具有饱和输入的非线性组合系统的分散镇定_马跃超
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- 1 T
( 7)
使第 i 个闭环子系统 ( 4) 在区域 8 i 上关于 x i = 0 渐近稳定 ; 使系统 ( 2) 在区域 8 上关于 x = 0 渐近 稳定 . 证明 对于第 i 个闭环子系统 ( 4) , 设正定函数 Vi
T
( x i ) = x i Pi x i , 把 Vi ( x i ) 沿系统 ( 4) 的轨迹 对 t 求 导, 再结合式 ( 1) 和( 5)
n @n
i i
> 0
, Q i > 0; R i I R
T i
m @m
i
i
, R i > 0 则 Riccati 方程
T
5) lim imf( | R j ( s) | ) > 0 | s| y ] 则称 R 为饱和函数. 引理 1 R 为饱和函数, 则 1 1 m + s - R( s ) + [ + s +, Ps I R . 2 2 s[ R ij ( A s ) - Sat $i ( s ) ] \0, P A\1, j = 1, 2, ,, m 考虑如下的 N 个子系统组成的大系统 x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( ui ) +
-1
T
T
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第 2期
1 2
马跃超 , 等 : 具有饱和输入的非线性组合系统的分散镇定
1 T - 1 T 1 1 2
T T -1 T
x i ( - Qi + Pi Bi R i B i P i ) x i + 2x i ( Pi Bi Ri ( - R i B i P ix i ) =
T T - 1 T T T - x i Qi x i + 2x i Pi Bi [ 1 R i B i Pi x i + R i ( - R i B Pi x i ) ] = 2 2 - x i ( Q i2 ) ( Q i2 ) x i + 2 x i ( Q 2 i ) Q i Pi Bi [ T 1 T 1 T T 1 T 1 1 1 1 1 1 -1 T -1 T 2 2 R B P Q 2 Q 2x + R i ( - R i B iP i Q i Q i x i ] [ 2 i i i i i i
[ 1~ 5]
相似系统
[ 8, 9]
大量出现在电力系统、 双机提升系统
和人工神经元网络等领域 , 有着广泛的实际背景 . 本文考虑了具有饱和输入的非线性相似组合系统 的镇定问题 . 由于相似组合系统结构的特殊性 , 我 们对该系统给出了简洁的分散全区域和分散半区 域镇定的条件 .
. 而输入饱和是控制系统的一个普遍
T -1 T 1 2 j 1 1 2
是系数矩阵和饱和函数. j = 1, E H ij ( x j ) I V i ( 8 ) 是 jXi 互联项 ( 8 是 x i = 0 的某邻域 , 8 = 8 1 @ 8 2 @ ,@ 8N 是 x = 0 的邻域) . 不失一般性, 假设 <ij ( 0) = 0( i X j , i , j = 1, 2, ,, N ) . 我们也将考虑下列特殊形式的组合系统 : x i = A1 x i + B1 R ¤ i ( ui ) + E H ij ( x j ) , i = 1, 2, , , N. j = 1, j X i ( 3) n m n @n n @ m 1 1 1 1 1 1 , 其中: x i I R , u i I R , A 1 I R , B1 I R H ij ( x j ) I V 1 ( 8 j ) . 显然是具有饱和输入的相似系 统. 我们的问题是系统 ( 2) 满足什么条件时 , 能找 到一个线性状态反馈 ui = Ki x i , i = 1, 2, ,, N 使得 Vi = ¤ ¤ x i P i x i + x i Pi ¤ xi =
第 22 卷 第 2 期 2006 年 4 月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报( 自然科学版)
Journal of Harbin University of Commerce ( Natural Sciences Edition)
Vol. 22 No. 2 Apr. 2006
具有饱和输入的非线性组合系统的分散镇定
sy0
x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( Ki x i ) +
E H ij ( x j ) , i = 1, 2,
N
R R j( s) j ( s) , lim s s s y0
