【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
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2.5一元二次方程的根与系数的关系-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件
解：（1）3x2-x-1=0.
5. （教材P51习题2.8第2题）解下列方程：
（1）12x2+7x+1 = 0；
（2）0.8x2 + x = 0.3.
（3）3x2+1=
（4）(x+1)(x-3) = 2x+5.
2 3
解：（1）△ > 0，
（2）△ > 0，
x；
1
x1= − 3 ， x2=
x1=
1
，
别等于一元二次方程x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么
这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？
解：由题意，可得 x1+x2 = 17，即两边长之和为 17，
小于 20，所以这个三角形的第三边的长不可能是
20.
课堂小结
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系
数学
4
1
− .
4
x2= − 32.
5. （教材P51习题2.8第2题）解下列方程：
（1）12x2+7x+1 = 0；
（2）0.8x2 + x = 0.3.
（3）3x2+1=
（4）(x+1)(x-3) = 2x+5.
（3）3x2- 2
3
2 3
x；
x+1=0， △ = 0， x1= x2=
（4）x2-4x-8=0， △ > 0， x1= 2 + 2
△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
△ < 0 时，方程没有实数根；
4. 一元二次方程的求根公式是什么？
x=
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
∴符合条件的m的值为 3 ．
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件-2024—-2025学年北师大版数学九年级上册
下列代数式的值:
(1)12
+
22 ;
1
(2)
1
−
1
.
2
解:∵方程x2+3x-5=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=-5.
(1)12 + 22 =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-5)=19.
(2)∵x1-x2=± (1 + 2 )2 − 41 2 =± (−3)2 − 4 × (−5)=± 29,
−+ 2 −4
−− 2 −4
两个根:x1=
,x2=
,你能计算出两根之和
2
2
与两根之积吗?
−+ 2 −4
解:x1+x2=
2
+
−− 2 −4
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
x1·x2=
·
2
2
.
=
=
−2
=- ;
2
(−)2 −( 2 −4)2
(4)|x1-x2|
= (1 − 2 )2
= (1 + 2 )2 − 41 2 .
探
究
与
应
用
应用二 已知方程一根求另一根及未知字母的值
例2 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4,
求方程的另一个根和k的值.
解:∵方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4,
设方程的另一个根为x1,则两根之积4x1=-8,解得x1=-2.
42
=
2 −2 +4
42
=
2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
2.5+一元二次方程的根与系数的关系+课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
• 一元二次方程的一般形式？ • 一元二次方程有实数根的条件是什么？ • 当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？ • 一元二次方程的求根公式是什么？ • 配方法的关键把一元二次方程化为什么形式？
1. 用分解因式法解下列方程：
（1）x2+9x+18=0; （2）x2-7x+10=0; （3）x2-5x-6=0; （4）x2+3x-4=0.
n2
21
___4____.
6.关于x的一元二次方程x2 2x 2m 0有两个
不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)已知x1、x2是一元二次方程x2 2x 2m 0的
两个根，且x12
x2 2
8，求m的值.
7.已知、是一元二次方程x2 5x 2 0的 两个实数根，则 2 2 __2_7__.
韦达（1540－1603）论称韦为达“在韦欧达洲定被理尊”称）为。“代数学之
父”。
• 口答下列方程的两根之和与两根之积.
(1) x2 2x 15 0;
(2) x2 6x 4 0;
(3) 2x2 3x 5 0; (4) 3x2 7x 0;
(5) 2x2 5.
1.已知一元二次方程 3x2 9x m 0 的一个
x1 x2
2a
2aLeabharlann b2 b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两
个根分别是 x1、x2，那么：
b
x1
x2
; a
x1
x2
c. a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
• 一元二次方程的一般形式？ • 一元二次方程有实数根的条件是什么？ • 当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？ • 一元二次方程的求根公式是什么？ • 配方法的关键把一元二次方程化为什么形式？
1. 用分解因式法解下列方程：
（1）x2+9x+18=0; （2）x2-7x+10=0; （3）x2-5x-6=0; （4）x2+3x-4=0.
n2
21
___4____.
6.关于x的一元二次方程x2 2x 2m 0有两个
不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)已知x1、x2是一元二次方程x2 2x 2m 0的
两个根，且x12
x2 2
8，求m的值.
7.已知、是一元二次方程x2 5x 2 0的 两个实数根，则 2 2 __2_7__.
韦达（1540－1603）论称韦为达“在韦欧达洲定被理尊”称）为。“代数学之
父”。
• 口答下列方程的两根之和与两根之积.
(1) x2 2x 15 0;
(2) x2 6x 4 0;
(3) 2x2 3x 5 0; (4) 3x2 7x 0;
(5) 2x2 5.
1.已知一元二次方程 3x2 9x m 0 的一个
x1 x2
2a
2aLeabharlann b2 b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两
个根分别是 x1、x2，那么：
b
x1
x2
; a
x1
x2
c. a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
北师大九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共15张PPT)
5．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
(1)4x2＋1＝7x，x1＋x2＝__74__，x1·x2＝_14___； 1
(2)3x2－1＝0，x1＋x2＝__0__，x1·x2＝__4__；
(3)x2－6x＝0，x1＋x2＝__6__，x1·x2＝_0___；
(4)2x2－(m＋1)x－m＝0，x1＋x2＝
则a的值是( D )
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
16．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互 为倒数，则k＝_－__1_．
17．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代 数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为____2．3
18．关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)a 为何值时，方程的一根为 0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？
．
8．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，
且 S△ABC ＝ 3 ， 请 写 出 一 个 符 合 题 意 的 一 元 二 次 方 答案不唯一，如：x2－5x＋6＝0 ．
9．(2014·常州)已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则
m＝__2__，另一个根为__2__．
＝－6.又∵x12＋x22＋2x1x2－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，将 x1＋x2＝5，
x1·x2＝－6 代入，得 x12＋x22＝52－2×(－6)＝37
20．(2014·鄂州)已知一元二次方程 mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两个不等实数根，求 m 的取值范围； (2)若方程的两实数根为 x1，x2，且|x1－x2|＝1，求 m 的值．
解：(1)由题意得 m≠0 且(－2m)2－4m(m－2)>0，∴m>0 m－2
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版九年级上册教学课件
x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c； 探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理 一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾 若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知 解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负
北师大版数学九年级上册课件：2.5一元二次方程的根与系数的关系 (共21张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 8:34:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
2.5+一元二次方程的根与系数的关系+(课件)2024—2025学年北师大版数学九年级上册
1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程 是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数 学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达 定理.
归类探究
类型之一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二 ：利用根与系数的关系求与方程 两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根 求另一根的问题 例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根 为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方 程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程 是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数 学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达 定理.
归类探究
类型之一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二 ：利用根与系数的关系求与方程 两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根 求另一根的问题 例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根 为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方 程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3