新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.1.2线段的垂直平分线》优质课教学设计_1

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13.1.2线段的垂直平分线的性质(1)+课件+2023—2024学年人教版数学八年级上册

3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B )
A．8
B．11
C．16
D．17
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点 E，ED垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC. 证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. 又ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴CE＝DE. ∵ED垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
(2)若△ABC的周长为14 cm，AC＝6 cm，求DC的长．解：∵△ABC的周长为14 cm， ∴AB＋BC＋AC＝14cm. ∵AC＝6 cm， ∴AB＋BC＝8cm. ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE＋EC＝12(AB＋BC)＝12 ×8＝4(cm)．
7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝__7_8_°__.
长为( C ) A．25
B．22
C．19
D．18
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB， BC于点D，E，若∠CAE＝∠B＋18°，则∠B的度数为__2_4_°__.
5．【几何直观、推理能力】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN. ∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB．又△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm.
∴AD＝BC．
(2)点O在线段AB的垂直平分线上． ∠DOA＝∠COB，

人教版初中数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)

13.2线段的垂直平分线的性质（2）
一、复习回顾 1.线段的垂直平分线的性质定理： 2.线段的垂直平分线的判定定理：
尺规作图：经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。已知：直线AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C。
（教材62页）
这样作垂线的原理是什么？
下面的交通标志是轴对称图形吗?如果是轴对称图形,你能找到它的对称轴吗?
活动:画对称轴
我们已经学过,如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,所以我们只要找到两个图形的一对对应点,然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可,如何作线段的垂直平分线呢?
例2.如图(1)所示,已知点A和点B关于某条
直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
过这两点的直线,即为对称轴.
思考
作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形,否则,不存在对称轴。
两个图形成轴对称时,任找一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线就是对称轴.
检测反馈 1.正六边形的对称轴有 ( B )
A.3条 B.6条 C.9条 D.12条
2．如图所示的四角星图形是轴对称图形,它共有对称轴 ( D ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,共有 4条对称轴.故选D.
3.下列图形中,对称轴条数最多的是 ()
解析:A.如图所示,该图形的对称轴有4 条;
C.如图所示,该图形的对称轴有3条;
B.如图所示,该图形的对称轴有 6条;
D.如图所示,该图形
的对称轴有5条.
综上所述,对称轴条数最多的是B选项.故选B.
4.如图所示,作出它们的对称轴.
解析: 找对称点,作对称点连线的垂直

人教版八年级数学上册第十三章轴对称线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定

16．如图，已知在△ABC 中，BC 边的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于点 E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 交 AC 于点 G.求证：
(1)BF＝CG； (2)AF＝21 (AB＋AC).
证明：(1)连接 BE，CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵DE
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求证：点A在CD的垂直平分线上.
证明：连接 AC.∵MN 垂直平分 BC ， MN 经过点 A ， ∴ AB ＝ AC.∵AB ＝ AD ， ∴AC＝AD.∴点A在CD的垂直平分线上
8．如图，已知钝角三角形ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.
A．30 cm B．16 cm C．28 cm D．以上都不对
3．(2020·枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( ) B
A．8 B．11 C．16 D．17
4．如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( B )
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC 的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AE＝ AF.
解： ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ EAO ＝ ∠ FCO ，又 ∵ OA ＝ OC ， ∠ AOE ＝ ∠ COF ， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴AC垂直平分EF，∴AE＝ AF
14．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， △ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．

新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.1.2线段的垂直平分线》优质课教案_0

§1.3.1线段的垂直平分线教学设计教学目标(一)教学知识点1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能够利用线段的垂直平分线的性质和判定解决问题．(二)思维训练要求1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．教学难点写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．教具准备多媒体演示、直尺教学过程Ⅰ．创设现实情境，引入新课1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线？2.你能找出线段的对称轴吗？3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由Ⅱ．讲述新课[第一部分] 线段垂直平分线的性质定理[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？[师]（引导）问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？③谁能帮老师分析一下证明思路？[生]（思考回答）[师生共析]已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．巩固练习练习1如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．练习 2 课本P62页练习[第二部分] 线段垂直平分线的判定定理教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？[师]（引导、并提问两学生）问题二：①这个命题是否属于“如果……那么……”的形式？②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式吗？③最后再把它的逆命题写出来[生A]（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[师]good!当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．（给学生思考空间）已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）[师]看学生的具体情况，做适当的引导证法一：∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PA C≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二：Array证明：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：Array证明：过P点作∠APB的角平分线．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴P点在线段AB的垂直平分线上．[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正。

