最小值或最大值来证明不等式．(2)关于恒成立问题可以转化为求函数的最值．一般地，f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a 即可；f (x )≤a 恒成立，只需f (x )max ≤a 即可．命题法2 利用导数研究函数的零点问题典例2 已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 2－x 1≤－a 3＋4 13 .[解] (1)由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3.当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：设点P 的坐标为(x 0,0)，则x 0＝4 13 ，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)·(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )>0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．(3)证明：由(2)知g(x)＝－12(x－413)．设方程g(x)＝a的根为x2′，可得x2′＝－a12＋413.因为g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)，因此x2≤x2′.类似地，设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x)，可得h(x)＝4x.对于任意的x∈(－∞，＋∞)，有f(x)－h(x)＝－x4≤0，即f(x)≤h(x)．设方程h(x)＝a的根为x1′，可得x1′＝a4.因为h(x)＝4x在(－∞，＋∞)上单调递增，且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1.由此可得x2－x1≤x2′－x1′＝－a3＋413.【解题法】利用导数研究零点问题的方法利用导数研究方程根、函数的零点、图象交点问题的常用方法为：通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目的要求得出图象的走势规律，通过数形结合的思想分析问题，使问题的求解清晰、直观的整体展现．命题法3利用导数求解实际生活中的优化问题典例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[解] (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3， 又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ≥2r ， 整理得40r 2≥5r ，故0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2. 令 320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综合所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2. 【解题法】 利用导数解决实际生活中的优化问题的方法(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)判断使f ′(x )＝0的点是极大值点还是极小值点．(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．1.设f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2答案 C 解析 由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )x>0，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，即[xf (x )]′>0，函数xf (x )单调递增；当x <0时，xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，函数xf (x )单调递减．∴xf (x )>0f (0)＝0，又g (x )＝f (x )＋x －1＝xf (x )＋1x ，函数g (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数等价于函数y ＝xf (x )＋1的零点个数．当x >0时，y ＝xf (x )＋1>1，当x <0时，y ＝xf (x )＋1>1，所以函数y ＝xf (x )＋1无零点，所以函数g (x )＝f (x )＋x －1的零点个数为0.故选C.2．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2016)解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，∴[x 2f (x )]′<x 3<0.令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2014)＝(x ＋2014)2f (x ＋2014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0即为F (x ＋2014)－F (－2)>0，即F (x ＋2014)>F (－2)，又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2014<－2，∴x <－2016.3．已知f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________． 答案 a ≤－32解析 f ′(x )＝a ＋sin x .依题意可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上为减函数，所以f ′(x )≤0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立，可得a ≤－sin x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立．设g (x )＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.易知g (x )为减函数，故g (x )min ＝－32，所以a ≤－32.4．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．5．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1.解 (1)f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ≥0，故f (x )是R 上的单调递增函数，其单调增区间是(－∞，＋∞)，无单调减区间．(2)证明：因为f (0)＝(1＋02)e 0－a ＝1－a <0，且f (ln a )＝(1＋ln 2 a )e ln a －a ＝(1＋ln 2 a )a －a ＝a ln 2 a >0，由零点存在性定理知，f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点． 又由(1)知，函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数， 故函数f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：设点P (x 0，y 0)，由曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行知，f ′(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝(x 0＋1)2e x 0＝0，(x 0＋1)2＝0，x 0＝－1，即P (－1,2e －1－a )．由点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行知，f ′(m )＝k OP ，即(1＋m )2e m ＝2e －1－a －0－1－0＝a －2e . 由e m ≥1＋m 知，(1＋m )3≤(1＋m )2e m＝a －2e ， 即1＋m ≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e －1.6．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x . 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是(－∞，1)． 7．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 解 (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得 f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx . 由f ′(x )＝0，解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：∞)；f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．。
2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第2节：导数与函数的单调性(教师版)
