2011年数学建模竞赛A题参考答案

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问题重述

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

模型假设

基于问题实际，本文作出如下假设：

符号说明

模型的分析、建立与求解

问题分析

在遵循合理性、代表性、系统性、可比性、可操作性及可获得性的原则下，我们应用因子分析的方法对重金属污染的主要原因进行分析。因子分析方法是将具有相关性的多个原始指标的评价问题转换为较少的、新的综合指标的评价问题的一种方法。其主要原理是利用降维的思想，通过研究指标体系的内在结构关系，把多指标转化成少数几个相互独立而且包含原有指标大部分信息的综合指标的多元统计方法。新的综合指标称为主成分或公因子。利用各主成分的因子得分计算出每个评价对象的综合得分,并以此作为综合评价的依据。

模型的建立与求解

首先，建立指标体系和在SPSS中导入原始矩阵，并且利用分析—描述统计来将数据进行标准化。接着，考察收集到的原有变量之间是否存在一定的线性关系，是否适合采用因子分析提取因子。

我们利用spss软件，借助变量的相关系数矩阵、卡方检验和KMO 检验方法进行分析。其软件结果如下表：

KMO 和 Bartlett 的检验

取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.778

Bartlett 的球形度检验近似卡方905.711

df 28

Sig. .000

从相关系数矩阵可以看出，大部分的相关系数较高，这8个变量之间存在较强的相关性，说明这8个变量反映的信息有很大的重叠，能够从中提取公共因子，适合进行因子分析。从KMO 和 Bartlett 的检验表可以得到，卡方检验统计量为905.711，相应的概率p接近0，说明相关系数矩阵与单位阵有显著差异。表明适合进行因子分析。

根据原有变量的相关系数矩阵，采用主成分分析法提取因子并选取特征根值大于0.5的特征根，从表中可以看出，特征值大于0.5的共有5个，这也是因素分析是所抽出的共同因素。从下表可以看出，前5个特征根的累计贡献率就达到85%以上，说明5个主因子提供了资料的87.756%的信息，主成分分析效果很好。下面选取前5个主成分（累计贡献率就达到87.756%）进行综合评价。

从上表看出旋转前后总的累计贡献率没有发生变化，即总的信息量没有损

失。另外，旋转之后，主因子1和主因子2的方差贡献率均为20％左右，主因

子3到主因子5的方差贡献率的范围为11.898％到15.215％之间。这可以说明

因子1和因子2可能为该城区内土壤重金属污染的最重要的污染源，对该城区重

金属污染的贡献最大，因子3、因子4、因子5对该城区重金属污染有重要作用。

通过下面的因子碎石图可以看到：第1个因子的特征值很高，对解释原有变

量的贡献最大；第6个以后的因子特征根值都很小，对解释原有变量的贡献很小，

因此提取5个因子是合适的。

由于因子分析的目的不仅是要找出主因子，更重要的是知道每个主因子的意义，为便于对主因子进行解释，一般须对因子载荷矩阵进行旋转，以达到结构简化的目的。由以上知道各变量之间不可能是彼此无关的，故作斜交旋转。

然后，根据成分得分系数矩阵，计算因子得分。

由上表，可以写出以下因子得分函数：

8 7

6

5

4

3

2

1

144

.0

120

.0

504

.0

124

.0

308

.0

531

.0

113

.0

071

.0

F1

ZS

-

+

-

+

--

=

8 7

6

5

4

3

2

1

161

.0

580

.0

204

.0

184

.0

060

.0

040

.0

689

.0

075

.0

F2

ZS

-

+

-

+

-

+ -

=

8 7

6

5

4

3

2

1

020

.0

062

.0

069

.0

899

.0

342

.0

133

.0

180

.0

026

.0

F3

ZS

-

+

-

-=

8 7

6

5

4

3

2

1

073

.0

035

.0

112

.0

059

.0

124

.0

133

.0

059

.0

020

.1

F4

ZS

-

+

-

-=

8 7

6

5

4

3

2

1

176

.1

060

.0

006

.0

048

.0

270

.0

107

.0

179

.0

089

.0

F5

ZS

+

-

+

-

=

下面用方差贡献率为权数构造综合因子得分函数：

5

11898

.0

4

12824

.0

3

15215

.0

2

22087

.0

1

25733

.0F

F

F+

+

=

综