新人教版八年级数学上册第十三章轴对称全章课件

(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于6还是大于6？并完整说明你判断的理由．
解：PR的长度小于6，理由如下： ∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB＋BR＞PR. ∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝6， ∴PR＜6.
重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它
的对称轴.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？
二轴对称的性质
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分
1.下列表情图中，属于轴对称图形的是（ D ）
2.下列图形，对称轴最多的是（ D ）
A.长方形
B.正方形
C.角
D.圆
3.如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（ A ）
A．AB∥DF
B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为 CD，则∠A′DB的度数为__1_0_°___.
A
A′
B
N B′
典例精析
例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( A ) A．130° B．150° C．40° D．65°
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.

八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质课件新版新人教版

13.1.2 线段的垂直平分线的性质
新课导入
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
（1）能叙述出线段垂直平分线的性质.
（2）能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
推进新课知识点1 探索并证明线段垂直平分线的性质
A
B
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？
作法：如图．（为1半）径分作别弧以，点两A弧，相B交为于圆C心，，D以两大点于；12 AB的长
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
C
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？ A
B
确定线段的中点．
D
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．分Βιβλιοθήκη 上．ABC
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．又 PC⊥AB，
A
B
C
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
P
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距
离相等的点，在这条线段的 A 垂直平分线上．
C
B
练习1 如图，AB =AC，MB =MC．直线

人教版数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质

第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题自主学习一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.（1）点A的对称点是_______（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？（3）AB与直线l在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.三、自学自测如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( ) A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2：已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延课堂探究B ACM N M ' N ' PBAC长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.针对训练1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_________.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D，求证：BE+DE=AC．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图①图②（1）如图①要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？点C在_____________上.（2）如图②，拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上.（3）由（1），（2），你得到什么猜想？要点归纳：DA BOOBAC与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上.2.证一证：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．二、课堂小结PA B线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测ABDC第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的有关作图学习目标：1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题温故知新1.按如下要求，用尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．2.轴对称图形的性质是_______________________________________.3.线段垂直平分线的性质是_______________________________________.二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的画法问题1：如何验证两个图形是轴对称的？不折叠图形，你能准确地作出图形的对称轴吗？图①图②问题2:如何作出线段的垂直平分线?[提示:由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出到线段两端点距离相等的两点即可.]已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧?思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.归纳总结：可以运用线段垂直平分线的尺规作图，确定线段的中点.典例精析例1：如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线段的垂直平分线上.课堂探究探究点2：作轴对称图形的对称轴问题：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？方法总结:对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.典例精析如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.方法总结:成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.针对训练1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图,小河边有两个村庄,要在河岸边建一自来水厂向A村与B村供水,若要使厂部到A,B 的距离相等,则应选在哪里?二、课堂小结ABCA′B′C′线段垂直平分线的有关作图用尺规作图作线段垂直平分线作轴对称图形的对称轴作对称轴的重要方法l1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线第1题图第2题图2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.当堂检测A BC DCAB。

人教版数学八年级上册第十三章线段的垂直平分线课件

人教版数学八年级上册第十三章
第十三章轴对称
§13.1.2 线段的垂直平分线的性质
（第1课时）
学习目标
1.通过动手操作理解并掌握线段的垂直平分线的性质.(重点）
2.能够运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题.（难点）
导入新课
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区
A
A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应
建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
B C
讲授新课
线段垂直平分线的性质
探究新知
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量
线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为D，交AC于E，若△BCE的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解析：∵△BCE的周长为BC＋BE＋CE＝35cm，又∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB，故BC＋AE＋CE＝35cm. ∵AC＝AE＋CE＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
PA=PB=PC.
解析：
点P在线段AB的垂直平分线MN上
点P在线段BC的垂直平分线M'N'上
A
M
M'
P
PA=PB
PB=PC
B
C N
N'
PA=PB=PC
M M'
证明：