,, N ; 在区域 8 上关于 x = 0 渐近稳定. 引理 2 设 ( Ai , Bi ) 能 控 ( i = 1, 2, ,, N ) , Qi I R
n N j = 1, j X i m
A Pi + Pi Ai - P i Bi R B i P i + Qi = 0. 存在唯一正定解 Pi . 引理 3 ( 1)
[ 10] X
- 1 i
( 5)
若 H ij ( x j ) I Vni ( 8 ) , 且 H ij ( 0) = 0, 则 j = 1, 2, ,, N ; j X i . , x I R , 则 x Ax = x
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X
哈 尔滨商业 大学学报( 自 然科学版)
第 22 卷
Vn ( E ) 表示定义在集合 E 上的 n 维解析向量场集 合. 若函数 R: R y R 满足
m m
问题 1
对于第 i 个闭环子系统 ( 4)
x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( K ix i ) . 在区域 8 i 上关于 x i = 0 渐近稳定. 问题 2 对于完全闭环系统
Abstract: In this paper, stabilization for nonlinear composite systems with input saturation is studied. Decentralized control of region for nonlinear composite systems with input saturation is studied by using Lyapunov. s theory and matrix norm properties. Decentralized stabilization con troller of region for the systems is designed. Similar composite systems can be found in electric power systems and so on. A kind nonlinear similar composite system is considered. Simple condi tion of decentralized stabilization for the systems is obtained by employing similar structural prop ert ies. Key words: stabilizat ion; input saturation; decentralized control; similarity systems; region 镇定是控制理论研 究的基本问题 之一. 近年 来, 许多学者研究了组合系统的镇定问题 , 取得了 一些结果
T T T X n N
N
+, i= j
W ij ( xj ) =
- 2+ ( Q
1 2 i
) Pi Rij ( x j ) Q
T
+, i Xj
这里 Qi , R i 根据需要 选择, Pi 由 式 ( 5) 确定 ; R ij ( x j ) 由式( 6) 确定. 则分散线性状态反馈 ui = - R i B i Px i , i = 1, 2, ,, N .
Decentralized stabilization for nonlinear composite systems with input saturation
MA Yue - chao, ZHANG Qing wk.baidu.com ling, TONG Song
( 1. Institute of System Science, Northeastern University, Shenyang 110004, China; 2. School of Science, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)
n T T
存在解析函数阵 R ij ( x j ) 使 H ij ( x j ) = R ij ( x j ) x j 引理 4 若 A I R
n@n
( 6) A+ A x 2
T
E H ij ( x j ) , i = 1, 2, ,, N . ( 2)
m
2 主要结论
定理 1 设非线性组合大系统( 2) 满足如下条件:
特征, 文献[ 6, 7] 分别研究了线性系统的全局镇定 和半全局镇定问题 . 然而 , 很少有人注意到具有饱 和输入的非线性组合系统的分散全区域和分散半 区域的镇定问题 . 本文将对具有饱和输入的非线性 组合系统的分散控制进行了讨论. 利用李雅普诺夫 稳定理论和矩阵理论给出具有饱和输入的非线性 组合系统的分散全区域和分散半区域镇定的条件 .
