根与系数的关系及应用题(自己整理)

一元二次方程根的判别式，根与系数关系

◆回顾归纳

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，常用符号“△”表示，即△=?______；△>0时，方程_____；

△=0时，方程______；△<0时，方程______．

2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=____．

◆课堂测控

1．（1）一元二次方程3x2+4x+1=0中，△=_____，因此该方程_____实数根．

（2）一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a=_____．

2．若方程x2－2x－1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______．

3．一元二次方程x2+x－2=0的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．有一个实数根

4．设一元二次方程x2－6x+4=0的两实根分别为x1和x2，则x1+x2=_____，x1·x2=______．

5．等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．解：当AB或AC的长为8时，64－10×8+m=0，∴m=_____；

当AB=AC时，方程x2－10x+m=0有两个相等的实数根，则△=0，即______，∴m=____．

测试点2 一元二次方程根与系数的关系

6．一元二次方程x2－5x+6=0的一个实数根x1=2，则另一个实数根x2=（?）

A．3 B．－3 C．6 D．－6

7．设一元二次方程x2－2x－4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2 B．x1+x2=－4 C．x1x2=－2 D．x1x2=4

8．已知x=－1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根，那么m的值是（）

A．0 B．1 C．2 D．－2

9．已知x1，x2是方程x2+3x=4的两根，则（）

A．x1+x2=－3，x1·x2=－4 B．x1+x2=3，x1·x2=4

C．x1+x2=－3，x1·x2=4 D．x1+x2=3，x1·x2=－4

10．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=－b a ，x 1·x 2=c a

．根据该材料填空： （1）已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，则2112

x x x x 的值为_____． （2）已知x 1，x 2是方程x 2－9x+18=0的两个根，那么x 1－x 2=_______．

◆课后测控

1．若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k=0没有实数根，则k 的取值范围是_____．

2．在解方程x 2+bx+c=0时，甲看错了b ，解得两根为－1和6；乙看错了c ，?解得两根为－3与4，那么正确的方程是______．

3．已知一个等腰三角形两边长为方程x 2－6x+8=0的两根，?则此等腰三角形的周长为_____．

4．若关于x 的方程x 2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____．

5．方程x （x+1）=3（x+1）的解情况是______．

6．关于x 的一元二次方程kx 2－6x+1=0有两个不相等的实数根，?则k ?的取值范围是_____．

7．已知关于x 的方程x 2－2ax+a 2－2a+2=0的两个实数根x 1，x 2，满足x 12+x 22=2，?则a ?的值是_____．

8．已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两根为x 1和x 2，那么（1+x 1）（1+x 2）的值为______．

9．如果一元二次方程3x 2－2x=0的两个根是x 1和x 2，那么x 1·x 2等于（ ）

A ．2

B ．0

C ．23

D ．－23

10．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）

A ．x 2+5x+6=0

B ．x 2－5x+6=0

C ．x 2－5x －6=0

D ．x 2+5x －6=0

11．如果关于x 的方程2x 2－7x+m=0的两实数根互为倒数，那么m 的值为（ ）

A ．12

B ．－12

C ．2

D ．－2 12．若关于x 的方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k ?的取值范围是（ ）

A ．k>－1

B ．k<－1

C ．k≥－1且k≠0

D ．k>－1且k≠0

13．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ）

A ．5

B ．－1

C ．5或－1

D ．－5或1

14．关于x 的一元二次方程x 2－5x+p 2－2p+5=0的一个根为1，则实数p ?的值是（ ）

A ．4

B ．0或2

C ．1

D ．－1

15．已知关于x 的方程x 2－m=2x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．

16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0?的两个不相等的实数根α、β满足11

αβ

+=1，求

m的值．

17．若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

18．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值．解：设方程的两个实根为x1，x2，

那么x1+x2=m+1，x1x2=m+4．

∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2

=（m+1）2－2（m+4）=m2－7=2．

即m2=9，解得m=3．

答：错误或不完整之处有：__________．

◆拓展创新

实数k取何值时，一元二次方程x2－（2k－3）x+2k－4=0．

（1）有两个正根；

（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；

（3）一根大于3，一根小于3．

一元二次方程应用题

（一）传染问题与循环问题

1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒

200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为

2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.一个小组有若干人，每两人之间握手一次，若全组共握手36次，这个小组共有人。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小

组共有多少名同学？

7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用

学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

（二）平均增长率问题：变化前数量×（1 x）n＝变化后数量

1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量

的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并

将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）

。

4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8

元，求2、3月份价格的平均增长率。

5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

6.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，

求该校植树平均每年增长的百分数。

7.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并

将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

8.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

9.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为

（三）商品销售问题:

售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额

1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满

足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ

只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？

(2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？

3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，

在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六一”儿童节，

商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

5.西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克。

为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

6.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖

出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

7.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行

结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？

请说明理由。

8. 国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每

条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元

(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并

使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?

9. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去

天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾

风景区旅游？

（四）面积问题

1. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm 2，两条直角边的长分别是 。

2. 一个直角三角形的两条直角边相差5㎝，面积是7㎝2，斜边的长是 。

3. 一个菱形两条对角线长的和是10㎝，面积是12㎝2，菱形的周长是 。（结果保留小数点后一

位）

4. 为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为

米，宽为 米。

5. 若把一个正方形的一边增加2cm ，另一边增加1cm ，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm 2，

则原正方形的边长为 cm.

如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低

700

元. 如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.

6.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下

的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长

是。

7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1

米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且

此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是元钱

8.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，

余分作为耕地为551㎡。则道路的宽为是。

9.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不

能，请说明理由。（3）若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?

1.某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12

天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

2.搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成，

有货物存量相的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？（列式子）

3.乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2分钟相遇一次；同向而行，每隔6分

钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？

4.某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小

时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？

1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km 的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．

3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.

4、甲、乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。

(七)、动态几何：

1．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2．,说明理由。

(八)、其他类型题：

1、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

2、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、?乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，?同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？