《高等数学》第四册数学物理方法

第一章 复数与复变函数(1)

1、计算

)(1)2;

i i i i i --=--=-()122(12)(34)(2)510212

2.

;345(34)(34)591655

i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551

(3).;

(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------

4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-

112

2

())]

a bi =+=

112

22

4

sin )]()(cos

sin );22i a b i θ

θ

θθ=+=++

3

、设

1z

=

2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解:

121cos

sin

;(cos sin );4

4266z i z i π

π

ππ=+=+

121155[cos()sin()](cos sin );

2464621212z z i i ππππππ

=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+

11、设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1

231;z z z ===试证明123,,z z z 就是一个内接于单位圆

z =1的正三角形的顶点。

证明:1230;z z ++=z 123231;312;;

z z z z z z z z z ∴=--=--=--

122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心,1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 就是内接于单位圆的正三角形。

、

17、证明:三角形内角与等于π

。

证明:有复数的性质得:

321321

311223arg

;arg ;arg ;z z z z z z z z z z z z αβγ---===---

13

3221311223

1;z z z z z z z z z z z z ---••=----

arg(1)2;k αβγπ∴++=-+

(0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈

(0,3);αββπ∴++∈

0;k ∴=;αβγπ∴++=

第一章 复数与复变函数(2)

7、试解方程

()4400z a a +=>。

解:由题意44

z a =-,所以有()4

10z a a ⎛⎫

=-> ⎪⎝⎭;

4

cos sin i z i e

a π

ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭;所以24(0,1,2,3)k i z e k a θπ

+==;

4

1i

z ae π

=;34

2i

z ae

π

=;

54

3i

z ae

π=;

74

4i

z ae

π=、

12.下列关系表示的z 点的轨迹的图形就是什么？它就是不就是区域？

1212(1).()z z

z z z z -

=-≠

解:此图形表示一条直线,它不就是区域。

(2).4;z z ≤-

解≤816;2;x x ≤≤此图形为≤x

2的区域。

1

(3).

1;1z z -<+

解:

222211(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。 (4).0arg(1)2Re()3;

4

z z π

<-<

≤≤且

解:此图形表示[2,3]区间辐角在

[0,]

4π

的部分。 (5).1Im 0;z z ≥>且

解:

1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界,它就是区域。

12(6).Im ;y z y <≤

解:它表示虚部大于1y 小于等于2y 的一个带形区域。

(7).231;z z >->且

解:此图形表示两圆的外部。

131(8).;2222i i z z -

>->且

解:

211()22y +->2x ,2231()22x y +->

,它表示两相切圆半径为12的外部区域。 (9).Im 12;z z ><且

解:此图形表示半径为2的圆的内部,且Im 1z >的部分,它就是区域。

(10).20arg ;

4z z π

<<<

且)

解:此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在

4π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦0,的部分,它就是区域。

第二章 解析函数(1)

4、若函数

()f z 在区域D 上解析,并满足下列的条件,证明()f z 必为常数、

()()0f z z D '=∈

证明:因为()f z 在区域上解析,所以,u v u v x y y

x ∂∂∂∂==-

∂∂∂∂。