j = 1, j X i
1) R ( u ) 是 分散 的, 即 R ( u ) = [ R1 ( u 1 ) , R2 ( u 2 ) , ,, R m ( um) ]
T
2) R j 是半全局 Lipschitz 的 . j = 1, 2, , ,m 3) sR j ( s ) > 0, P s > 0 4) min lim +
T
其中 : x i I R i , ui I R i , 是 状 态 和 输 入. Ai I Ri
n @ n
i
, Bi I R i
n @m
i
和 Ri = R
i
y R i ( i = 1, 2, ,, N )
m X n
1) ( A i , B i ) 能控 ( i = 1, 2, ,, N ) 2) 矩阵 W ( x ) + W( x ) ( W( x ) = ( Wij ( x j ) N @ N ) ) 是区域 8 上的正定阵, 其中 1- +( Qi 2 ) Pi Bi + +Ri B i Pi Q i
马跃超 , 张庆灵 , 童
1, 2 1
松
1
( 1. 东北大学 系统科 学研究所 , 辽宁 沈阳 110004; 2. 燕山大学 理学院 , 河北 秦皇岛 066004) 摘 要 : 考虑了具有饱和输入的非线性组合系统的镇 定问题 . 利用李雅普诺夫方法和矩阵范数性质研
究了具有 饱和输入的非线性组合系统区域分散控制问 题 . 给出 了该系统 的区域的分 散镇定控 制器的 设计 . 相似组合系统出现在电力系统等领域 , 考虑了一类 具有饱和输 入的非线 性相似组 合系统 , 利用 相似结构的特点 , 给出了这种系统简洁的区域分散镇 定的条件 . 关键词 : 镇定 ; 输入饱和 ; 分散控制 ; 相似系统 ; 区域 中图分类号 :TP 133 文献标识码 : A 文章编号 : 1672- 0946( 2006) 02- 0115- 04
x i A i + Ri ( ui ) B i ) Pi x i + x i P i ( Ai x i + Bi Ri ( u i ) ) =
T T T T T T
x i ( P i Ai + A i Pi ) x i + 2x i ( Pi Bi Ri ( - R i B i P i x i ) =
收稿日期 : 2005- 09- 131
1 定义及问题提出
引入如下记号 : R, R , R
n n@ m
分别表示实数集 ,
n 维实向量集和 n @ m 矩阵集. +# +表示谱范数 .
基金项目 : 辽宁省普通高校学科带头人基金资助项目 ( 124210) ; 辽宁省科技厅基金资助项目( 20052022) . 作者简介 : 马跃超 ( 1963- ) , 男 , 博士 , 研究领域 : 鲁棒控制 、 广义系统 、 复 杂系统 . 张 庆灵 ( 1956- ) , 男 , 东 北大学教 授, 博士生 导师 , 研 究领 域 : 广义系统 、 鲁棒控制 .
( 7)
使第 i 个闭环子系统 ( 4) 在区域 8 i 上关于 x i = 0 渐近稳定 ; 使系统 ( 2) 在区域 8 上关于 x = 0 渐近 稳定 . 证明 对于第 i 个闭环子系统 ( 4) , 设正定函数 Vi
T
( x i ) = x i Pi x i , 把 Vi ( x i ) 沿系统 ( 4) 的轨迹 对 t 求 导, 再结合式 ( 1) 和( 5)
n @n
i i
> 0
, Q i > 0; R i I R
T i
m @m
i
i
, R i > 0 则 Riccati 方程
T
5) lim imf( | R j ( s) | ) > 0 | s| y ] 则称 R 为饱和函数. 引理 1 R 为饱和函数, 则 1 1 m + s - R( s ) + [ + s +, Ps I R . 2 2 s[ R ij ( A s ) - Sat $i ( s ) ] \0, P A\1, j = 1, 2, ,, m 考虑如下的 N 个子系统组成的大系统 x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( ui ) +
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T
T
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马跃超 , 等 : 具有饱和输入的非线性组合系统的分散镇定
1 T - 1 T 1 1 2
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x i ( - Qi + Pi Bi R i B i P i ) x i + 2x i ( Pi Bi Ri ( - R i B i P ix i ) =
T T - 1 T T T - x i Qi x i + 2x i Pi Bi [ 1 R i B i Pi x i + R i ( - R i B Pi x i ) ] = 2 2 - x i ( Q i2 ) ( Q i2 ) x i + 2 x i ( Q 2 i ) Q i Pi Bi [ T 1 T 1 T T 1 T 1 1 1 1 1 1 -1 T -1 T 2 2 R B P Q 2 Q 2x + R i ( - R i B iP i Q i Q i x i ] [ 2 i i i i i i
[ 1~ 5]
相似系统
[ 8, 9]
大量出现在电力系统、 双机提升系统
和人工神经元网络等领域 , 有着广泛的实际背景 . 本文考虑了具有饱和输入的非线性相似组合系统 的镇定问题 . 由于相似组合系统结构的特殊性 , 我 们对该系统给出了简洁的分散全区域和分散半区 域镇定的条件 .
