人工智能初步(第一讲)命题逻辑及谓词逻辑

谓词逻辑真值表
PQ P TT F TF F FT T FF T
P∨Q T T T F
P∧Q P Q P Q
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
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2.量词
为刻画谓词与个体间的关系，在谓词逻辑中引入了两个量词，一 个是全称量词（ x），它表示“对个体域中的所有（或任一个） 个体x”；另一个是存在量词（ x），它表示“在个体域中存在个 体x”。 例如谓词P（x）表示x是正数，F（x，y）表示x与y是朋友，则：
命题逻辑与谓词逻辑是最先应
用于人工智能的两种逻辑，对于 知识的形式化表示，特别是定理 的证明发挥了重要作用。谓词逻 辑是在命题逻辑基础上发展起来 的，命题逻辑可看作是谓词逻辑 的一种特殊形式。下面我们来讨 论谓词逻辑的主要概念及有关定 理。
一、命题
定义1、命题是具有真假意义的语句。 命题代表人们进行思维时的一种判断，若命 题的意义为真，称它的真值为真，记作T；若 命题的意义为假，称它的真值为假，记作F。 一个命题不能同时既为真又为假，但可以在 一定条件下为真，在另一种条件下为假。没 有真假意义的语句（如感叹句、疑问句等） 不是命题。 例如：“北京是中华人民共和国首都”； “10>6”； 都是真值为T的命题； “太阳从西边升起”； “煤炭是白色的”； 都是真值为F的命题。
“1+1＝10”在二进制情况下是真值为T 的命题，但在十进制情况下却是真值为 F的命题。
我们通常用大写的英文字母表示一个 命题，例如可以用英文字母P表示“武 汉是个城市”这个命题。
思考：命题这种表示方法有其局限么？
这种表示方发有较大的局限性，它无法把 它所描述的客观事物的结构及逻辑特征反映 出来，也不能把不同事物间的共同特征表述 出来。
( x)P(x)表示某个个体域中的所有个体x都是正数。 ( x)( y)F（x,y） 表示对于个体域中的任何个体x，都存在个体 y，x与y是朋友。 ( x)( y)F（x,y）表示在个体域中存在个体x，他与个体中的 任何个体y都是朋友。 ( x) ( y) F（x,y）表示在个体域中存在个体x与个体y，x与y是 朋友。 ( x)( y)F（x,y）表示对于个体域中的任何两个个体x和y，x 与y都是朋友。
在谓词逻辑中，命题是用谓词来表示 的，一个谓词可分为谓词名与个体这两 个部分。个体表示某个独立存在的事物 或者某个抽象的概念；谓词名用于刻画 个体的性质、状态或个体间的关系。 例如，对于“张三是学生”这个命题， 用谓词可表示为student（zhang）。期中， student是谓词名，zhang是个体，student 刻画了zhang的职业是学生这一特征。
例如，对于“小张是老张的儿子”这一命 题，若用英文字母表示，如用字母P表示，则 无论如何也看不除老张与小张是父子关系。
又如“张三是学生”，“李四也是学生” 这两个命题，用命题逻辑表示时，也无法把 两者的共同特征（都是学生）形式的表示出 来。由于这些原因，在命题逻辑的基础上发 展起来了谓词逻辑。
二、谓词
( x)A 和( x) A也都是合式公式。 在合式公式中，连接词的优先级别是： , ∨, ∧ ,→,
另外，位于量词后面的单个谓词或者用括 号括起来的合式公式成为量词的辖域，辖域内与 量词中同名的变元成为约束变元，不受约束的变 元称为自由变元。例如
人工智能数学基础（一） ——命题逻辑与谓词逻辑
人类智能在计算机上的模拟就是人工智能， 而智能的核心是思维，因而如何把人们的思维活 动形式化、符号化，使其得以在计算机上实现， 就成为人工智能研究的重要课题。在这方面，逻 辑的有关理论、方法、技术起着十分重要的作用。
人工智能中用到的逻辑可以概括地分为两 大类： ➢ 一类是经典逻辑和一阶谓词逻辑，其特点 是任何一个命题的真值或者为“真”，或者为 “假”，二者必居其一。 ➢ 另一类是泛指除经典逻辑外地那些逻辑， 主要包括三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、模态 逻辑及时态逻辑等。
谓词的一般表示形式是： P（x1,x2,x3,……,xn）
其中，P是谓词名，x1,x2,x3,……,xn 是个体。
谓词名通常用大写英文字母表示，个体通常
用小写英文字母表示。 在谓词中，个体可以是常量，也可以是变
元，还可以是一个函数。例如，对于x>10， 可以表示为more（x，10），期中x是变元。 又如“小张的父亲是老师”，可以表示为 teacher（father（zhang）），期中，father （zhang）是一个函数。
3.谓词公式
定义2、可以按下述规则得到谓词演算的合式公式： （1），单个谓词是合式公式，成为原子谓词公式； （2），若A是合式公式，则 A也是合式公式； （3），若A，B都是合式公式，则A ∨B , A ∧ B , A →B ,
A B 也都是合式公式； （4），若A是合式公式，x是任一个体变元，则
体域。个体域可以是有限的，也可 以是无限的。例如用I（x）表示“x 是整数”，则个体域是所有整数。
命题与函数不同，谓词的 真值是“真”或“假”，而函 数的值是个体域中的某个个体， 函数无真值可言，它只是在个 体域中从一个个体到另一个个 体的映射。
三、谓词公式
1.连接词
可以用以下连接词，把一些简单命题连接起来构成 一个复合命题，以表示一个比较复杂的含义。 ：称为“非”或“否定”：其作用是否定位于它后面 的命题。当命题P为真是，为假；当P为假时, 为真。 ∨ ：称为“析取”：表示被它连接的两个命题具有 “或”关系。 ∧：称为“合取”：表示被它连接的两个命题具有 “与”关系。 →：称为“条件”或“蕴含”。“P →Q”表示“P蕴 含Q”，即“如果P，则Q”，其中P称为条件的前件，Q 称为条件的后件。 ：“双条件”：表示“P当且仅当Q”。
当谓词中的变元都用特定的个体取
代时，谓词就具有一个确定的真值： T或F。
谓词中包含的个体数目称为谓词的元 数。
在谓词P（x1,x2,x3,……,xn）中， 若xi （i＝1，……，n）都是个体常量、 变元或函数，称它为一阶谓词。如果某 个xi 本身又是一个一阶谓词，则称它为 二阶谓词，如此类推。
个体变元的取值范围称为个