新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.1.2线段的垂直平分线》优质课教学设计_1
13.1.2线段的垂直平分线的性质(1)+课件+2023—2024学年人教版数学八年级上册
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B )
A．8
B．11
C．16
D．17
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点 E，ED垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC. 证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. 又ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴CE＝DE. ∵ED垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
(2)若△ABC的周长为14 cm，AC＝6 cm，求DC的长． 解：∵△ABC的周长为14 cm， ∴AB＋BC＋AC＝14cm. ∵AC＝6 cm， ∴AB＋BC＝8cm. ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE＋EC＝12(AB＋BC)＝12 ×8＝4(cm)．
7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°， 则∠AOC＝__7_8_°__.
长为( C ) A．25
B．22
C．19
D．18
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB， BC于点D，E，若∠CAE＝∠B＋18°，则∠B的度数为__2_4_°__.
5．【几何直观、推理能力】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直 平分AC和BC，分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长； 解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN. ∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB． 又△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm.
∴AD＝BC．
(2)点O在线段AB的垂直平分线上． ∠DOA＝∠COB，
人教版初中数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)
一、复习回顾 1.线段的垂直平分线的性质定理： 2.线段的垂直平分线的判定定理：
尺规作图：经过已知直线外的一点作这 条直线的垂线。 已知：直线AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C。
（教材62页）
这样作垂线的原理是什么？
下面的交通标志是轴对称图形吗?如果是 轴对称图形,你能找到它的对称轴吗?
活动:画对称轴
我们已经学过,如果两个图形 关于某条直线对称,那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直 平分线,所以我们只要找到两个图 形的一对对应点,然后画出以对应 点为端点的线段的垂直平分线即 可,如何作线段的垂直平分线呢?
例2.如图(1)所示,已知点A和点B关于某条
直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
过这两点的直线,即为对称轴.
思考
作对称轴的前提是两个图形成轴 对称或一个图形是轴对称图形,否 则,不存在对称轴。
两个图形成轴对称时,任找一对对应 点,作出连接它们的线段的垂直平分 线就是对称轴.
检测反馈 1.正六边形的对称轴有 ( B )
A.3条 B.6条 C.9条 D.12条
2．如图所示的四角星图形是轴对称图 形,它共有对称轴 ( D ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,共有 4条对称轴.故选D.
3.下列图形中,对称轴条数最多的是 ()
解析:A.如图 所示,该图形 的对称轴有4 条;
C.如图所示,该图 形的对称轴有3条;
B.如图所示,该 图形的对称轴有 6条;
D.如图所示,该图形
的对称轴有5条.
综上所述,对称轴条数最多的是B选项.故选B.
4.如图所示,作出它们的对称轴.
解析: 找对称点,作对称点连线的垂直
人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
16．如图，已知在△ABC 中，BC 边的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交 于点 E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 交 AC 于点 G.求证：
(1)BF＝CG； (2)AF＝21 (AB＋AC).
证明：(1)连接 BE，CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵DE
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求 证：点A在CD的垂直平分线上.
证 明 ： 连 接 AC.∵MN 垂 直 平 分 BC ， MN 经 过 点 A ， ∴ AB ＝ AC.∵AB ＝ AD ， ∴AC＝AD.∴点A在CD的垂直平分线上
8．如图，已知钝角三角形ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.
A．30 cm B．16 cm C．28 cm D．以上都不对
3．(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， 连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( ) B
A．8 B．11 C．16 D．17
4．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大 小关系是( B )
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC 的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AE＝ AF.
