2020年四川省广安市中考数学试卷

2020年~2021年最新 四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•广安）2019-的绝对值是( )
A ．2019-
B ．2019
C ．12019-
D ．12019
2．（3分）（2019•广安）下列运算正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．2363412a a a =
C ．5335-=
D ．236⨯=
3．（3分）（2019•广安）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是( )
A ．110.2510⨯
B ．112.510⨯
C ．102.510⨯
D ．102510⨯
4．（3分）（2019•广安）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）（2019•广安）下列说法正确的是( )
A ．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件
B ．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C ．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D ．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
6．（3分）（2019•广安）一次函数23y x =-的图象经过的象限是( )
A ．一、二、三
B ．二、三、四
C ．一、三、四
D ．一、二、四
7．（3分）（2019•广安）若m n >，下列不等式不一定成立的是( )
A ．33m n +>+
B ．33m n -<-
C ．33m n >
D ．22m n >
8．（3分）（2019•广安）下列命题是假命题的是( )
A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到
B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D ．垂直于弦的直径平分这条弦
9．（3分）（2019•广安）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4BC =，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．433π-
B ．2332π-
C ．1332π-
D ．133
π- 10．（3分）（2019•广安）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线1x =，下列结论：
①0abc <②b c <③30a c +=④当0y >时，13x -<<
其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共
18分）
11．（3分）（2019•广安）点(1,3)M x --在第四象限，则x 的取值范围是 ．
12．（3分）（2019•广安）因式分解：4433a b -= ．
13．（3分）（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 cm ．
14．（3分）（2019•广安）如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠= 度．
15．（3分）（2019•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米)与水平距离x （米)之间的关系为21251233
y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米． 16．（3分）（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，
再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）（2019•广安）计算：40(1)|136tan 30(327)---+︒--．
18．（6分）（2019•广安）解分式方程：241244
x x x x -=--+． 19．（6分）（2019•广安）如图，点E 是ABCD 的CD 边的中点，AE 、BC 的延长线交于点F ，3CF =，2CE =，求ABCD 的周长．
20．（6分）（2019•广安）如图，已知(,2)
=+和反比例函数
A n-，(1,4)
B-是一次函数y kx b
m
y
=的图象的两个交点．
x
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求AOB
∆的面积．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）21．（6分）（2019•广安）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了名学生，两幅统计图中的m=，n=．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
22．（8分）（2019•广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（8分）（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．
（1）求古树BH 的高；
（2）求教学楼CG 的高．（参考数据：2 1.4=，3 1.7)=
24．（8分）（2019•广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33⨯正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33⨯的正方形方格画一种，例图除外）
五、推理论证题（9分）
25．（9分）（2019•广安）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，
连接EF ．
（1）求证：BC 是O 的切线；
（2）求O 的半径r 及3∠的正切值．
六、拓展探索题（10分）
26．（10分）（2019•广安）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线:l y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)A -，(5,6)D -，P 点为抛物线2y x bx c =-++上一动点（不与A 、D 重合）．
（1）求抛物线和直线l 的解析式；
（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作//PE x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；
（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2019-的绝对值是( )
A ．2019-
B ．2019
C ．12019-
D ．12019
【考点】15：绝对值
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：2019-的绝对值是：2019．
故选：B ．
2．（3分）下列运算正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．2363412a a a =
C ．5=
D =【考点】79：二次根式的混合运算；35：合并同类项；49：单项式乘单项式
【分析】根据合并同类项和二次根式混合运算的法则就是即可．
【解答】解：A 、23a a +不是同类项不能合并；故A 错误；
B 、2353412a a a =故B 错误；
C 、=C 错误；
D D 正确；
故选：D ．
3．（3分）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是( )
