2019届杭二中高三5月仿真考试卷数学试卷及答案

16.
存在第一象限的点
M（x0，y0）在椭圆
x2 a2

y2 b2
（1 a b 0）上，使得过点 M
且与椭圆在此点的切线
x0 x a2

y0 y b2
1垂直的直线经过点（ c 2
, 0）（ c
为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是
.
17．函数 f (x) x3 ax2 b 1在 (0,2) 上有 2 个零点，则 b 的范围是
台体的体积公式： V

1 3
(
S1

体的高；
S1S2 S2 )h ，其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台
球的表面积公式：S = 4πR2 ，球的体积公式：V= 4 πR3，其中 R 表示球的半径； 3
如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ； 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(A·B)=P(A)·P(B) ； 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概
A． 20 3
B．4
C． 26 3
） D．8
4．设等差数列{an}的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则“ d 0 ”是“ Sn 单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．现有四个函数①
y

x
sin
x
，②
y

x cos
x
，③
y

x2 ex
数列{bn}的前 n 项和.
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式及 Sn ；
（Ⅱ）若数列{cn}满足 cn

|
Sn n
an| ，求{cn}的前 n
项和 Tn
.
21．（本题满分 15 分）如图，过抛物线 C：y2 2 p（x p 0）的焦点 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点， 过 AB 中点 M 且与 AB 垂直的直线与 x 轴交于点 N. （Ⅰ）求 | FN | 的值；
4
2
3 12
单调递增区间为： 2k - x 2k ，k Z ，即[ 2k - , 2k ]，k Z .
34
3 12
3 4 3 12
19．（本题满分 15 分） 解： （Ⅰ）（法一）如图，以 D 为原点，AD 所在直线为 x 轴，BD 所在直线为 y 轴，DF 所在直线为 z 轴
B． 5 25
C． 5 5
D． 2 5 5
7．已知函数
（f x）
2x 1，x 0

x2

2x，x

0
，若实数
m

(0,1)
，则函数
g
(
x)

f (x) m 零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．已知甲盒中有 2 个红球，1 个蓝球，乙盒中有 1 个红球，2 个蓝球.从甲乙两个盒中各取 1 球放入原
来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取 1 个球，记记红球的个数为i (i 1, 2，3) .（甲、乙、丙
三个盒子取出的分别对应 i 1, 2，3）则（ ）
A. E(1) E(3) E(2 ) , D(1) D(2 ) D(3) B. E(1) E(3) E(2 ) , D(1) D(2 ) D(3) C. E(1) E(3) E(2 ) , D(1) D(2 ) D(3) D. E(1) E(3) E(2 ) , D(1) D(2 ) D(3) 9.设 a ， b 为单位向量，向量 c 满足|2c a|=|a b| ，则|c b | 的最大值为（ ）
| AB |
（Ⅱ）若 p 2 ，求 NA NB 的取值范围.
22.
（本题满分 15 分）已知
f (x)
x2 ax ln(x 1) .
2
（Ⅰ）若函数 y f (x) 有三个零点，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 a

2 ，设
g(x)
bx
c x
，其中 b 2, c

0
根据欧拉公式可知，对
e
2019 4

i
表示的复数
z
Βιβλιοθήκη Baidu
，则
|z|
等于______，
z
等于___________.
1 i
12． (x3 1 )n 的展开式共有 11 项，则 n 的值为_____________，其中常数项为_____________. 2x2
13．设
x,
y
满足约束条件
x y 1 0 3x y 3 0 x y 0
，④
y

x ln
x
的部分图象如下，但顺序被
打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（ ）
第 1 页·共 4 页
A．①④②③
B．①④③②
C．③②④①
D．③④②①
6．设 、 都是锐角,且 cos 5 , sin( ) 3 ,则 cos 的值为（ ）
5
5
A． 2 5 25
log2
an

log2
an +1 an
,因为{an}
为等比数列，则
an +1 an
为定值，则 log2
an +1 an
为定值，则数列 {bn } 为等差数列，
b4 log2 a4 = log2 1=0 ， b5 1，则
bn n 4 , n n ,
an

2an
2n4 ， n n ， Sn
．
a
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
18．（本题满分 14 分） 设函数 f (x) 3sin(x ), 0, 且以 2 为最小正周期.
4
3
（Ⅰ）求 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）求 f（x）的对称轴方程及单调递增区间.
19．（本题满分 15 分） 如图,矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直， AB//CD ，