2022年人教版八年级数学上册第十三章轴对称教案线段的垂直平分线的性质(第1课时)

第十三章轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用；3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等。

学生:三角尺、直尺、剪刀。

六、教学过程（一）导入新课甲乙两位同学在玩一个游戏，甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的，除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2-3）（二）探索新知1.创设情境，探究线段垂直平分线的性质定理教师问1:在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？本问题学生独立思考，但不要求学生能解答问题.观察下边的图形教师问2:如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B 及P3A与P3B的数量关系后回答:P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.教师问3:猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？学生回答:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.教师问4:我们如何证明猜想是否正确呢？师生共同讨论如下:（出示课件6）已知:如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证:PA＝PB.师生共同解答如下:（出示课件7）证明:∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB．证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)，并强调学生注意.教师总结如下:（出示课件8）语言表示:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言:∵CA =CB，l⊥AB，∴PA =PB．2.探究线段垂直平分线的判定定理教师问5:把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？学生讨论后回答:点P在线段AB的垂直平分线上.教师问6:如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同讨论后总结如下:（出示课件11）已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证:P点在线段AB的垂直平分线上.师生共同解答如下:（出示课件12）证明:过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵PA =PB，PC =PC，∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．总结点拨:（出示课件13）用数学符号表示为:∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．文字语言:到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．教师问7:你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？学生讨论后回答:到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个.教师问8:这些点能组成什么几何图形？学生回答:这些点组成一条直线.总结点拨:（出示课件14）在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．例1:如图，已知:在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证:AO⊥BC.（出示课件15）师生共同解答如下:证明:∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.3.探究线段垂直平分线的作法教师问9:已知直线上一点P，如何过点P作直线的垂线呢？师生共同探究后解答如下:如图，以点P为圆心，合适长为半径，画弧与直线交于两点，分别以这两点为圆心，同样长度为半径，画弧，交于点C，过点C，P做直线即可.教师问10:如果这一点不在直线上，在直线外如何作图呢？师生共同探究后解答如下:（出示课件18）作法:（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（三）课堂练习（出示课件22-27）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( )A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为________cm.4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________ 的垂直平分线上．5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证:OE垂直平分CD.7.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．参考答案:1.C2.C3.7.84.AC 解析:∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.5.答:△ABC 三边垂直平分线的交点上.6.证明:∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.7.解:∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm.设AB＝x cm，AC＝y cm.根据题意，得142.，+=⎧⎨-=⎩x yx y解得86.，=⎧⎨=⎩xy∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.性质1:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为:∵PC垂直平分AB(CA＝CB，PC⊥AB)，∴PA＝PB.2.性质2:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言表示为:∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线（五）课前预习预习下节课（13.1.2）教材62页到63页的相关内容。

第13章 13.1 13.1.2 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定-2020秋人教版八年级数学上册

(1)在直线 l 上任取两点 A，B；
(2)分别以点 A，B 为圆心，AP，BP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q；
(3)作直线 PQ.
所以直线 PQ 就是所求作的垂线．
与一条线段两个端点距离相等的点在这
请回答：该作图的依据是
条线段的垂直平分线上
.
易错点：对线段的垂直平分线的判定理解不透而出错
8．如图，直线 l 与线段 AB 交于点 O，点 P 在直线 l 上，且 PA＝PB.
∠BAC.其中说法正确的有
D
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
知识点 3：经过直线外一点作已知直线的垂线 7．(教材 P62 例 1 变式)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：如图，直线 l 和 l 外一点 P. 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P. 作法：如图．
(2)当∠BDC＝120°时，求∠BAC 的度数．
解：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. ∵△ADE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ADE. ∴∠BDE＝∠ADE＝∠ADC＝13∠BDC＝40°， ∴∠DAC＝50°，∴∠BAC＝2∠DAC＝100°.
【名师点津】利用线段的垂直平分线的性质求三角形周长的办法：拆分：将封闭的三角形在某个顶点处“剪”开；转化：利用线段垂直平分线的性质转化其中一条边的位置，使其与另一边拼接在一起；重组：将三角形的周长转化为两条线的和．(如：T11)．
B．12 cm
C．14 cm
D．以上都不是
12．如图，M 是∠AOB 内的一点，C 和 D 是∠AOB 外的点，OA 垂
直平分 CM，OB 垂直平分 DM.连接 CD，分别交 OA，OB 于点 E，F，