. 而输入饱和是控制系统的一个普遍
T -1 T 1 2 j 1 1 2
是系数矩阵和饱和函数. j = 1, E H ij ( x j ) I V i ( 8 ) 是 jXi 互联项 ( 8 是 x i = 0 的某邻域 , 8 = 8 1 @ 8 2 @ ,@ 8N 是 x = 0 的邻域) . 不失一般性, 假设 <ij ( 0) = 0( i X j , i , j = 1, 2, ,, N ) . 我们也将考虑下列特殊形式的组合系统 : x i = A1 x i + B1 R ¤ i ( ui ) + E H ij ( x j ) , i = 1, 2, , , N. j = 1, j X i ( 3) n m n @n n @ m 1 1 1 1 1 1 , 其中: x i I R , u i I R , A 1 I R , B1 I R H ij ( x j ) I V 1 ( 8 j ) . 显然是具有饱和输入的相似系 统. 我们的问题是系统 ( 2) 满足什么条件时 , 能找 到一个线性状态反馈 ui = Ki x i , i = 1, 2, ,, N 使得 Vi = ¤ ¤ x i P i x i + x i Pi ¤ xi =
第 22 卷 第 2 期 2006 年 4 月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报( 自然科学版)
Journal of Harbin University of Commerce ( Natural Sciences Edition)
Vol. 22 No. 2 Apr. 2006
具有饱和输入的非线性组合系统的分散镇定
sy0
x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( Ki x i ) +
E H ij ( x j ) , i = 1, 2,
N
R R j( s) j ( s) , lim s s s y0
,, N ; 在区域 8 上关于 x = 0 渐近稳定. 引理 2 设 ( Ai , Bi ) 能 控 ( i = 1, 2, ,, N ) , Qi I R
n N j = 1, j X i m
A Pi + Pi Ai - P i Bi R B i P i + Qi = 0. 存在唯一正定解 Pi . 引理 3 ( 1)
[ 10] X
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( 5)
若 H ij ( x j ) I Vni ( 8 ) , 且 H ij ( 0) = 0, 则 j = 1, 2, ,, N ; j X i . , x I R , 则 x Ax = x
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第 22 卷
Vn ( E ) 表示定义在集合 E 上的 n 维解析向量场集 合. 若函数 R: R y R 满足
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问题 1
对于第 i 个闭环子系统 ( 4)
x i = Ai x i + Bi R ¤ i ( K ix i ) . 在区域 8 i 上关于 x i = 0 渐近稳定. 问题 2 对于完全闭环系统
Abstract: In this paper, stabilization for nonlinear composite systems with input saturation is studied. Decentralized control of region for nonlinear composite systems with input saturation is studied by using Lyapunov. s theory and matrix norm properties. Decentralized stabilization con troller of region for the systems is designed. Similar composite systems can be found in electric power systems and so on. A kind nonlinear similar composite system is considered. Simple condi tion of decentralized stabilization for the systems is obtained by employing similar structural prop ert ies. Key words: stabilizat ion; input saturation; decentralized control; similarity systems; region 镇定是控制理论研 究的基本问题 之一. 近年 来, 许多学者研究了组合系统的镇定问题 , 取得了 一些结果
T T T X n N
N
+, i= j
W ij ( xj ) =
- 2+ ( Q
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T
+, i Xj
这里 Qi , R i 根据需要 选择, Pi 由 式 ( 5) 确定 ; R ij ( x j ) 由式( 6) 确定. 则分散线性状态反馈 ui = - R i B i Px i , i = 1, 2, ,, N .