解 ： ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ EAO ＝ ∠ FCO ， 又 ∵ OA ＝ OC ， ∠ AOE ＝ ∠ COF ， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴AC垂直平分EF，∴AE＝ AF
14．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， △ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.1.2线段的垂直平分线》优质课教案_0
§1.3.1线段的垂直平分线教学设计教学目标(一)教学知识点1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能够利用线段的垂直平分线的性质和判定解决问题．(二)思维训练要求1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．教学难点写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．教具准备多媒体演示、直尺教学过程Ⅰ．创设现实情境，引入新课1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线？2.你能找出线段的对称轴吗？3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由Ⅱ．讲述新课[第一部分] 线段垂直平分线的性质定理[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？[师]（引导）问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？③谁能帮老师分析一下证明思路？[生]（思考回答）[师生共析]已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．巩固练习练习1如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．练习 2 课本P62页练习[第二部分] 线段垂直平分线的判定定理教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？[师]（引导、并提问两学生）问题二：①这个命题是否属于“如果……那么……”的形式？②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式吗？③最后再把它的逆命题写出来[生A]（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[师]good!当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．（给学生思考空间）已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）[师]看学生的具体情况，做适当的引导证法一：∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PA C≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二：Array证明：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：Array证明：过P点作∠APB的角平分线．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴P点在线段AB的垂直平分线上．[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正。
新人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称全章课件
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角 度时，PR的长度小于6还是大于6？并完整说 明你判断的理由．
解：PR的长度小于6，理由如下： ∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在 同一直线上，∴PB＋BR＞PR. ∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝6， ∴PR＜6.
重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它
的对称轴.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？
二 轴对称的性质
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分
1.下列表情图中，属于轴对称图形的是（ D ）
2.下列图形，对称轴最多的是（ D ）
A.长方形
B.正方形
C.角
D.圆
3.如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以 下结论中错误的是（ A ）
A．AB∥DF
B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=50°，将其折叠，使 点A落在边CB上A′处，折痕为 CD，则∠A′DB的度数为__1_0_°___.
A
A′
B
N B′
典例精析
例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的 四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°， 则∠BCD的度数是( A ) A．130° B．150° C．40° D．65°
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度 时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度 数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
最新人教版数学八年级上册第十三章1.2 线段的垂直平分线的性质(第2课时)
个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小 区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分 线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直 A 平分线与公路的交点即可.
B 公共汽车站
探究新知
13.1 轴对称/
素养考点 1 利用线段的垂直平分线的性质作图
l B
用同样的方法，可以找出五条对 称轴，所以五角星有五条对称轴．
探究新知
归纳总结
13.1 轴对称/
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一 组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线， 即能得此图形的对称轴.
探究新知
13.1 轴对称/
素养考点 作轴对称图形的对称轴
例 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺
巩固练习
13.1 轴对称/
如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 1 AB长为半
2
径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ D ） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
探究新知
13.1 轴对称/
素养考点 2 利用作图解决实际问题
例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M， N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库， 希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等， 你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的 设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
M A
O N
B
探究新知
解：如图所示：
A
M
P
O
N
13.1 轴对称/
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到 两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交 点即为所求.
最新人教版初中八年级上册数学【第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (第一课时)】教学课件
问题类型一：解决与长度有关的问题
例 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，AE＝4，
若△DBC的周长为12，求△ABC的周长.
4
解：DE是AB边上的垂直平分线,
DB DA, BE AE 4,
4
AB=AE +BE 8, CBDC BC BD CD 12,
BD AD,
∴BC+BD+CD= BC+AD+CD =BC AC 12. CABC =AB BC AC 812 20.
猜想与证明2
已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点. 证明：
（1）如图,当点P在线段AB上时，若PA=PB,则点P为线段 AB的中点,点P必在线段AB的垂直平分线上.
猜想与证明2 已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点.
（2）如图,当点P在线段AB外，
方法点拨：我们需要过点P作出一条辅助线, 然后证明这条辅助线是线段AB的垂直平分线.
∵ ADP BDP 180o. ADP BDP 90. PD垂 直 平 分AB,即 P在 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 上 .
猜想与证明2
结论：
与线段的两个端点的距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
P
用符号语言描述： ∵ PA=PB， ∴ P为线段AB垂直平分线l上一点.