新人教版初中数学八年级上册《第十三章轴对称：13.1.2线段的垂直平分线》赛课教案_1

13.1.2垂直平分线的性质学习目标1、掌握线段垂直平分线的性质及判定；2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。

一、温故知新1、垂直平分线的定义：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的。

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的。

二、自主探究合作展示（一）1、作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线l ，在l 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、…2、作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…讨论发现什么样的规律．总结线段垂直平分线的性质：3、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？如图（2），直线l AB ⊥，垂足是C ，点P 在l 上，且AC=BC 。

AC=BC 。

求证： PA PB =（二）1、反过来，如果PA=PB,P 点是否在线段AB 的垂直平分线上呢？2、2、如图，PA=PB,求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上结论：三、新知应用：例题：如图（3），在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长。

四、小结反思：请你对照学习目标说说本节课的收获，还有那些困惑。

五、检测反馈1、点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）A． PB=PC B.PA=PC C.PA=PB D.点P到∠ABC的两边距离相等2、下列说法错误的是（）A. D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线3、如图（4），AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？图（4）图（3）。

部编版初中数学八年级上册《探究线段的垂直平分线的性质》优质课公开课课件、教案

部编版初中数学八年级上册《探究线段的垂直平分线的性质》优质课公开课课件、教案13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第一课时）一、教学内容分析《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书•八年级上册》（2013版）第十三章《轴对称》13.1.2线段的垂直平分线的性质。

在此之前，学生学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

二、学生学情分析学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但处于该阶段的学生语言表达能力较差,特别是几何语言的描述不规范，本节课几何语言理解表达问题较难，因此，教学中要加强推理证明步骤的规范化。

三、教学目标1.知识与技能（1）识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

（2）掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。

2.过程与方法使学生经历证明理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的过程，熟悉证明的步骤。

3.情感态度与价值观通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。

四、教学重难点重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。

难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。

五、教学过程设计1.温故知新，导入新课回顾线段的垂直平分线定义概念，探究线段的垂直平分线的性质。

提问：什么是垂直平分线？垂直平分线具有哪些性质？[设计意图]：帮助学生回顾上节课所学的线段的垂直平分线的定义，同时为本节课学习线段的垂直平分线的性质作铺垫。

得出定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

导入新课：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系。

新版新人教版2020年八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质2

13．1.2 线段的垂直平分线的性质(2)会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．重、难点：会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．一、自学指导自学1：自学课本P62－63页“思考及例2”，掌握轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作法，完成下列填空．(7分钟)如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？点拨精讲：作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．总结归纳：(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)1．课本P64页练习题1，2，3.2．下列图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形的，画出对称轴的条数．解：(略)3．角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形中是轴对称图形的有哪些？分别有几条对称轴？解：轴对称图形有：角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、等腰梯形和长方形；角、扇形、等腰梯形只有1条对称轴，直线、圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形、线段有2条对称轴．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)探究1 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，正七边形有7条对称轴(分别画出图形的对称轴)……正n边形有n条对称轴．探究2 如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．课本P64－65页复习巩固题1，2，3，7，8.2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是(A)3．如图，把一圆形纸片对折后，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是(B)4．画出下列图形的对称轴．(3分钟)1.作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．2．对称轴是一条直线；一个图形可能没有对称轴，也可能有很多条，不要多画，也不要漏画．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)1、在最软入的时候，你会想起谁。

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13.1.2线段的垂直平分线的性质(1)+课件+2023—2024学年人教版数学八年级上册

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