1（ n 7） n , n n ; 2
（Ⅱ） cn
|
Sn n
an
||
1 2
(n
7) 2n4
||
(n 7) 2n5
|，
设 cn (n 7) 2n5 ， Tn 为数列{cn} 的前 n 项和，则有：
Tn （ 6） 24 （ 5） 23 （ 4） 22 (n 7) 2n5 ,（ ）
率 Pn(k)= Cnk pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) ．
第Ⅰ卷（选择题部分，共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 A 1, 2,5 ， B 2, 4 ， C {x R | 1 x 5} ，则 A B C （ ）
，
f
(x)

g(x)
的两根为
x1, x2 (x1

x2 )
，求证：
x2 f (x1) x1 f (x2 ) 0 .
第 4 页·共 4 页
2019 年杭州二中高三仿真考数学参考答案
命题校对：徐存旭 卞 勇 金 诚 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分.
11．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义
域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.
，则
z


1 2
x

y
的最小值是_______，最大值是________．
14．在三角形 ABC 中， sin( A ) 7 2 ,0 A , AC 5, AB 3 .则 sin A 的值为
，
4 10
4
BC 的长为
.
15．10 次投篮中，投中 5 次，其中恰有 1 个 2 连中和 1 个 3 连中的情形有________种（用数字作答）．
A．2
B．1
C． 3
D． 2
10．如图，三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， BAC= ， Q 为 PA 中点，下列说法中， 2
（1） PBA PCA BPC ；（2）记二面角 P BC A,Q BC A 的平面角分别为1，2 ，则
2019 年杭州二中高三仿真考数学试卷
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式
柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高；
锥体的体积公式：V= 1 Sh，其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高； 3
ABC ADB 900 ， CD 1，BC 2 . （Ⅰ）求证： BE //平面 DCF ； （Ⅱ）当 AE 的长为何值时,直线 AD 与平面 BCE 所成角的大小为 45 ？
第 3 页·共 4 页
20．（本题满分 15 分） 已知数列{an}为等比数列，数列{bn}满足 bn log2 an ，且 a4 b5 1 .设 Sn 为
建系.设 AE=h，由 CD=1，BC=2，
，依据三角形相似可得 AB=5，故由勾股定理可知 AD=2 .
在
中，可得 BD= .
所以各点坐标为 D（0,0,0），A（2 ,0,0），B（0, ,0），C(- , ,0)，E(2 ,0,h)，F(0,0,h).
=（2 , ,h），设面 CDF 的法向量为
1 22 ；（ 3 ） 记 ABC，QBC，PBC 的 面 积 分 别 为 S0，S1，S2 ， 则
S02 +S22 4S12 ；（4） cos PBC cos PBQ cos QBC ，
正确说法的个数为（ A．0
） B．1
C．2
D．3
第 2 页·共 4 页
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 110 分）
，所以
，化简得
，令
得
计算
，故
.又 不在面 CDF 上，所以 BE∥面 CDF.
（法二） 因为矩形 ADEF ，故 AE∥DF.又 AB∥CD，且 AB AE=A，CD DF=D，AB、AE 在面 ABE
上，CD、DF 在面 CDF 上，故面 ABE∥面 CDF. 又 BE 在面 ABE 上，且 BE 不在面 CDF 上，故 BE∥面 CDF.
2Tn （ 6） 23 （ 5） 22 （ 4） 21 (n 7) 2n4 ,（ ） （ ）式 （ ）式，得：
Tn
（
6） 24
[23

22


2n5 ]
(n

7) 2n4
（
6） 24
A．1, 2, 4, 6
B．{x R | 1 x 5}
C．2
2．双曲线 x2 y2 1的焦点坐标为（ ） 34
A．(−1，0)，(1，0)
B．(− 7 ，0)，( 7 ，0)
D．1, 2, 4
C．(0，− 7 )，(0， 7 )
D．(0，−1)，(0，1)
3．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
D
C
A
D
C
A
C
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单 空题每题 4 分，共36 分.
11．1， 2 i ． 2
12．10， 105 ． 32
13． 9 ； ． 8
14． 3 ， 10 ． 5
15．30；
16.（ 1 ，1）． 2
17．[1,4) ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
18．（本题满分 14 分）
解：（1）由题意 T 2 ， 2 3 ， f (x) 3sin(3x )
3
T
4
（2）对称轴方程： 3x k ，k Z ，得 x k ，k Z ；
第 5 页·共 4 页
（Ⅱ）
=(
)， =（2 , ,h）设面 BCE 法向量为
，
所以
，化简得
，令
，得
.
由题得
.
故
.因为 h 为正，所以 AD=h= .
20．（本题满分 15 分）
解：（Ⅰ）对 n n ，bn

log2
an ，bn+1

log2
an+1 ，则 bn+1
bn

log2
an +1

23（ 1 2n1） 1 2