2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第2节导数与函数的单调性考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.3.单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(易错题)函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为()A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析由f(x)＝x＋ln(2－x)，得f′(x)＝1－12－x＝1－x2－x(x<2).令f′(x)>0，即1－x2－x>0，解得x<1.∴函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为(－∞，1).3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图像易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.R答案B解析由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.考点一不含参函数的单调性1.函数f(x)＝x＋3x＋2ln x的单调递减区间是()A.(－3，1)B.(0，1)C.(－1，3)D.(0，3)答案B 解析法一函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2＋2x ，令f ′(x )＝1－3x 2＋2x<0，得0<x <1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选B.法二由题意知x >0，故排除A 、C 选项；又f (1)＝4<f (2)＝72＋2ln 2，故排除D选项.故选B.2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________.答案(2，＋∞)解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，得x >2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞).3.已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.答案0，π6，5π6，π解析f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)，令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π或5π<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )0，π6，5π6，π.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二讨论含参函数的单调性例1已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性.解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.(1)当0<a<1时，1a>1，∴x∈(0，1)f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)(2)当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a>1时，0<1a<1，∴x(1，＋∞)时，f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)(1，＋∞).综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)(1，＋∞).感悟提升 1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0，讨论f (x )的单调性.解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3＝a （x －1）x 3x －2a x ＋2a (1)当0<a <2时，2a>1，当x (0，1)∪2a，＋∞时，f ′(x )>0，当x 1，2a 时，f ′(x )<0.(2)当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )递增.(3)当a >2时，0<2a <1，当x 0，2a ∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x 2a，1时，f ′(x )<0.综上所述，当0<a <2时，f (x )在(0，1)2a ，＋∞内递增，在1，2a 内递减.当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内递增；当a >2时，f (x )0，2a (1，＋∞)2a，1.考点三根据函数单调性求参数值(范围)例2(经典母题)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax，若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)f (x )＝2x ＋bx＋ln x ，定义域为(0，＋∞).∴f ′(x )＝2－b x 2＋1x ＝2x 2＋x －bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2x2＋x－3x2，令f′(x)<0，得0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax(x>0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).迁移在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.3.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.训练2(1)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()A.13，＋∞ B.－∞，13C.13，＋∞ D.－∞，13(2)(2022·郑州调研)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案(1)C(2)(1，2]解析(1)由y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，所以y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，或y ′＝3x 2＋2x ＋m ≤0恒成立，显然y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，则Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.(2)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x.又x >0，令f ′(x )＝x －9x ≤0，得0<x ≤3.因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.考点四与导数有关的函数单调性的应用角度1比较大小例3(1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则π5f (1)，f －π3的大小关系为()A.－π3f (1)>π5B.f (1)>－π3π5C.π5f (1)>－π3D.－π3π5>f (1)(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b答案(1)A(2)D解析(1)因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以又当x f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )f (1)<f (1)> A.(2)设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴c ＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .角度2解不等式例4已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为()A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，2)答案D解析f (x )>f ′（x ）ln 2⇔f ′(x )－ln 2·f (x )<0.令g(x)＝f（x）2x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）·ln22x，∴g′(x)<0，则g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函数，得f(2)＝－2，则g(2)＝f（2）22＝－12，又f(x)>－2x－1⇔f（x）2x>－12＝g(2)，即g(x)>g(2)，所以x<2.感悟提升 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3(1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(32)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2021·西安模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝12，则满足不等式f(x)>1e x的x的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(ln2，＋∞)D.(0，ln2)答案(1)D(2)C解析(1)由题意，得f′(x)＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .(2)对任意x ∈R ，都有f ′(x )>－f (x )成立，即f ′(x )＋f (x )>0.令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]>0，所以函数g (x )在R 上单调递增.不等式f (x )>1e x 即e xf (x )>1，即g (x )>1.因为f (ln 2)＝12，所以g (ln 2)＝e ln 2f (ln 2)＝2×12＝1.