根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系的应用

教学目标：

知识技能目标

1.能说出根与系数的关系；

2.会利用根与系数的关系解有关的问题.

过程性目标

在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦.

情感态度目标

1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；

2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.

重点和难点：

重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；

难点：对根与系数这一性质进行应用.

教学过程：

一、创设情境

1．请说出解一元二次方程的四种解法.

2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

(1)x2－2x＝0；

(2)x2＋3x－4＝0；

(3)x2－5x＋6＝0.

证明.

3

两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.

（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）

探索过程

q

q

p p q p p x x p

q

p p q p p x x q

p p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---∙-+

-=

∙-=---+-+-=+---=

-+

-=

-±-=

-±-=≥-=-====++2

42424242

4242

4240

44102221222122212

2222，，，

结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一

致的.

三、实践应用

例 1 已知关于x 的方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.

解法一：因为关于x 的方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有

．

q p q p q p q p 030

30)3()3(00022=-=⎩⎨

⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得

解法二：由q x x p x x =∙-=+2121，，

方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得

．

q p q p 03

)3(0)3(0=-==-⨯，即得

＝－－＋

例2 写出下列方程的两根和与两根积：

05)4(032)3(0

2114)2(0

17)1(2

2

22=-+-=-+=-+=+-n nx x x x x x x x

5

)4(2

321)3(21

14)2(1

7)1(2121212121212121-=∙=+=∙-=+=∙-=+=∙=+n x x n x x x x x x x x x x x x x x ，－

，－，，解

课堂练习

1.写出下列方程的两根和与两根积：

3)4(0

532)3(04411)2(025)1(2

2

22=-+-=-+=-+=+-m mx x x x x x x x

2.已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2

－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值. 四、交流反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；

2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系. 五、检测反馈

1.已知关于x 的方程x 2－2x ＋m 2

+m －2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m 的值. 2.写出下列方程的两根和与两根积：

3)4(0

152)3(0)2(047)1(2

222=+-=+-=-+=+-m x x x x n mx x x x

3.已知关于x 的方程2x 2

－mx －m 2

＝0有一个根是1，求m 的值. 六、布置作业 习题2.8