圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)

圆锥曲线间的三个统一
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅 世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。

一、四种圆锥曲线的统一定义
动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。

二、四种圆锥曲线的统一方程
从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。

为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2
b
p a
=。

如图1，将椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>按向量（,0a ）平移
得到
2
22
2()1x a y a
b
-+
= ∴2
22
2
2
2b b y x x
a
a
=
+
∵椭圆的半通径2
11||b
F M p a
==
，
22
2
1b e
a
=-
∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e << 类似的，如图2，将双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>按向量(,0)a -平移得到
2
22
2
()1x a y a
b
+-
= ∴2
22
2
2
2b b y x x
a
a
=
+
∵双曲线的半通径2
22||b
F M a
=
，
22
2
1b e a
=-
∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->
对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成
2
2
2
2(1)(1)y px e x
e =+-=
对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成222
2(1)(0)y px e x e =+-=
于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。

三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式
在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F
则有22
2
(1)(1)1
1
c a a e P O C c a e a c
e e --=-=
=
=
>+++
(1)2
1p p O A e e ==
=+，2
2
2
(1)(01)1
1
a c a e p O B a c e a c
e e --=-=
=
=
<<+++
(0)1
p O P p e e ==
=+
即方程2222(1)y p x e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为
(
,0)1
p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有
O F e
m
=-。

∴准线L 为(1)
p x m e e -==+，对于圆0e =表示准线L 在无限远处，设点
00(,)M x y 为曲线2
2
2
2(1)y px e x
=+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对焦点F 的
焦半径00||()1
p m F e x m ex e =-=+
+。

圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。

圆锥曲线中的数学思想方法
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅 在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。

思想方法一：分类讨论思想
例 1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且
||PA d
=，试求d 的最小值。

解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x =
∴222200000||()()2[(1)]21d PA x a y x a x x a a ==-+=-+=+-+- 又a R +∈，00x ≥
∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =
2m i n (1)21d a a a =-+-=
（2）当1a ≥时，此时有01x a =- m i n 21d a =-
评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。

思想方法二：转化思想
例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。

解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y
由2
2
2y x y px
=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++=
∴122(2)x x p +=+ 124x x = ∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列
∴
||||||
||
BC C A AB BC =
过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则
211||||||
||
2
x x B C B C A B A B x ''-=='+
221
2||||||
||
x C A C A B C B A x x '+=
=
''-
∴
212221
22
x x x x x x -+=
+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++
∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++
得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-= 解得1p =满足1∆>或4p =-（舍去） 故所求的抛物线方程为22y x =
评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。

思想方法三：化归思想
例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B 。

（1）求实数k 的取值范围。

（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点。

解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得
2
2
(2)220k x kx -++= ①
依题意直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点
∴2
222220(2)8(2)022
220,0
2
2k k k k k k k ⎧
⎪-≠⎪
∆=-->⇒-<<-⎨⎪⎪->>--⎩
2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 则由①可得 122
22k x x k
+=
-，122
22
x x k =
- ②
假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0）则由FA ⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=
整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++= ③ 把②式及62
c =
代入③式化简得：252660k k +-=
∴665k +=-或66
(2,2)
5k -=
∉--（舍去）
∴665k +=-使得以AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 。

评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。

应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。

思想方法四：数形结合思想 例4 函数4
2
4
2
36131y x x x x x =
--+-
-+的最大值是________。

分析：原式=222222(3)(2)(1)x x x x -+--+-，其几何模型是定曲线
2
y x
=上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的距离之差，要求其最
大值。

2
2
||||||(30)(21)10
y AP PB AB =-≤=
-+-=
∴max 10y =
评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

思想方法五：函数与方程思想
例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段
12
P P 中点的轨迹方程。

解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x m x m +++= ∵直线与双曲线相交于12,P P ∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+> ∴6m >或6m <-
设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12P P 中点为(,)x y 则12
22
3x x x m
+=
=-
且4x <-或4x > ∴32
m x =-
代入直线方程得：
所求轨迹方程为12y x
= （4x >或4x <-）
思想方法六：构造思想 例6 已知,x y 满足
2
2
116
25
x
y
+
=，求3y x -的取值范围。

解：令3y x -=b ，则3y x b =+ 原问题转化为：在椭圆
2
2
116
25
x
y
+
=相切时，有最大截距与最小截距
由22311625
y x b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ 消去y
得2216996164000x bx x ++-=
由0∆= 得13b =±
∴3y x =的取值范围为[－13，13]
评注：应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。

思想方法七：对称思想
例7 在直线L ：
90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆2
2
112
3
x
y
+
=的焦点
为焦点作椭圆。

问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。

解：∵
2
2
112
3
x
y
+
=的两焦点12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于
L 的对称点
又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时
12F F '的方程为230x y +-=
23090
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||65a F F '==
∴椭圆方程为
2
2
145
36
x
y
+
=
评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。

思想方法八：参数思想
例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标。

解：将已知方程转化为
2
2
(2)
14
1
x y
-+
=
设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+
∴22z x y =-=22224
1(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55
θθθθθ+-=++=+-
∴当4cos 5
θ=-
，即点P 坐标为23(,)55
或23(,)5
5
-时，m in 1
5
z =-
当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =
评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。

总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理，在平时练习或考试中加以应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上。