第三章血液的流动

4）说明 （1）理想流体是实际流体的理想化模型。
（2）引入理想化模型是物理学研究中经常采用的方法。
2 定常(稳定)流动
1）一般流动（非定常流动）:流体内各质点的速度既 是时间的函数，又是空间的函数。即=(x,y,z,t)
2）定常（稳定）流动:流体内各质点的速度与时间 的无关，只是空间的函数。即=(x,y,z) 3)说明:定常流动是流体的理想流动状态。 3 流（速）场、流线、流管 1）流场：流动的液体或 气体所在的空间区域。
1 1 2 2 P V mv mgh P V mv 1 1 1 2 2 mgh 2 2 2
1 v 2 gh P 1 v 2 gh P 1 v 2 gh 恒量 P 1 1 2 2 2 2 1 2 2
3、伯努利方程的两种表述 P 1 v 2 gh 恒量
PA ghA PB ghB
PB PA ghA ghB
静止流体高度差为 P gh △h两点的压强差 *静止流体等高点压强相同。
A
△h
B
h
B
h
A
四、应用伯努利方程的主要步骤. 1、选一细流管（流线）. 2、确定流线上两点，列出伯努利方程 3、如何确定流线上两点？ 1）与所求问题有关。 2）已知量最多,未知量最少. 4、选择合适参考面（确定h） 5、有些问题还需应用连续性方程 6、有些问题还需应用静止流体（U型管内，压强计 内）有关静压强的相关定理。
喷口处的 截面小， 流速大， 该处压强 小于大气 压强,外界 大气压将 液体压上 被气流吹 成雾状.
2)等压管中流速与高度关系（P1=P2)
2 2 P1 1 v1 gh1 P2 1 v2 gh2 飞 2 2
流 直 P 1 v 2 gh 恒量 2 下 三 1 2 千 v gh 恒量 尺, 2 疑 是 高处流速小,低处流速大. 银 河 落 九 天.
例 右图表示从杯中流出的水 流如何“收缩下去”。标出的 两处横截面积为 S0＝1.2cm2 和S=0.35cm2。两个截面的竖直 距离为 h=45mm。 从此杯中流 出的体积流量是多少？ 解 s v sv
v v o 2gh
2 2
o o
2ghs 2 2(9.8m / s 2 )(0.045m)(0.35cm2 ) v0 28.6cm / s 2 2 2 2 2 2 (1.2cm ) (0.35cm ) s0 s
第三章 血液的流动
3.1 3.2 理想流体的定常流动 粘性流体（血液）的层流
§3.1 理想流体的定常流动 一、 基本概念 1 理想流体 1）流体：具有流动性的物体。(气体和液体) 医学中的流体运动：血液循环、呼吸、输液等。 2）实际流体 ①可压缩(密度变) 3）理想流体 ②有粘性(有内摩擦力)
①绝对不可压缩(各处密度相同) ②完全没有粘性(没有内摩擦力)
流 场
2） 流线 (1)引入目的:为了形象描述流场.
A
va
B
vb
C
vc
（2）流线:在流场中作一系列曲线,使曲线上每一点的 切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同。
（3)说明
*任何两条流线都不相交. *流线密流速大，流线疏流速小. *非定常流动时流线形状随时间变化。 *定常流动时流线的形状不随时间变化。
例1、小孔流速 一个很大的开口容器，器壁上距水面h处开有一小孔， 截面积为SB。 SA>>SB 求：小孔处液体的流速B=?
A •
解：取A、B处列伯努利方程
1 1 2 2 PA v A ghA PB v B ghB 2 2
PA=P0 PB=P0 • B hB=0
由连续性方程 SAVA=SBVB
N B
1 2 BA : pB vB ghB p A ghA 2 NB两点很接近，MA两点高度差很小 1 2 （ρ待测气 pM v p A 2 体密度，ρ′ pA pM ' gh gh U型管中液 体的密度。）
'
v
2 ' gh

例4、虹吸管原理。 用灌满液体的曲管将液体经过高出液面的地方引向低处。 如图用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管,从水库里取水, 已知虹吸管的最高点C比水库水面高2.50 m,管口出水处D 比水库水面低4.50 m,设水在虹吸管内作定常流动(1)若虹 吸管的内径为3.00×10-2m,求从虹吸管流出水的体积流 量.(2)求虹吸管内B、C两处的压强。 解：（1）对A、D两点列伯努利 方程得到
4、伯努利方程适用条件
1 v 2 gh 恒量 2 2 1 1 P P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 2
(1)理想流体。 (2)定常流动。 (3)同一流管（或同一流线）。 5、注意压强的三个单位和换算关系
大气压 帕斯卡 毫米汞柱
1atm = 1.013 × 105 Pa = 760mmHg
h2
1 1 2 2 E2 E1 m v2 m gh m v m gh 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P V P V m v m gh m v m gh 1 2 2 2 1 1 2 2
2 gh 2 2 S1 S 2
例3、皮托管(Pitot tube)流速计原理
动 压 强
静 压 强
在管中将某处动压强全部转化为静压强,然后求出 流速.
B A
左上装置一般测气体的流速。 U型管内装有某种液体。
h
h
左下装置一般测液体的流速。
A B
U型管内液体与管道中液体相同。
例：测液体流速.直管下端c处流速不变，弯管下端 d处流体受阻，形成速度为零的“停滞区” 解： P c
S v 常数
3、讨论
Q Sv 常量
1 2
1)流速与横截面积成反比. 河道宽处水流比较缓慢, 而河道窄处则水流较急.

