专项训练4 根与系数的关系的四种应用类型

专项训练4 根与系数的关系的四种应用类型

方法指导：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.

利用根与系数的关系求代数式的值

1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．

(1)(x 1－3)(x 2－3)；

(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1

； (3)x 1－x 2.

利用根与系数的关系构造一元二次方程

2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．

利用根与系数的关系求字母的值或取值范围

3．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.

(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．

巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性

4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，

使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32

成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有

x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34

. (1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74

＋9＝3. (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1

＝ x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）

＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1

＝ （x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1

＝ ⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74

＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±14

97. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，

则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35

. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，

令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2

. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，

q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53

. ∴所求的方程为y 2＋23y －53

＝0，即3y 2＋2y －5＝0. 3．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m ≥0，

∴m ≤4.

(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2，

∴x 1＋x 2＝4，①

又∵5x 1＋2x 2＝2，②

联立①②解方程组得⎩

⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6. ∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12.

4．解：不存在．理由如下：

∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.

∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，

∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k

. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k

. 又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32

， ∴－k ＋94k ＝－32.∴k ＝95

. 经检验，k ＝95

是该分式方程的根． 又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32

成立．