《点集拓扑讲义》第四章-连通性-学习笔记

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第4章连通性

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．

§4.1连通空间

本节重点:

掌握连通与不连通的定义；

掌握如何证明一个集合的连通与否；

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．

我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．

定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果

则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．

定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．

定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：

（l）X是一个不连通空间；

（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；

（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；

（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．

证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．

条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

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条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所

以A、B是开集，则由A＝和B=易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4）成立．

条件（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．

例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．

定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．

证明我们用反证法来证明这个定理．

假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜

b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此（，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．

定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．

拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系．)．因此，如果，则Y是X 的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．

定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．

因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．

证明用、分别表示A在Y，X中的闭包．因为

因此根据隔离子集的定义可见定理成立．

定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y AUB，则或者Y A，或者Y B．

证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，则

这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而

（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y

因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=，据上式立即可见Y B，如果B∩Y＝，同理可见Y A．

定理 4.1.5 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件

．则Z也是X的一个连通子集．

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证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此Y AUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者Y A．

或者Y B,同理,．

这两种情形都与假设矛盾．

定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果

，则是X的一个连通子集．

证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取x∈，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据

定理 4.1.4，或者或者；由于x∈∩A，所以

．根据定理4.1.3，这就证明了是连通的．定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存

在X中的一个连通子集使得x，y∈Y，则Y是X中的一个连通子集．证明如果Y=，显然Y是连通的．下设Y≠,任意选取a∈Y，容易验证Y＝并且a∈．应用定理4.1.6，可见Y是连通的．

我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．