弄堂风
2• 1•
i
2)同一流管内多岔道
Sv
S v
i 1 i
n
3• 4•
4、连续性方程与人体内血流速度分布（P41） 哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性方程的 一个很好例证.
3)等粗管中压强与高度关系（S1=S2)
1 v 2 gh P 1 v 2 gh P 1 1 2 2 2 1 2 2
S1V1 S2V2
医学中应用:体位对血压高低有 很大影响。
P gh 恒量
高处压强小,低处 压强大.
4)静止流体是定常流动流体的特例（VA=VB=0）
vB
S A S B
vA 0
2 gh
h是小孔到水面的垂直距离。
讨论:
vB
2 gh
h是小孔到水面的垂直距离。
*两头都开口：PA=PB=PO *两截面积相差很大 *大截面处A=0
A •
装置特点： 大敞口容器下方开一小孔.
• A
h
h
• B
•B
例2、汾丘里（Venturi）流量计原理
先用两个插在主管道中的竖直细管来测量不同截 面处的压强差,然后计算出流速或流量.
Q s0v0 1.2cm2 28.6cm / s 34cm3 / s
三、伯努利方程 1、问题 火车站台上为什么要画一条 黄线? 1912年发生了一次海难事故, 当时最 大的一艘轮船“奥林匹克”号和相对 较小的军舰“豪克”号正在公海上并 排同向高速航行，当两者相距百米左 右时，军舰竟然不听使唤地越来越向 “奥林匹克”号靠近,最后重重地撞向 丹尼尔 • 伯努 “奥林匹克”号。 利(公元1700 － 伯努利应用功能原理推导出理想流 体作定常流动的基本动力学方程-伯努利方程。 1782年)出生于 荷兰的格罗宁根.
2）数学表达式 主要依据：质量守恒。 在细流管中取一段作定常流动 的不可压缩的流体。 细流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：截面上各处速度相同 1v1tS1 2v2 tS2
1 2
v1 S1 v2 S 2
Q Sv 常量
3）表述: 不可压缩的流体做定常流动时,流量守恒。 4）说明 （1）适用条件 *不可压缩，*定常流动，*同一流管 （2）截面处流速不同（粘性流体）.
6、讨论 2 2 2 1 1 1 P v gh 恒量 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 2 1)水平管中压强与流速关系（h1=h2)
P 1 v 2 恒量 2
流速小处压强大, 流速大处压强小. 应用：空吸作用、 喷雾器。
A
B
喷雾器原理
2、伯努利方程推导
1)研究对象： 在细流管中任 取一段作定常 流动的理想流 体。
2)推导依据：功能原理（能量守恒）
v2,S2 P2 l2 b b'
A E2 E1
A F1L1 F2 L2 P 1S1V1t P 2 S 2V2 t P 1V P 2 V
P1 h1 v1,S1 a l1 a'
h
S1
v1
h2
v2
S2
S1v1 S 2 v2 1 1 2 2 P v P v 1 1 2 2 2 2 P 1 P 0 g ( h h2 ) P2 P0 gh2
v1 S 2
2 gh 2 2 S1 S 2
Q S1S 2
v D 2 g(hA hD ) 9.4m s 1
2 DD QD S D v D π vD 6.6 103 m 3 s 1 4
(2) 对于 A 、 B 两点 , 应用伯努 利方程有 1 2 P0 PB vB 2 根据连续性方程,vB=vD.
1 p B 1.013 10 1.0 10 3 9.4 2 5.7 10 4 Pa 2 B点压强小于大气压,水能够进入虹吸管. 对C、D两点应用伯努利方程和连续性方程 4 P gh P gh pC p0 g (hD hC ) 3.2 10 pa
1 2
v 2 Pd
h
Pc P0 gha
Pd P0 ghb hb ha h
（h为两管中液面高度差）
c
d
开口c与v相切；开口d逆着液体流向v。
v 2gh
例:测气体流速.
1 1 2 2 NM : pN vN ghN pM v ghM 2 2
2
1 v gh P 1 v gh P 1 1 2 2 2 1 2 2 ρ gh：单位体积内流体势能（势能密度），ρ v2/2：单 位体积内流体动能（动能密度）， p：单位体积内流 体压强能（压强能密度）。
2 2
1）能量角度理解
理想流体作定常流动时，同一流管任一截面处的动能 密度、势能密度及压强能密度三者之和为一恒量。 （能量守恒） 2）压强角度理解 gh ,p：静压强，ρ v2/2：动压强。 理想流体作定常流动时，动压强和静压强可相互转化, 但任一位置处动压强和静压强之和为一恒量。
3）流管 （1)定义:由一束流线围成的管状区域。
（2）定常流动的流管特点 *流管形状不随时间变化。 *流管内外无物质交换。 “此处无管胜有管”
二
连续性方程（原理）
1、（体积）流量Q 1)定义:单位时间内流过垂直流管的截面S的流体体 积. 2)公式: Q v S 3)单位: 米3/ 秒 （m3·s-1） 2、连续性方程 1）问题 从消防水管射向高空中的水柱,会 变粗还是变细? 从自来水管中向下流出的水流随位 置的下降是变细还是变粗？
动脉系统
心脏
静脉系统
毛细管系统
人体血液循 环示意图
血液流速与血管总截面积的关系
例 正常人其主动脉横截面积是3cm2，通过它的血液 的流速是30cm/s。典型的毛细血管的横截面积是 3×10－7cm2,流速是1mm/s。这样一个人有多少毛细 血管？ 解 由连续性方程得
so vo nsv
s o vo (3cm 2 )(30cm / s) n sv (310 7 cm 2 )(0.1cm / s) 3109 (30亿)