根与系数的关系资料
根与系数的关系公式8个
根与系数的关系公式8个1、一次方程的根：如果ax+b=0，则一次方程的根为x=-b/a；2、二次方程的根：如果ax²+bx+c=0，则二次方程的根为x=(-b±√(b²-4ac))/2a；3、三次方程的根：如果ax³+bx²+cx+d=0，则三次方程的根为x=[-b±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d)]/6a；4、四次方程的根：如果ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则四次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)]/12a；5、五次方程的根：如果ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则五次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+½a(3b²-8ac)fa³]/20a；6、六次方程的根：如果ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则六次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²]/30a；7、七次方程的根：如果ax⁷+bx⁶+cx⁵+dx⁴+ex³+fx²+gx+h=0，则七次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h]/42a；8、八次方程的根：如果ax⁸+bx⁷+cx⁶+dx⁵+ex⁴+fx³+gx²+hx+i=0，则八次方程的根为x=[-b±√(b²-4ac)±√(b²-3ac)±√(2b³-9abc+27a²d-72abed)+²a(3b²-8ac)faja²+³a(b³-2b²c+bac²-4a²d)h+⁴a(b⁴-3bc²a²+6b²d-8acd)i]/56a。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
三次方程根和系数的关系
三次方程根和系数的关系
三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d分别为三次项、二次项、一次项和常数项的系数。
三次方程
的根和系数之间存在一些重要的关系。
首先，我们知道三次方程的根可以是实数或复数。
根据代数基
本定理，一个三次方程在复数域内一定有三个根（可能重根），这
意味着方程的三个根可以用复数表示。
其次，三次方程的根和系数之间存在一个重要的关系，即
Vieta's formulas（维埃塔定理）。
根据维阿塔定理，三次方程的
根与系数之间有如下关系：
1. 三个根的和与系数b/a的符号是相反的，即x1 + x2 + x3
= -b/a。
2. 三个根两两乘积的和与系数c/a的符号是相反的，即x1x2
+ x1x3 + x2x3 = c/a。
3. 三个根的乘积与系数-d/a的符号相同，即x1x2x3 = -d/a。
这些关系表明了三次方程的根与系数之间的紧密联系。
通过这
些关系，我们可以利用方程的系数来推断方程的根，或者反过来，
已知方程的根来推断方程的系数。
另外，三次方程的系数也可以通过根和根与系数的关系来求解。
通过维阿塔定理，我们可以利用方程的根来求解系数，这在实际问
题中有着重要的应用，例如在工程、物理学和经济学等领域。
总之，三次方程的根和系数之间存在着重要的关系，这些关系
不仅帮助我们理解方程的性质，还可以应用于实际问题中的求解和
分析。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系
在数学中，方程是一种表示数学关系的数学语句。
方程的根是能够使方程成立的数值，而方程的系数是方程中各项的系数。
在许多情况下，方程的根与系数之间存在着一定的关系。
一元一次方程ax+b=0的根是一个数x=-b/a。
这里的a和b是方程的系数。
因此，可以看到，当a不等于0时，方程的根与系数之间存在着一定的比例关系。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的根可以通过求解一元二次方程的求根公式来得到。
这个公式是x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
同样地，方程的根与系数之间也存在着一定的关系。
事实上，当a不等于0时，方程的两个根可以表示为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)和x2=[-b-√(b^2-4ac)]/(2a)。
这里，方程的根与系数之间的关系更加复杂，但仍然存在着一定的比例关系。
对于更高次的方程，例如三次方程和四次方程，方程的根与系数之间的关系会更加复杂。
但是，数学家们已经发现了一些方程根与系数之间的规律，这些规律被称为代数方程的基本定理。
这个定理表明，任何代数方程都有与之对应的一组根，这些根可以由方程的系数来确定。
总的来说，方程的根与系数之间存在着复杂的关系，但是这些关系可以被数学家们用各种方法来研究和描述。
在数学研究中，这些关系可以用来解决各种实际问题，包括物理、化学、工程等领域中的问题。
《根与系数关系》PPT
随堂练习
• 1、求下列方程两根x1、x2的和与积。 (1)、x2-3x=15 (2)、5x2-1=4x2+x
• 2、补充练习：判断下列各个方程后面两个数是 不是它的两个根。 (1)、x2-6x-7=0(-1,7); (2)、２x2+x-３=0（ 3 ，１）
2
（３）x2-８x+１１=0（4 5 ，4 5 ）
x1+x2=
-
b a
x1x2=
c
a
例题分析
例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下 列方程两根x1、x2的和与积。
• （1）、x2-6x-15=0 • :(1)要先把一元二次方程化成标准形式;(2)不要漏除以二次项系 数;(3) 要注意- b 的符号.
