根与系数的关系 课件

加深理解： 下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=-2
2
⑵ 、3X2－2X=2
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－
时，
注意“－ ”不要漏写。 （3）前提是方程有实数根即Δ≥0
、典型例题
例题1：已知方程 x1,x2，
2 5 -3
0 6 -4
2,3
X2-5x+6=0 x2+3x-4=0
1,-4
猜想
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程 的系数有何关系？
推理论证
Δ≥0
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根是x1，x2 ，那么 b x1 x 2 a c x1 x 2 a
=
4 ac 4a 2
c = a
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。
方法（二） 设方程的一根为x =2,
1
另一根为x ，那么
2
｛
3 答：方程的另一根是－ ，k的值是 7。 5
k 2＋x ＝－ 5 解得 6 2x =5
2 2
｛
3 x ＝－ 5 k 7
2
• 练习:
2 2 x • 一元二次方程 7 x n 0 的一个根是3,
课堂总结
一、一元二次方程根与系数的关系是 指一元二次方程两根的和，两根的积 与系数的关系。 二、在实数范围内运用韦达定理，必须 注意 ,这个前提条件,而应用判别式 的前提条件是方程必须是一元二次方程， 即二次项系数 ，
求它另一个根及n的值
一元二次方程根与系数关系的应用 （2）验根。
（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它 的两个根。
；
① ② ③
；
；
④
• （3）求值(或取值范围）
已知斜边为5的直角三角形的两直角边 a,b的长是关于x的一元二次方程x2(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根， 求m的 值.
能力提升：已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2. （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？ 若存在，请求出k的值； 若不存在，请说明理由。
一元二次方程根与系数的关系
课前热身
1.设 X1、X2是方程X2－4X+1=wenku.baidu.com的两个根，则
求 X12+X22 的值
2已知方程5x2+kx-6=0的根是2，
求它的另一根及k的值。
思考：以上两题还有没有其他办法呢？
观察猜想
方程 两个根x1，x2 两根之和 的值 x1+x2
两根之积 x 1x 2
0,2
X2-2x=0
设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
b b 2 4ac 则x1= 2a b b 2 4ac X2= 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac ∴x1+x2= + 2a 2a
2b b = = 2a a 2 2 2 2 2 ( b ) ( b 4 ac ) b b 4ac b b 4ac x1•x2= = • 2 2a 4 a 2a
（1）（x1－x2）2
（ 3）
1 2
x2＝2x＋1的两根为
不解方程，求下列各式的值。 （2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
一元二次方程根与系数关系的应用
（1）已知方程一根，求另一根。 例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。 方法（一） ∵ 2是方程 的根， ∴ ∴ 原方程可化为 解得：
1
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。