一元二次方程的根与系数的关系： PPT课件
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推导 小竞赛
例1
例2
小结
小测验
结论
探究
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程 x1 + x2
x1 ·x2
x2 5x 6 0
5
6
2x2 5x 3 0
5 2
3 2
6x2 x 2 0
1 6
1 3
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 ·x2与方 程 的系数有什么关系？
返回
结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
返回
公式的特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
3
2
2
1
13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用
根与系数的 关系，求下列各式的值：
(1).x1 1x2 1
(2). x2 x1 x1 x2
2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间 这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任 何一元二次方程都具有的呢？
返回
公式的推导过程
如果ax2 bx c 0,a 0的两个根是x1, x2
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
返回
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 x2 2
1∵x1 x2 2 x12 2x1x2 x22
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
一正根，一负根 两个正根
两个负根
{ { { △＞0 X1X2＜0
△≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
公式的应用
以两个数x1, x2为根的一元二次方程（二次项 的系数为1）是 : x2 （x1 x2）x x1 • x2 0
返回
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
,
x1
•
x2
c a
返回
例1：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
x1
2
6 5
3 x1 5
又 3 2 k
5
5
k
5
3 5
2
2b b
2a
a
b b2 4ac b b2 4ac
x1 x2 (
2a
)•(
2a
)
b2
2
b2 4ac c
4a 2
a
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结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1
x2
b a
例1
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小测验
结论
探究
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程 x1 + x2
x1 ·x2
x2 5x 6 0
5
6
2x2 5x 3 0
5 2
3 2
6x2 x 2 0
1 6
1 3
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 ·x2与方 程 的系数有什么关系？
返回
结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
返回
公式的特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
3
2
2
1
13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用
根与系数的 关系，求下列各式的值：
(1).x1 1x2 1
(2). x2 x1 x1 x2
2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间 这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任 何一元二次方程都具有的呢？
返回
公式的推导过程
如果ax2 bx c 0,a 0的两个根是x1, x2
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
7
所以，方程的另一根是 3，k的值是 7。 5
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例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 x2 2
1∵x1 x2 2 x12 2x1x2 x22
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
一正根，一负根 两个正根
两个负根
{ { { △＞0 X1X2＜0
△≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
公式的应用
以两个数x1, x2为根的一元二次方程（二次项 的系数为1）是 : x2 （x1 x2）x x1 • x2 0
返回
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
,
x1
•
x2
c a
返回
例1：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
x1
2
6 5
3 x1 5
又 3 2 k
5
5
k
5
3 5
2
2b b
2a
a
b b2 4ac b b2 4ac
x1 x2 (
2a
)•(
2a
)
b2
2
b2 4ac c
4a 2
a
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结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1
x2
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