Decentralized stabilization for nonlinear composite systems with input saturation
MA Yue - chao, ZHANG Qing wk.baidu.com ling, TONG Song
( 1. Institute of System Science, Northeastern University, Shenyang 110004, China; 2. School of Science, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)
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存在解析函数阵 R ij ( x j ) 使 H ij ( x j ) = R ij ( x j ) x j 引理 4 若 A I R
n@n
( 6) A+ A x 2
T
E H ij ( x j ) , i = 1, 2, ,, N . ( 2)
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2 主要结论
定理 1 设非线性组合大系统( 2) 满足如下条件:
特征, 文献[ 6, 7] 分别研究了线性系统的全局镇定 和半全局镇定问题 . 然而 , 很少有人注意到具有饱 和输入的非线性组合系统的分散全区域和分散半 区域的镇定问题 . 本文将对具有饱和输入的非线性 组合系统的分散控制进行了讨论. 利用李雅普诺夫 稳定理论和矩阵理论给出具有饱和输入的非线性 组合系统的分散全区域和分散半区域镇定的条件 .
j = 1, j X i
1) R ( u ) 是 分散 的, 即 R ( u ) = [ R1 ( u 1 ) , R2 ( u 2 ) , ,, R m ( um) ]
T
2) R j 是半全局 Lipschitz 的 . j = 1, 2, , ,m 3) sR j ( s ) > 0, P s > 0 4) min lim +
T
其中 : x i I R i , ui I R i , 是 状 态 和 输 入. Ai I Ri
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i
, Bi I R i
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i
和 Ri = R
i
y R i ( i = 1, 2, ,, N )
m X n
1) ( A i , B i ) 能控 ( i = 1, 2, ,, N ) 2) 矩阵 W ( x ) + W( x ) ( W( x ) = ( Wij ( x j ) N @ N ) ) 是区域 8 上的正定阵, 其中 1- +( Qi 2 ) Pi Bi + +Ri B i Pi Q i
马跃超 , 张庆灵 , 童
1, 2 1
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( 1. 东北大学 系统科 学研究所 , 辽宁 沈阳 110004; 2. 燕山大学 理学院 , 河北 秦皇岛 066004) 摘 要 : 考虑了具有饱和输入的非线性组合系统的镇 定问题 . 利用李雅普诺夫方法和矩阵范数性质研
究了具有 饱和输入的非线性组合系统区域分散控制问 题 . 给出 了该系统 的区域的分 散镇定控 制器的 设计 . 相似组合系统出现在电力系统等领域 , 考虑了一类 具有饱和输 入的非线 性相似组 合系统 , 利用 相似结构的特点 , 给出了这种系统简洁的区域分散镇 定的条件 . 关键词 : 镇定 ; 输入饱和 ; 分散控制 ; 相似系统 ; 区域 中图分类号 :TP 133 文献标识码 : A 文章编号 : 1672- 0946( 2006) 02- 0115- 04
x i A i + Ri ( ui ) B i ) Pi x i + x i P i ( Ai x i + Bi Ri ( u i ) ) =
T T T T T T
x i ( P i Ai + A i Pi ) x i + 2x i ( Pi Bi Ri ( - R i B i P i x i ) =
收稿日期 : 2005- 09- 131
1 定义及问题提出
引入如下记号 : R, R , R
n n@ m
分别表示实数集 ,
n 维实向量集和 n @ m 矩阵集. +# +表示谱范数 .
基金项目 : 辽宁省普通高校学科带头人基金资助项目 ( 124210) ; 辽宁省科技厅基金资助项目( 20052022) . 作者简介 : 马跃超 ( 1963- ) , 男 , 博士 , 研究领域 : 鲁棒控制 、 广义系统 、 复 杂系统 . 张 庆灵 ( 1956- ) , 男 , 东 北大学教 授, 博士生 导师 , 研 究领 域 : 广义系统 、 鲁棒控制 .