用适当的方法解方程: （1）、x2-6x+8=0 （2）、2x2-3x+1=0
观察方程（1）中两根和、两根积与系数 的关系？
方程（2）中的呢？
b b2 4ac b b2 4ac
x1+x2=
2a
+
2a
=?
x1x2=
b b2 4ac * b b2 4ac =?
2a
2a
结论:方程的两个根x1、x2和系数a，b，c有如下关系：
一元二次方程的根与系数的关系
• 因式分解法 • 直接开平方法 • 配方法 • 公式法
你能说一下那种方法可以解 决任意的一元二次方程吗?
复习配方法得出一元二次方程的求根公式
• ax2+bx+c=0(a≠0)
• • •
方程两边都除以a，得：x2+
移项，得：
x2+
b a
x
=-
根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
《一元二次方程根与系数的关系》ppt课件PPT课件
24．3 一元二次方程根与系数的关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的 两个不相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是( )
A．－1 B．3
C．3或－1
D．－3或1
【错解】C
【错因分析】由根与系数关系求得方程中待定系数的值没有通过Δ
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c的值为____2_ ___．
7．(3分)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方 程的另一个根是___－__3___．
8．(4分)如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1 ＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( A )
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10．(8分)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根 资料下载：./ziliao/
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一元二次方程根与系数的关系
PPT教学课件
24．3 一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝________，x1·x2＝________． 在应用根与系数关系时应注意两个条件： (1)__方__程__二__次__项__系__数__不__为__0； (2)_____b_2__－__4_a_c_≥__0_____．
A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
0
0
0
0
1
2
3
4
根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
添加标题
根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
根与系数的关系
方程—根与系数的关系知识点：1. 对于一元二次方程）（002≠=+-a c bx ax ，当 时，有两根分别为1x ，2x ，则=+21x x ，1x 2x = ， 如果1x ，2x 是方程02=++q px ax 的两个根，则=+21x x ，1x 2x = 。
2. 灵活变化：2122122212)(x x x x x x -+=+应用：一、判断括号内的两个数是不是方程的两个根：（1）02532=-+x x (31, 2) (2)013-22=+x x (21, 1)二、求值1. 若1x ，2x 是一元二次方程0652=+-x x 的两个根，则1x 2x 的值是（ ）A. 1B.5C.-5D.62. 关于x 的一元二次方程0162=++-k x x 的两个实数根是1x ，2x ，且242221=+x x ，则k 的值是（） A. 8 B.-7 C.6 D.53. 若1x ，2x 是一元二次方程0232=+-x x 的两个根，则1x +2x 的值是（ ）A. -1B.2C.3D.14. 关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根分别是1x =2, 2x =1, 则p, q 的值分别是（ ）A. -3, 2B.3, 2C.2, -3D.2, 35. 下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）A. 0422=-+x xB.0442=+-x xC.01042=++x xD.0542=-+x x 6. 方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一根及k 的值。
7. 已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x ，有两个实数根1x 和2x ；（1）求实数m 的取值范围；(2 )当0-2221=x x 时，求m 的值。
8. 已知1x ,2x 是一元二次方程014-2=+x x 的两个实数根，求)11()(21221x x x x +÷+的值。
二次方程根与系数之间的关系
二次方程根与系数之间的关系二次方程是一种含有二次项的代数方程，其一般形式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次方程的解被称为方程的根。
本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系。
一、二次方程的求根公式已知二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，根据求根公式，可以得到方程的根。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个不同的解，√表示平方根运算。
二、判别式的作用在求解二次方程的根时，判别式起到了重要的作用。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以判断二次方程的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不同的实数根。
该情况下，可以进一步使用求根公式计算出具体的根的数值。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