A ．110.2510⨯
B ．112.510⨯
C ．102.510⨯
D ．102510⨯
【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．
【解答】解：数字2500 0000 0000用科学记数法表示，正确的是112.510⨯．
故选：B ．
4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】2U ：简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该组合体的俯视图为
故选：A ．
5．（3分）下列说法正确的是( )
A ．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件
B ．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
C ．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3
D ．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5
【考点】4W ：中位数；1W ：算术平均数；2V ：全面调查与抽样调查；1X ：随机事件；5W ：众数；7W ：方差
【分析】根据必然事件、抽样调查、众数、中位数以及方差的概念进行判断即可．
【解答】解：A ．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件，故本选项正确； B ．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误；
C ．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故本选项错误；
D ．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是2，故本选项错误；
故选：A ．
6．（3分）一次函数23y x =-的图象经过的象限是( )
A ．一、二、三
B ．二、三、四
C ．一、三、四
D ．一、二、四
【考点】5F ：一次函数的性质
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
【解答】解：一次函数23y x =-，
∴该函数经过第一、三、四象限，
故选：C ．
7．（3分）若m n >，下列不等式不一定成立的是( )
A ．33m n +>+
B ．33m n -<-
C ．33m n >
D ．22m n >
【考点】2C ：不等式的性质
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A 、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A 错误；
B 、不等式的两边都乘以3-，不等号的方向改变，故B 错误；
C 、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C 错误；
D 、如2m =，3n =-，m n >，22m n <；故D 正确；
故选：D ．
8．（3分）下列命题是假命题的是( )
A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到
B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D ．垂直于弦的直径平分这条弦
【考点】1O ：命题与定理
【分析】利用一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A 、函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；
B 、抛物线234y x x =--中△24250b ac =-=>，与x 轴有两个交点，正确，是真命题；
C 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
D 、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，
故选：C ．
9．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4BC =，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．433π
B ．233π
C ．133π-
D ．133
π【考点】MO ：扇形面积的计算；5M ：圆周角定理；KO ：含30度角的直角三角形
【分析】根据三角形的内角和得到60B ∠=︒，根据圆周角定理得到120COD ∠=︒，90CDB ∠=︒，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
60B ∴∠=︒，
120COD ∴∠=︒，
4BC =，BC 为半圆O 的直径，
90CDB ∴∠=︒，
2OC OD ∴==，
323CD ∴==， 图中阴影部分的面积21202123602COD
COD S S π∆⋅⨯=-=-⨯扇形43133
π= 故选：A ． 10．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线1x =，下列结论：
①0abc <②b c <③30a c +=④当0y >时，13x -<< 其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；5H ：二次函数图象上点的坐标特征；4H ：二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①对称轴位于x 轴的右侧，则a ，b 异号，即0ab <． 抛物线与y 轴交于正半轴，则0c >． 0abc ∴<．
故①正确；
②抛物线开口向下， 0a ∴<．
抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-=， 2b a ∴=-． 1x =-时，0y =，
0a b c ∴-+=，
而2b a =-， 3c a ∴=-，
230b c a a a ∴-=-+=<，
即b c <， 故②正确；
③1x =-时，0y =，
0a b c ∴-+=，
而2b a =-， 3c a ∴=-， 30a c ∴+=．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是(3,0)．
∴当0y >时，13x -<<
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个． 故选：D ．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点(1,3)M x --在第四象限，则x 的取值范围是 1x > ． 【考点】1D ：点的坐标；6C ：解一元一次不等式
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可． 【解答】解：点(1,3)M x --在第四象限， 10x ∴->
解得1x >，
即x 的取值范围是1x >． 故答案为1x >．
12．（3分）因式分解：4433a b -= 223()()()a b a b a b ++- ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：442222333()()a b a b a b -=+-
223()()()a b a b a b =++-．
故答案为：223()()()a b a b a b ++-．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 32 cm ． 【考点】6K ：三角形三边关系；KH ：等腰三角形的性质