故当x >ln 2时，g (x )>g (ln 2)＝1，所以不等式g (x )>1的解集为(ln 2，＋∞).1.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是()A.在区间(－2，1)上f (x )单调递增B.在区间(1，3)上f (x )单调递减C.在区间(4，5)上f (x )单调递增D.在区间(3，5)上f (x )单调递增答案C解析在区间(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增.2.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为()D.(－∞，a)答案A解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝1x－a>0，得0<x<1a，所以f(x)3.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是()答案D解析由函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足. 4.(2021·德阳诊断)若函数f(x)＝e x(sin x＋a)在R上单调递增，则实数a的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(1，＋∞)C.[－1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析因为f(x)＝e x(sin x＋a)，所以f′(x)＝e x(sin x＋a＋cos x).要使函数f(x)在R上单调递增，需使f′(x)≥0恒成立，即sin x＋a＋cos x≥0恒成立，所以a≥－sin x－cos x.因为－sin x－cos x＝－2sin所以－2≤－sin x－cos x≤2，所以a≥ 2.5.(2021·江南十校联考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.a>－12B.0<a<116C.a>116或－12<a<0 D.a>116答案D解析f′(x)＝2ax－4a－1x＝2ax2－4ax－1x，令g(x)＝2ax2－4ax－1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1，若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，（1）＝－2a－1<0，（4）＝16a－1>0，<0，（1）＝－2a－1>0，（4）＝16a－1<0，解得a>116或a<－12.∴a>116是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.6.已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c答案A解析由函数y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，则a＝b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)，又当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上为减函数，所以b<a<c，故选A.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，≠0，＝36＋12a >0，解得a >－3且a ≠0.8.(2022·哈尔滨调研)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案1解析f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x(x >0)，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.－1≥0，－1<12<k ＋1，解之得1≤k <32.9.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________.答案(－∞，－2)∪(0，2)解析令φ(x )＝f （x ）x，∵当x >0时，f （x ）x ′＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，由数形结合知x∈(－∞，－2)时，f(x)>0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).10.已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f′(x)＝1x－ln x－ke x(x>0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x(x>0).设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).11.讨论函数g(x)＝(x－a－1)e x－(x－a)2的单调性.解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(ln2，a)时，f′(x)<0；②当a＝ln2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(a，ln2)时，f′(x)<0，综上，当a>ln2时，f(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，f(x)在R上单调递增；当a<ln2时，f(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减.12.已知a＝ln33，b＝e－1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c答案D解析依题意，得a＝ln33＝ln33，b＝e－1＝ln ee，c＝3ln28＝ln88.令f(x)＝ln xx(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.13.(2021·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1的解集是________.答案1解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x<0，则g(x)在(0，＋∞)上递减，于是在(－∞，0)上递增.由f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1得f(2x)－(2x)2>f(x－1)－(x－1)2，即g (2x )>g (x －1)，于是g (|2x |)>g (|x －1|)，则|2x |<|x －1|，解得－1<x <13.14.(2021·全国乙卷)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解(1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞(1＋1－3a 3，＋∞)上单调递增，在.(2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .＝（1＋a ）x ，＝x 3－x 2＋ax ＋1，＝1，＝1＋a＝－1，＝－1－a .所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).。
高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版
利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出 单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的 定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征， 利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能 用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内 没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不 恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的 充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数 的符号．
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用2利用导数研究函数的单调性课件新人教版
π
π
-π,, 0,
____________.
2
2
由题意可知 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令 f'(x)=xcos x>0,解得其在区间(-π,π)内的解集为
即 f(x)的单调递增区间为
π
-π,- 2
,
π
0, 2
.
π
-π,2
∪
π
0,
2
,
解题心得利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法
等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数
的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用
到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+∞),
1
-42 +3+1
故 f'(x)= -4x+3=
=
-(4+1)(-1)
(x>0).
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增;
1
2
7
7
即 g(x)在区间[1,4]上单调递增,g(x)max=g(4)= − =- ,即 a≥- .