此时，可以通过求根公式计算得到相同的根的值。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是两个共轭复数根。
复数根一般表示为x = α ± βi，其中α和β均为实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
三、根与系数之间的关系1. 根与二次方程的系数a、b、c之间的关系如下：- 根的和等于-b/a；- 根的积等于c/a。
2. 具体而言，设方程ax^2 + bx + c = 0的根为x1和x2，根据根与系数之间的关系，可以得到以下两个等式：- x1 + x2 = -b/a- x1 * x2 = c/a这两个等式可以通过求根公式推导得出。
通过这两个等式，我们可以通过系数来推测方程的根的性质。
三、例题分析接下来，我们通过几个例题来具体说明根与系数之间的关系。
例题一：已知二次方程3x^2 - 5x + 2 = 0，求方程的根。
解：根据求根公式，代入a = 3，b = -5，c = 2，可得：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*3*2)) / (2*3)简化后可得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 6x = (5 ± √1) / 6x1 = (5 + 1) / 6 = 1x2 = (5 - 1) / 6 = 2/3因此，该二次方程的根为x1 = 1，x2 = 2/3。
根与系数的关系
根与系数的关系内容提要：1、根系关系（韦达定理）2、不解方程直接确定两根的和与积3、根系关系与关于两根的对称式4、由两根关系考察待定系数5、韦达定理逆定理及其应用问题：一元二次方程的求根公式是什么？问题：利用求根公式计算21x x +和21x x ∙的值一、根系关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）先化为一般形式（2）定理成立的条件0∆≥即方程先要有根（3）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 简化形式：如果02=++c px x 的两根为2,1x x ，那么p x x -=+21，q x x =∙21，对于二次项系数为 1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
二、不解方程直接确定两根的和与积例1若2,1x x ，是一元二次方程x x 322=+的两根，则21x x +的值是（ ）A.-2B.2C.3D.1例2若2,1x x ，是一元二次方程322=-x x 的两根，则21x x ∙的值是（ ）A.-2B.2C.-3D.1例3 两个不等的实数m 、n 满足462=-m m ，462=-n n 则mn 的值为（ ）A.6B.-6C.4D.-4例 4 a,b 是方程x x 342-=-的两根，),(b a P 是函数xk y =的图像上一点，则k 的值是（ ）A.-4B.4C.-3D.3三、根系关系与关于两根的对称式例5设2,1x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A. 0B.1C.-1D.-5222121212()2x x x x x x +=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+22121212()()4x x x x x x -=+-12121211x x x x x x ++= 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2121212x x x x x x ++=+212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+， 2212121)())((m x x m x x m x m x +++=++ 例 6 关于x 的方程0)32(22=+++m x m x 有两个相等的实数根α，β，若111-=+βα则m 的值为（ ） A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1例 7 关于x 的方程02)6(2=++-a ax x a 有两个相等的实数根α，β，若)1)(1(++βα为负整数，则符合条件的整数a 有（ ）个A. 1B.2C. 3D.4四、由两根关系考察待定系数例 8 已知关于x 的方程02=++n mx x 的一根是另一根的2倍，那么m ，n 之间的关系是（ ）A.n m =22B.n m 922=C.n m 92=D.0=+n m例9 已知关于x 的方程012=+++k kx x 的两根2,1x x 满足k x x =+212则k 的值为（ ）A. 5B.-0.5C. 5或-0.5D.1五、韦达定理逆定理及其应用问题：已知一元二次方程如何求根？问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数为根的一元二次方程是例 若一个一元二次方程的两根分别是Rt ABC ∆的两条直角边长，且3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程。
系数和根的关系认识二次方程的系数和根的关系
系数和根的关系认识二次方程的系数和根的关系二次方程是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨系数和根之间的关系，以加深我们对二次方程的理解。
一、二次方程的一般形式二次方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bx + C = 0。
其中，A、B和C是常数，且A ≠ 0。
在这个方程中，x是未知数，我们要求解的就是x的值。
二、二次方程的根二次方程的根就是使方程等于0的解。
对于一般形式的二次方程，我们可以通过求根公式来求解根的值。
求根公式如下：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A在这个公式中，±表示两个解，分别对应两个根。
根的个数取决于判别式的值，即B^2 - 4AC的正负情况。
三、系数与根的关系1. 系数与根的关系根据二次方程的求根公式，我们可以看出系数对根有着直接的影响。
首先，根的值完全由系数决定，系数的不同会导致不同的根。
特别地，根与系数之间存在着以下关系：a) 系数A和根的关系系数A的值决定了二次系数的大小，当A > 0时，二次函数的开口朝上，此时根的情况如下：- 如果B^2 - 4AC > 0，方程有两个不相等实数根；- 如果B^2 - 4AC = 0，方程有两个相等实数根；- 如果B^2 - 4AC < 0，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