学以致用2
如图，AB=AC，MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM 是线段BC的垂直平分线. 理由如下
∵ AB AC
点A在线段BC的垂直平分线上.
∵ MB MC 点M 在线段BC的垂直平分线上. 直 线 AM 是 线 段 BC的 垂 直 平 分 线 .
八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质课件新版新人教版
新课导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两 个图形成轴对称的意义和性质，这节课我 们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线 的性质和判定.
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有 关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课 知识点1 探索并证明线段垂直平分线的性质
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
作法：如图． （为1半）径分作别弧以，点两A弧，相B交为于圆C心，，D以两大点于；12 AB的长
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
C
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？ A
B
确定线段的中点．
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出 图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只 要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段 的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．分Βιβλιοθήκη 上．ABC
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，
A
B
C
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距
离相等的点，在这条线段的 A 垂直平分线上．
C
B
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线
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《线段的垂直平分线》教学设计
一、教学目标及重难点
（一）、教学目标
1.知识与技能:掌握线段垂直平分线的性质，会灵活运用线段垂直平分线的性质及其逆命题，解决一些实际问题。
2.过程与方法:自己动手，探究发现线段垂直平分线的性质，小组合作探究性质的逆命题的证明方法，培养学生认真观察，积极思考，实验推理能力。
学会与人合作并能与他人交流思维的过程和结果。
3.情感态度价值观:学生能积极参与数学学习活动，并且从数学活动中获得成功的体验，建立自信心，提高学习数学的兴趣。
（二）、重难点
1.重点:掌握线段垂直平分线的性质及逆命题，用所学知识解决一些实际问题。
2.难点:线段垂直平分线的性质及逆命题两个定理之间的理解和应用。
二、教法与学法
1.教法:这节课我采用探究发现法完成本节的教学，教学中以学生参与为主，便于激发学生学习的热情，体验成功的喜悦，通过学生自己动手获得新知识，也为掌握理性知识创造条件，这更有利于调动学生的积极性，激发学生兴趣，并使学生变被动为主动学习，这也符合数学教学的直观性和可接受性！
2.学法:教学中，把重点放在学生如何学，认为学生在学习中运用发现
法，感受线段垂直平分线的两个定理，通过学生自己动手，观察猜想，讨论等活动，让学生自己主动发现几何图形的性质，这样做有利于活跃学生的思维。
三、教学过程
（一）创设问题情境，温故知新
1.什么是轴对称图形？
2.线段是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴
设计意图:巩固旧知识，为学习新内容做铺垫。
（二）:动手动脑
1.在一张纸上，任意画一条线段AB；
2.将纸对折，使线段A、B的端点重合；
3.把纸展开，并画出折痕所在的直线MN；
4.在直线MN上任取一点p,分别连接PA,PB；
5.猜想PA与PB的关系.
得出结论:现线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
验证此结论:通过作图、观察、量一量、折一折，通过证明两个三角形全等，最后强调用几何语言说明一下性质定理。
课堂练习
练习 1.如图,AD⊥BC，BD =DC，点 C 在AE 的垂直平分线上,AB、AC、CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
练习1图练习2图练习2.如图在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长等于______．第一道练习设计意图:是为了巩固新知识，了解学生对知识的掌握程度，第二道练习是体现把学生的转化思想渗透到数学当中。
（三）合作探究
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB的垂直平上呢？
已知：如图，PA =PB
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上
练习3
．这里给学生充足合作的时间，也给学生充分展示合作成果的机会。
巩固练习
练习3.如图，AB =AC，MB =MC．直线AM是线段BC 的垂直平分线吗？（说理板书）
设计意图:进一步巩固新知，同时也是为了了解学生对知识的掌握程度。
（四）总结反思
这节课你都学到了哪些知识？（同桌交流）
(五) 作业设计
教科书65-66页第6、7、8、9题。