考研高数全册小结论 陈文灯老师

(cos x)(2n+1)
dx
[1+ (cot x)2 ]n
∫ ∫ (cos x)(2n+1) sin x = − (cot x)(2n+1) d cot x
∫
1+
1 cos
x
dx
=
tan
x 2
+
C
∫
1+
1 sin
x
dx
=
tan
x
− sec
x
+
C
=
−2 1+ tan
x
+
C
2
∫ ∫ ∫ (tan x)n dx = (tan x)n (sec x)2 dx = (tan x)n d (tan x)
∫ (sin
x)2 dx
=
x 2
−
1 4
sin
2x
+
C
∫
(cox)2
dx
=
x 2
+
1 4
sin
2x
+
C
∫ (tan x)2 dx = tan x − x + C
∫ (cot x)2 dx = − cot x − x + C
dx 1
x
∫ = arctan + C
x2 + a2 a
a
∫ dx = ln | x + x2 ± a2 | + C
2
2
∫ eax cos bxdx = eax (a cos bx + b sin bx) + C
a2 + b2
∫ eax
sin bxdx
=
eax a2 + b2
(a
sin
bx
−
b cos bx)
+
C
10． y=sinwx(w>0) 它的半个周期与 x 轴围成的面积为 s=2/w 把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为 s’=1/w 显然 s=2s’
0
2
∫ +∞ e−axdx = 1 (a > 0)
0
a
∫ +∞ e− pt sin wtdt = w ( p > 0, w > 0)
0
p2 + w2
∫ +∞ e− pt cos wtdt = p ( p > 0, w > 0)
0
p2 + w2
+∞ sin x
π
∫0
dx =
x
2
(6). 关于三角函数定积分简化( 注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)
9． 重要不定积分
sin(sin x) = x − 1 x3 + o(x3 ) 3
dx
sec xdx (sec x)(2n+2) dx (sec x)2n d(tan x)
∫ ∫ ∫ ∫ (sin x)(2n+1) cos x = (sin x)2n+1 = (sin x)(2n+1) =
(tan x)(2n+1)
显然为 1, 2
17. 函数取得极值的第二充分条件
x x x x x 设f (x)在 处n阶可导，且f '( ) = f ''( ) = f '''( ) = ⋯⋯ = f ( (n−1) ) = 0
0
0
0
0
0
x f (n) ( ) ≠ 0 (2 ≤ n) 0
x x (1) n = 2k且f (n) ( ) < 0 ⇒ f ( )为极大值
0
0
0
0
x x 则( , f ( ))为拐点
0
0
19 .用求导法判断数列的单调性
设A n+1
=
f ( An ),
An ∈ I
若f (x)在区间I上单调递增
则：(1) A2 > A1 {An} ↗
(2) A2 < A1 {An} ↘
注意：若f (x)在区间I上单调递减
则：{A2n }−1 与{A2n}两数列具有相反的单调性
0
π
∫4 2 (sin x ) n d x 0
(n为 奇 数 ) （ n为 偶 数 ）
∫ ( 5 )
2π (cos x)ndx =
0
0
π
∫4 2 (c o s x ) n d x 0
(n为 奇 数 ) （ n为 偶 数 ）
∫ ∫ (6 ) 2π (sin x ) n d x = 2π (c o s x ) n d x
2
2
直线L : y = kx + b为函数y = f (x)的渐近线的充分必要条件为：
5．
f (x)
k = lim
x→∞ x
b = lim[ f (x) − kx] 这里的∞包括 + ∞和 − ∞ x→∞
6． 常见函数的导数 (记熟后解题快)
( x)'= 1 2x
1
1
( )'= −
x
x2
(xx ) ' = xx (1+ ln x)
(3) lim x ln x = 0 x→0+
(4) lim xx = 1 x→0+ an
(5) lim = 0 n→∞ n!
14. 函数 f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时 f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：
f (x) = 1 x为有理数 -1 x为无理数
0
0
∫ (7 )
π 2
(sin
x)n dx
=
n
−1
n
−3
n
−5
2 .........
0
n n−2 n−4
3
(n为 正 奇 数 )
= n − 1 n − 3 n − 5 ......... 1 π (n为 正 偶 数 )
n n−2 n−4
22
π
ππ
(8)∫0 xf (sin x)dx = 2 ∫0 f (sin x)dx
π
π
∫ ∫ (1) 2 f (sin x )d x = 2 f (co s x )d x
0
0
π
π
∫ ∫ 特 别 的 2 (sin x ) n d x = 2 (c o s x ) n
π
∫ ∫ ∫ ( 2 ) f (sin x )d x = 2 2 f (sin x )d x = 2 2 f (co s x )d x
(6).n 1+ x −1 ∼ x n
(7).loga
(1+
x)
∼
x ln a
0< x< π 时
2．
2
sin x < x < tan x
0<| x |< π 时 2
1− cos x < 1 x2 2
如果limU = 1, limV = ∞
3．
则 limU V = elim(U −1)V
4. f (x) + f (−x) 表示偶函数，f (x) − f (−x) 表示奇函数
n→∞ n n n
n
n
之积：取 k n → 0 (其中n → ∞, k = 1, 2,3⋯⋯) n!
显然1n 2n 3n ⋯⋯ nn n! n! n! n!
=
(n!)n (n!)n
20. 题目中如果出现f ''(x) ≠ 0 ⇒ f '(x)单调
21． ln(x + 1+ x2 ) ∼ x (x → 0)
22． 无穷小小谈
当x → 0时，有
(1)当 0 < n ≤ m ⇒ xm = o(xn )
(2)当 0 < n ≤ m ⇒ o(xm ) + o(xn ) = o(xn )
∫0
（2）
π
∫ cos kxdx =0 −π π
∫ sin kxdx =0 −π
∫π (cos kx)2 dx =π −π
∫π (sin kx)2 dx =π −π
设k,l ∈ N + ,且k ≠ l,则
π
∫ cos kx sin lxdx =0 −π
(3) π
∫ cos kx cos lxdx =0 −π π
文登精编的高数小结论
1． 等价无穷小（x→0）
(1).sin x ∼ x ∼ tan x ∼ ex −1 ∼ ln[1+ x] ∼ arc sin x ∼ arctan x
(2).1− cos x ∼ 1 x2 2
(3).(1+ x)a −1 ∼ ax
(4).ax −1 ∼ x ln a
(5).1− n 1− x ∼ x n
cos x = 1− x2 + x4 + o(x5 ) 2! 4!
ex = 1+ x + x2 + x3 + o(x3) 2! 3!
ln(1+ x) = x − x2 + x3 + o(x3) 23
(1+ x)a = 1+ ax + a(a −1) x2 + a(a −1)(a − 2) x3 + o(x3 )
2!
3!
x3 tan x = x +
+ o(x3)
3
cot x = 1 − x + o(x) x3
arcsin x = x + 1 x3 + o(x3 ) 6