中考数学压轴题精选压轴题及解答

天骄初三数学压轴题精选一

1、(本小题满分12分)

已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

（注：抛物线y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--a b ac a b 44,22）

解：（ 1）由已知得：3

10

c b c =⎧⎨

--+=⎩解得 c=3,b =2

∴抛物线的线的解析式为2

23y x x =-++

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆++梯形

=

111

()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =111

13(34)124222

⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9

（3）相似

如图，2222112BG DG ++=22223332BO OE +=+=y

x

D E

A B

F

O

G

==所以2

2

20BD BE +=, 2

20DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,

且2

AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:.

2、已知(1)A m -，

与(2B m +，是反比例函数k

y x

=图象上的两个点．

（1）求k 的值；

（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k

y x

=图象上是否存在点

D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，

求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）

由(1)2(m m -=+g g

，

得m =-，因

此k = ································ 2分

（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =

，BE =

BC =，因此

30BCE =o ∠．

由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =o

∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．

由于30DAF =o

∠，设11(0)DF m m =>

，则1AF =，12AD m =，

由点(1A --，

，得点11(1)D m --，．

因此11(1)()m --=g

解之得1m =

10m =舍去）

，因此点6D ⎛ ⎝⎭

．

5分

如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =o

∠，从而150ACD =o

∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足，

则60DCH =o

∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m =

由点(1

0)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)m -+=

解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形． ········ 7分

图1

图2

如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，

同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． ·············· 9分

综上所述，函数y x

=

图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D

的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭

或

D 10分

3、如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存

在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-

=………2分 图3

（2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，…………5分

把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

………6分 215

466

y x x ∴=-++………………………………………

…7分

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =，

5.5AN =，5

2

BM =

① ········································································································· 以

AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．

222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ················· 8分

在1Rt ANP △

中，1

2

PN ==

==

152P ⎛∴ ⎝⎭

， ························· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．

在2Rt BMP △

中，2MP ==

==分

252P ⎛∴ ⎝⎭

························

11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．