初等数学研究试题

()()()
()()x r x q x x x x
x f +++-=-=1112
2
1001
，
()d cx bx
ax
x r +++=3
3
令1±=x ，得⎩⎨
⎧-=+-+-=+++2
0d c b a d c b a ，令i x 2
32
1+
-
=，得()i
b c c b d a i -+
-
-
+=-
-
2
32
2
2
32
3由此可得
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧=--=--+-=+-+-=+++,
1,
2
322,2,0c b c b d a d c b a d c b a 解之得a=2,b=0,c=1,d=-2,所以()23-+=x x x r
3. 解方程：0144234=+++-x x x x .
解：令1+=y x ，代入所给方程并化简得
03252
4
=+--y y y （1）
设()()m ky y l ky y y y y +-++=+--2224325，则
0413102
4
6
=-+-k k k
(
)(
)
04912
4
2
=+--⇒k
k
k
取k=1,得3,1-=-=m l ，因此方程（1）可写成()().03122=---+y y y y
由012
=-+y y ，解得25
1±
-=
y ；由032
=--y y ，解得213
1±
-=
y .
换回原来变量，得2
5
1±
-=
x 或2
13
3±
-=
x .
4.解方程组：()
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=++310265113222 xy z y x z y x
解 ()2)3(2⨯+，得(),852
2
=++z y x （4）
由（1）得z y x -=+13
将（5）代入（4）得 .042132
=+-z z （5）
解得.7,621==z z 再由（3）和（5）得下面两个方程组：
,10
7,61⎪⎩
⎪⎨
⎧==+=xy y x z 及.,.106,72⎪⎩⎪
⎨⎧==+=xy y x z 分别解这两个方程组，得,,65,2⎪⎩⎪⎨⎧===z y x ,,62,5⎪⎩⎪⎨⎧===z y x ,
,73,
3⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=z i y i x ,.73,
3⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=-=z i y i x
三、证明题（ 每题10分，共40 分 ）
1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
证明： 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△， 从而可得△DGC ≌△APD ≌△CGP ,得出PC=AD=DC,和
∠DCG=∠PCG ＝150所以∠DCP=300
，从而得出△PBC 是正三角形
2、 当x ＜
2
3时，求函数y=x+
3
28
-x 的最大值
解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+2
3
， ∵当x ＜2
3
时，3-2x ＞0，
∴
x
x 2382
23-+
-≥x
x 2382
232
-∙
-=4，当且仅当
x
x 2382
23-=
-，即x=-
2
1时取等号.
于是y≤-4+
2
3=2
5-
，故函数有最大值2
5-
3、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面为直角梯形，A D ∥B C ，90B A D ∠=︒，
P A ⊥底面A B C D ，且2P A A D A B B C ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证：PB D M ⊥；
(Ⅱ) 求C D 与平面AD M N 所成的角。

解：（I ）因为N 是P B 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥. 因为AD ⊥平面P A B ，所以AD PB ⊥， 从而PB ⊥平面AD M N .
因为D M ⊂平面AD M N ，所以PB D M ⊥.
（II ）取A D 的中点G ，连结B G 、N G ，则//B G C D ，
所以B G 与平面AD M N 所成的角和C D 与平面AD
M N 所成的角相等. 因为PB ⊥平面AD M N ，
所以B G N ∠是B G 与平面AD M
N 所成的角.
在R t B G N ∆中，sin 5
BN BN G BG
∠=
=
.
故C D 与平面AD M N 所成的角是arcsin
5
.
4、 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=
+n n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
1111n n
n
c
a a +=
+
+-，数列{
}n c 的前n 项和为T n .
求证：123
n T n >-
．
A P
C
D
B
解：（Ⅰ）11(1),
1
－=
- a S a a ∴1,=a a
当2n ≥时，11,1
1
n n n n n a a a S S a a a a --=-=
-
--
1
n n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n n
n a a a
a -=⋅=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)
(31)21
1(1)n
n
n n n
a
a a a a a
b a
a a ⋅
----=
+=
-，若{}n b 为等比数列，
则有2
213,b b b =而2
1232
32322
3,,,a a a b b b a
a
+++===
故2
2
2
32322
(
)3a a a a
a
+++=⋅
，解得13
a =
，
再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13
a =
．
（III ）证明：由（Ⅱ）知1
()3
n
n a =，所以1
1
1
113
31
1
31
3
1
1()
1()
3
3
n
n n n
n n
n c +++=
+
=
+
+-+-
1
1
1
311311111131
3
1
31
3
1
n
n n
n n
n ++++--+=
+
=-
++
+-+-
1
112(
)313
1+=--+-n
n ， 由
1
1
111
1,
31
3
3
13n
n
n n ++<>
+-得
1
1
1111,31
31
3
3
n
n n
n ++-
<
-
+-
所以1
1
13112(
)2(
)31
3
1
33
＋++=--
>--
-n n
n n
n c ， 从而1222
3
1
1
11111[2()][2()][2()]3
3
3
3
3
3
n n n
n T c c c +=+++>--
+--
+--
2
2
3
1
1111112[()()()]333
33
3
n n n +=--+-
++-
1
11
12(
)23
33
n n n +=--
>-．
即123
n T n >-．。