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm 和13cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为6cm 时，三角形三边长为6，6，13，6613+<，不能构成三角形； （2）当腰长为13cm 时，三角形三边长为6，13，13，周长213632cm =⨯+=． 故答案为32．
14．（3分）如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠= 72 度．
【考点】3L ：多边形内角与外角
【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：五边形ABCDE 是正五边形， (52)1801085
EAB ABC -⨯︒
∴∠=∠=
=︒，
BA BC =，
36BAC BCA ∴∠=∠=︒，
同理36ABE ∠=︒，
363672AFE ABF BAF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故答案为：72
15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米)与水平距离x （米)之间的关系为2125
1233
y x x =-
++，由此可知
该生此次实心球训练的成绩为 10 米． 【考点】HE ：二次函数的应用
【分析】根据铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值即可． 【解答】解：当0y =时，2125
01233
y x x =-++=， 解得，2x =（舍去），10x =． 故答案为：10．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为 2017(2-，201723) ．
【考点】2D ：规律型：点的坐标
【分析】通过解直角三角形，依次求1A ，2A ，3A ，4A ，⋯各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
【解答】解：由题意得， 1A 的坐标为(1,0)， 2A 的坐标为3)， 3A 的坐标为(2-，23)， 4A 的坐标为(8,0)-， 5A 的坐标为(8,83)--， 6A 的坐标为(16,3)-， 7A 的坐标为(64,0)，
⋯
由上可知，A 点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为12n -，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n -， 与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为12n --，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n --
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -- 201963363÷=⋯，
∴点2019A 的方位与点23A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2201722n --=-，纵坐标为
2
故答案为：2017(2-，2．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：40(1)|16tan 30(3--+︒-．
【考点】5T ：特殊角的三角函数值；2C ：实数的运算；6E ：零指数幂
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式11)61=-+
111=+
1=
18．（6分）解分式方程：
2
4
1244
x x x x -=--+． 【考点】3B ：解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：
2
4
1244
x x x x -=--+，
方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=， 解得：4x =，
检验：当4x =时，2(2)0x -≠． 所以原方程的解为4x =．
19．（6分）如图，点E 是ABCD 的CD 边的中点，AE 、BC 的延长线交于点F ，3CF =，2CE =，求ABCD 的周长．
【考点】5L ：平行四边形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质
【分析】先证明ADE FCE ∆≅∆，得到3AD CF ==，2DE CE ==，从而可求平行四边形的面积．
【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，
DAE F ∴∠=∠，D ECF ∠=∠．
又ED EC =，
()ADE FCE AAS ∴∆≅∆． 3AD CF ∴==，2DE CE ==． 4DC ∴=．
∴平行四边形ABCD 的周长为2()14AD DC +=．
20．（6分）如图，已知(,2)A n -，(1,4)B -是一次函数y kx b =+和反比例函数m
y x
=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．
【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据(,2)A n -，(1,4)B -是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象的两个交点，可以求得m 的值，进而求得n 的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点C 的坐标，从而根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+可以求得AOB ∆的面积．
【解答】解：（1）(,2)A n -，(1,4)B -是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象的两个交点， 41
m
∴=
-，得4m =-， 4
y x
∴=-，
4
2n
∴-=-，得2n =，
∴点(2,2)A -，
∴224k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩
，
∴一函数解析式为22y x =-+，
即反比例函数解析式为4
y x
=-，一函数解析式为22y x =-+；
（2）设直线与y 轴的交点为C ，当0x =时，2022y =-⨯+=，
∴点C 的坐标是(0,2)，
点(2,2)A -，点(1,4)B -，
11
2221322
AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分） 21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计
划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 200 名学生，两幅统计图中的m = ，n = ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A ”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【考点】VC ：条形统计图；5V ：用样本估计总体；6X ：列表法与树状图法；VB ：扇形统计图
【分析】（1）用喜欢阅读“A ”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B ”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m 的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n 的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A ”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）6834%200÷=， 所以本次调查共抽取了200名学生， 20042%84m =⨯=， 30