当A < 0时，二次函数的开口朝下，关于根的情况与上述相同，只是根的取值范围相反。
b) 系数B和根的关系系数B对根的影响主要体现在根的和与积上。
根据求根公式可以得知：- 根的和为 -B / A；- 根的积为 C / A。
因此，系数B的值越大（或越小），根的和越小（或越大）；而系数C的值越大（或越小），根的积越大（或越小）。
c) 系数C和根的关系系数C对根的影响体现在判别式B^2 - 4AC的值上。
当C > 0时，判别式的值越小，方程有两个实数根；当C < 0时，判别式的值越大，方程有两个实数根。
根与系数的关系定理及其应用
根与系数的关系定理及其应用资料编号:202209031408一元二次方程根与系数的关系定理我们已经学习了公式法求解一元二次方程,知道了一元二次方程的实数根是由它的三个系数确定的,因此,我们有理由相信,一元二次方程的根与系数一定存在某种确定的数量关系.这就是下面要讲的根与系数的关系定理.对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当满足ac b 42-=∆≥0时,方程有两个实数根,求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 设aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=,则有: ab a b a ac b b ac b b x x -=-=----+-=+222442221, ()()a c a ac a acb b ac b b x x ==----+-=⋅22222144444. 上面两根之和与两根之积的结果,即为一元二次方程根与系数的关系.特别地,当1=a 时,有c x x b x x =⋅-=+2121,,于是,有下面的结论:对于一元二次方程02=++q px x ,当q p 42-≥0时,方程的两个实数根满足:q x x p x x =⋅-=+2121,.实际上,对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,化二次项系数为1可得:02=++ac x a b x . 当ac b 42-≥0,按照上面的结论,可知ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 需要特别说明的是,根与系数的关系定理与一元二次方程有无实数根没有关系,当0<∆时该定理依然成立.限于初中学生的认知水平,初中阶段只研究方程有实数根时根与系数的关系.根与系数的关系定理的应用应用一 不解方程,求两根之和与两根之积初中阶段,二次项系数为1的一元二次方程,当方程有实数根时,根据根与系数的关系定理,两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.当方程二次项系数不等于1时,先在方程的两边同时除以二次项系数,化二次项系数为1,再使用根与系数的关系定理.例1. 设21,x x 分别为下列方程的两根实数根,不解方程,求21x x +与21x x 的值.（1）0262=--x x ;（2）01422=-+x x .解:（1）由根与系数的关系定理可得:()2,662121-==--=+x x x x ;（2）01422=-+x x02122=-+x x 由根与系数的关系定理可得:21,22221-=-=+x x x x . 应用二 不解方程,求代数式的值一些代数式的求值问题,与两根之和、两根之积有关.这些代数式,多为对称代数式,需要先对代数式进行变形,使之出现两根之和与两根之积的身影,然后再根据根与系数的关系定理获得两根之和与两根之积的值,代入求值.当然,变形是关键.常见的对称代数式及其变形如下:（1）()2122122212x x x x x x -+=+; （2）21212111x x x x x x +=+; （3）()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+; （4）()()()2212121m x x m x x m x m x ++-=--（m 为常数）;（5）()2121221221x x x x x x x x +=+; （6）()()212212214x x x x x x -+=-; （7）()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-.由上面对称代数式的变形可知,根与系数的关系定理是整体思想的一种很好的体现.例2. 已知21,x x 是一元二次方程0132=--x x 的两根,不解方程求下列各式的值:（1）21x x +; （2）21x x ;（3）2221x x +; （4）2111x x +. 解:（1）由根与系数的关系定理可得:()3321=--=+x x ;（2）由根与系数的关系定理可得:121-=x x ;（3）()()1112322212212221=-⨯-=-+=+x x x x x x ; （4）31311212121-=-=+=+x x x x x x . 例3. 若21,x x 是方程0232=--x x 的两根,求下列各式的值:（1）()()1121--x x ; （2）21x x -.解:（1）由根与系数的关系定理可得:2,32121-==+x x x x∴()()()4132111212121-=+--=++-=--x x x x x x ;（2）()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-()172432=-⨯-=.应用三 已知方程的一个根求方程的另一根和参数的值已知含参一元二次方程的一个根,求方程的另一个根及参数的值,一般的做法是:把已知根代入方程,求出参数的值,在把参数的值回代方程,得到具体的一元二次方程,求解可得方程的另一个根.显然,这种方法计算量大,不是解决问题的最好方法.根据根与系数的关系定理,很容易求出方程的另一个根,再由两根去求参数的值.整个过程计算量较小且不易出错.例4. 已知关于x 的方程0202=-+mx x 的一个根是4-,求它的另一个根和m 的值.解:设方程的另一个根为2x ,由根与系数的关系定理可得:204,422-=--=+-x m x解之得:1,52-==m x∴该方程的另一个根为5,m 的值为1-.例5. 已知关于x 的方程03422=+-q x x 的一个根是21-,求它的另一个根和q 的值.解:原方程可化为:02322=+-q x x 设方程的另一个根为2x ,由根与系数的关系定理可得:2212=+-x ,()q x 23212=- 解之得:32,212-=+=q x ∴该方程的另一个根为21+,q 的值为32-. 应用四 构造新的一元二次方程以21,x x 为两个实数根的一元二次方程为:()021212=++-x x x x x x .