(完整版)最小公倍数和最大公因数的应用题归纳

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总
一、解题技巧：
最大公因数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。

补充部分公式
小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）
小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）
小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）
小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数
植树问题公式
不封闭型：2、只有一端都栽
1、两端都栽间隔个数=株数
间隔个数=株数－1
株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数
3、两端都不栽
间隔个数=株数＋1
株数=间隔个数－1
封闭型：
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度×间隔个数
封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：
株数=（每边株数－1）×4
备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可
二、经典题目
1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？
2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？
3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？
4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。

至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？
5、一路车5分钟发一次车，二路车6分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间再次同时发车？
6、崔青青5天去一次图书馆，李幻霞3天去一次图书馆，修畅6天去一次图书馆，她们今天同时在图书馆，至少要多少天她们3人再次相遇？
7、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排，都能排成整排而没有剩余，五（3）班至少有多少人？
8、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排，都都剩余3人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）
9、五（3）班做早操，每6人一排少3人，每7人一排剩余4人，五（3）班至少有多少人？（备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题）
10、五（3）班分水果，桃子84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。

五（3）
11、两根铁丝分别长72米、48米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每段最长是多少米？
12、有一段路每8米栽一棵树，头尾都栽共栽了51棵。

如果改成5米一棵，至少几米有一棵不动？共有多少棵不动？（备注：最小公倍数与植树问题综合出题）
附加：
1、起步价问题
某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表：
月用水量（立方米/户）收费标准（元/立方米）
10以下（包括10）部分 1.80
11至20（包括20）部分 2.60
20以上部分 3.40
（1）小明家五月份用水9立方米，应付水费多少元？
（2）小明家六月份付水费31.20元，算一算，他家六月份用了多少立方米水？
（3）抄表员七月一日到小明家抄水表时，水表上显示1363立方米，八月一日再次抄表时，水表上显示1384立方米。

小明家七月份需要付水费多少元？
2、最佳问题也叫最经济问题
五（3）班4位老师带领38名学生去逛动物园，门票写着大人每张票价20元，儿童每张票价10元；如果购买团体票每10人为一张团体票，一张团体票80元。

请你帮办主任算算怎样买票最合算，最合算多少元？
五（3）班和五（4）班76位学生去划船，船上的标价是租一条大船30元，租一条小船20元，请问怎样租船最合算，最合算多少元？（大船一条坐15人，小船一条坐8人）
一架天枰，只有5克和30克两个砝码，要把300克的盐平均分成三份，最少称几次？写出称法。

14个大小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格的产品？
妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需2分钟，每面各1分钟。

问妈妈在厨房烙3张饼至少需要几分钟？
一把钥匙开一把锁，现有6把钥匙6把锁，但不知怎么相配。

那么最多要试几次确保配对全部的钥匙和锁？
有甲乙丙丁四袋奶粉，甲袋最轻，丙袋最重，乙袋在甲丙两者之间。

试用无砝码天枰称一次，确定出丁排在第几位，应该怎样称量？
3、容斥问题
注意去掉重复的计数（重复的计数通常指的是既参加这项，又参加另一项，因此在计数时，此数重复数了一次）
五（3）班有36人，语文优秀的人数有26人，数学优秀的人数有30人，请问语数都优秀的有多少人﹖（求重复计数部分的代表题）
五（3）班有36人，语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，有25人语数都是优秀，请问语数都达不优秀的有多少人﹖（求综合性的代表题）
五（3）班语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，语数都优秀的有20人，请问五（3）班达到优秀的学生有多少人﹖（求实际数量的代表题）
五（3）班语文优秀的人数有25人，数学优秀的人数有30人，语数都优秀的有20人，还有5人达不到优秀，请问五（3）班有多少人﹖。