%100%15%200
n =
⨯=，即15n =； （2）360034%1124⨯=，
所以估计该校喜欢阅读“A ”类图书的学生约有1124人； （3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率4263
=
=． 22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元． （1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【考点】FH ：一次函数的应用；9C ：一元一次不等式的应用；9A ：二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元， 3550
2331x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，解得，57x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯(200)a -只，费用为w 元， 57(200)21400w a a a =+-=-+， 3(200)a a -，
150a ∴，
∴当150a =时，w 取得最小值，此时1100w =，20050a -=，
答：当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱．
23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线
FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、
C 三点在同一水平线上．
（1）求古树BH 的高；
（2）求教学楼CG 的高． 1.4= 1.7)=
【考点】TA ：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】（1）由45HFE ∠=︒知10HE EF ==，据此得 1.51011.5BH BE HE =+=+=； （2）设DE x =米，则3DG x 米，由45GFD ∠=︒知GD DF EF DE ==+，据此得310x x =+，解之求得x 的值，代入3 1.5CG DG DC x =+=+计算可得．
【解答】解：（1）在Rt EFH ∆中，90HEF ∠=︒，45HFE ∠=︒， 10HE EF ∴==，
1.51011.5BH BE HE ∴=+=+=，
∴古树的高为11.5米；
（2）在Rt EDG ∆中，60GED ∠=︒， tan 603DG DE DE ∴=︒=，
设DE x =米，则3DG x =米，
在Rt GFD ∆中，90GDF ∠=︒，45GFD ∠=︒， GD DF EF DE ∴==+，
∴310x x =+，
解得：535x =，
3 1.53(535) 1.516.55325CG DG DC x ∴=+=+=+=+≈，
答：教学楼CG 的高约为25米．
24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的33⨯正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个33⨯的正方形方格画一种，例图除外）
【考点】8P ：利用轴对称设计图案；9R ：利用旋转设计图案
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【解答】解：如图所示
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ．
（1）求证：BC 是O 的切线；
（2）求O 的半径r 及3∠的正切值．
【考点】KQ ：勾股定理；7T ：解直角三角形；ME ：切线的判定与性质
【分析】（1）由垂直的定义得到90EDA ∠=︒，连接OD ，则OA OD =，得到1ODA ∠=∠，根据角平分线的定义得到21ODA ∠=∠=∠，根据平行线的性质得到90BDO ACB ∠=∠=︒，于是得到BC 是O 的切线； （2）由勾股定理得到22228610AB BC AB ++=，推出BDO BCA ∆∆∽，根据相似三
角形的性质得到154r =，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：ED AD ⊥，
90EDA ∴∠=︒，
AE 是O 的直径，
AE ∴的中点是圆心O ，
连接OD ，则OA OD =，
1ODA ∴∠=∠，
AD 平分BAC ∠，
21ODA ∴∠=∠=∠，
//OD AC ∴，
90BDO ACB ∴∠=∠=︒，
BC ∴是O 的切线；
（2）解：在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，22228610AB BC AB =+=+=， //OD AC ，
BDO BCA ∴∆∆∽，
∴OD OB AC AB =，即10610
r r -=， 154r ∴=
， 在Rt BDO ∆中，2222(10)5BD OB OD r r =-=--=，
853CD BC BD ∴=-=-=，
在Rt ACD ∆中，31tan 262
CD AC ∠=
==， 32∠=∠，
1tan 3tan 22∴∠=∠=．
六、拓展探索题（10分）
26．（10分）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线:l y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)A -，(5,6)D -，P 点为抛物线2y x bx c =-++上一动点（不与A 、D 重合）．
（1）求抛物线和直线l 的解析式；
（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作//PE x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；
（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF ：二次函数综合题
【分析】（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）2222(341)2(2)18PE PF PF x x x x +==-++++=--+，即可求解；
（3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩
， 故直线l 的表达式为：1y x =--，
将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：234y x x =-++；
（2）直线l 的表达式为：1y x =--，则直线l 与x 轴的夹角为45︒，
即：则PE PE =，
设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)F x x --， 2222(341)2(2)18PE PF PF x x x x +==-++++=--+， 20-<，故PE PF +有最大值，
当2x =时，其最大值为18；
（3）5NC =，
①当NC 是平行四边形的一条边时，
设点P 坐标为2(,34)x x x -++、则点(,1)M x x --， 由题意得：||5M P y y -=，即：2|341|5x x x -++++=，
解得：214x =±0或4（舍去0)， 则点P 坐标为(214，314)-或(214-314)-+或(4,5)-； ②当NC 是平行四边形的对角线时，
则NC 的中点坐标为1(2
-，2)， 设点P 坐标为2(,34)m m m -++、则点(,1)M n n --， N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，
即：122
m n +-=，234122m m n -++--=， 解得：0m =或4-（舍去0)，
故点(4,3)P -； 故点P 的坐标为：(214+314)--或(214，314)-+或(4,5)-或(4,3)-．。