实际上,设以21,x x 为两个实数根构造的一元二次方程为02=++q px x ,由根与系数的关系定理可得:()2121,x x q x x p =+-=. 所以,构造的方程为()021212=++-x x x x x x .例6. 以2-和3为两根的一元二次方程是【 】（A ）062=-+x x （B ）062=--x x（C ）0162=-+x x （D ）0162=+-x x解:以2-和3为两根的一元二次方程为:()()032322=⨯-++--x x ,即:062=--x x .∴选择答案【 B 】.例7. 阅读材料:材料1 若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ,则ab x x -=+21, ac x x =21. 材料2 已知实数n m ,满足01,0122=--=--n n m m ,且n m ≠,求nm m n +的值. 解:由题意可知:n m ,是方程012=--x x 的两根不相等的实数根∴1,1-==+mn n m ∴()31212222-=-+=-+=+=+mn mn n m mn n m n m m n . 根据上述材料解决下列问题:（1）一元二次方程01322=-+x x 的两根为21,x x ,则=+21x x _________,=21x x _________;（2）已知实数n m ,满足0122,012222=--=--n n m m ,且n m ≠,求22mn n m +的值;（3）已知实数q p ,满足132,2322+=+=q q p p ,且q p 2≠,求224q p +的值.解:（1）21,23--; （2）由题意可知:n m ,是方程01222=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:21,1-==+mn n m ∴22mn n m +()21121-=⨯-=+=n m mn ; （3）设q t 2=,则t q 21= ∵1322+=q q∴232+=t t由题意可知:t p ,是方程0232=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:22,32-===+=+pq pt q p t p∴()pq q p q p 2224222⋅-+=+ ()132232=-⨯-= 应用五 求参数的取值范围一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是:⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ;有两个负实数根的条件是:⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ;有两个相异实数根的条件是:⎩⎨⎧<>∆0021x x . 例8. 已知方程()00122≠=-+-m m mx mx 有一个正根,一个负根,求m 的值取值范围.解:由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>---=∆010142212m m x x m m m解之得:1<m.0<∴m的值取值范围是1<m.0<。
根和系数的关系
根和系数的关系
根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax_+bx+c=0的两个根x1，x2与系数的关系。
即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。
根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r 表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。
根与系数的关系，又称韦达定理。
所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。
一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。
因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
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一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得≤0 设方程两根为则，∵∴∴整理得：解得：又∵，∴说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：即有：解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：，于是，得：∴=0解法二：由于、是方程的实数根，∴∴说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有两式相减，得当时，，方程的判别式方程无实数解当时，有实数解代入原方程，得，所以于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。
答案与提示：一、填空题：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。
有两种情况：①设＞0，＜0，则；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，，∴2、提示：由韦达定理得：，，∴3、提示：由韦达定理得：，，∴4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，∴，∴，化简得：；解得：，；以下分两种情况：①当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：；②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：；①②得：，解这个方程得：；以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。
所以和相同的根为，的值分别为，。
三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝44、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，；所以的值有两个：；；5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：，，∴，∴，∴，又∵，变形得：，∴，∴。