磁场中的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。
【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
高中物理电磁学专题1：带电粒子在电磁场中的运动问题
的比荷 (q/m) 决定.
电偏转和磁偏转的比较
电偏转和磁偏转的比较
电偏转和磁偏转的比较
（一）带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1. 有界匀强磁场问题是指只在局部存在匀强磁场，带电粒 子从磁场区域外垂直磁场方法进入磁场，在磁场区域内 经历一段匀速圆周运动后离开磁场区域的一类问题.
2. 由于磁场区域边界不同、带电粒子垂直进入磁场的方向 不同，造成粒子在磁场中运动的情形各不相同.
8．带电粒子在磁场中运动的多解问题 (4) 题目所给条件不足形成多解
若题目只给出了带电粒子在有界磁场的进入点、飞出点以 及轨迹，如图所示，即可形成多解．
8．带电粒子在磁场中运动的多解问题 (5) 带电粒子在运动的周期性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动 往往具有往复性，从而形成多解．
圆心的确定
(2) 已知入射方向和出射点的位置 通过入射点作入射方向的垂线，连接 入射点和出射点，作中垂线，这两条 垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图 乙所示，P为入射点，M为出射点)．
依据：弦的垂直平分线过圆心
4. 求解带电粒子做圆周运动的半径和圆心角，主要是灵活 应用几何知识(勾股定理、三角函数等).
功
也可能不做功
理论基础
大小 力F=0的情况
洛伦兹力 B不一定为零
电场力
F＝qE
E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的 既可以改变电荷运动
速度方向，不改变 的速度大小，也可以
速度大小
改变电荷运动的方向
U
若不计重力，则带电粒子只受电场力作用，
+
q
_ 应用动能定理：
v1 m v2 d
1 2
mv22
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在复合场、组合场中的运动(解析版)2024年高考物理压轴题专项训练(新高考通用)
压轴题08带电粒子在复合场、组合场中的运动1.本专题是电磁场的典型题型之一，包括应用电场力洛伦兹力的知识解决实际问题。
高考中经常在选择题中命题，更是在在计算题中频繁出现。
2024年高考对于复合场、组合场的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:电场的知识,磁场的知识等。
近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考查类型带电粒子在复合场中的运动，组合场中的运动等。
考向一：带电体在磁场中的运动1.带电体在匀强磁场中速度变化时洛伦兹力往往随之变化，并进一步导致弹力、摩擦力等的变化，带电体将在变力作用下做变加速运动。
2.利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化时要注意弹力为零的临界状态，此状态是弹力方向发生改变的转折点。
考向二：带电粒子在叠加场中的运动1.三种场的比较力的特点功和能的特点重力场大小：G ＝mg 方向：竖直向下重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能电场大小：F ＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与电强方向相反电场力做功与路径无关；W ＝qU ；电场力做功改变电势能磁场大小：f ＝qvB (v ⊥B )方向：可用左手定则判断洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能2.分析的基本思路(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解。
②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
考向三：带电粒子在组合场中的运动带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。
物理多解问题分析策略
23 物理多解问题分析策略难点多解问题是高考卷面常见的题型之一，部分考生往往对试题中题设条件的可能性、物.理过程的多样性及物体运动的周期性等因素分析不全，认识不透，往往出现漏解的失误.多解问题的求解是高考的难点之一 ●难点磁场dbca 为接线柱，、、9)图23-1为一电路板的示意图，、1.（★★★）(2000年全国卷，cdbcabad 接间、分别连的交流电源连接，与220 V 间、间、流一个电阻.现发现电路中没有电流，为检查电路故障，用一交cbda 220 两点间的电压两点间以及均、电压表分别测得、为 V.由此可知cdab 间电路通，A.间电路不通bcab B.间电路通间电路不通，bcab C.间电路不通间电路通，23-1 图cdbc D.间电路通间电路不通，组成星球的物质是靠吸引力吸引在一起的，这样的星球年上海)2.（★★★★）(2001如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的有一个最大的自转速率.MR 且均匀分布的星球的最小自转ρ、物体做圆周运动.由此能得到半径为质量为、密度为T 周期下列表达式中正确的是.3Ｔ ＝２A.πGMR/3Ｔ ＝２πB.GM3R/??Ｔ ＝C.G/??Ｔ D.＝G3/ ●案例探究bbaxstx ，是的两质点，轴上相距、=0＝６［例1］一列正弦横波在m 轴上传播，ab a 25 Hz.点恰好经过平衡位置向上运动，已知这列波的频率为点正好振动到最高点而xab .(1)设在、轴上的距离小于一个波长，试求出该波的波速xab 时，(2)设轴上的距离大于一个波长，试求出该波的波速，若波速为、在40 m/s.求波的传播方向. .B 级要求命题意图：考查理解能力、推理及分析综合能力，尤其空间想象能力错解分析：思维发散能力差，无法依据波的空间周期性与时间周期性，结合波动方向.与质点振动方向间的关系，寻找所有可能解，而出现漏解情况 解题方法与技巧：3saab .=(1)若波向右传播，λ和所示的两质点应于如图23-2＝和ｂ的两位置ab １１１ 4fv 200 m/s＝ m.λ＝８ m 向右传播的波速＝λ６１１１23-2 图1a ｂabs ＝λ和＝6 m ，两质点应分别位于图中和两位置.λ若波向左传播，ab ２２２１ 4vF 600 m/s.λ，向左传播的波速＝24 m ＝＝２２．aaabx 的位，轴上的距离大于一个波长，若波向右传播，因在质点若位于图中(2)13nbsnbb λ=1,2,3＋，…）置，则λ质点可位于=6 ，m(，…等位置，此时，，＝λab 右２１右 460024nvf ＝=1,2,3λ…= m/s.( m ，向右传播的波速) ＝右右右34n ?4n ?3babba ，…等位置，质点可位于质点若位于图中的的位置，则若波向左传播，，２２１600124fnvs m .向左传播的波速=＝＝λ＋λλ＝６ m λ＝此时，ab 左左左左左 1n ?n ?1444n )=1,2,3m/s(，…14600n，无整数解，故不可=40 m/s时，该波向左传播，应有：=40，当波速为414n?600n时，波设波向右传播，有：＝４０，40 m/s ＝３，故可以判定当波速为能向左.3?4n.传播的方向是由左向右（★★★★★）在光滑水平面的一直线上，排列着一系列可视为质点的物体，］［例2mnmmmnmmm物=3+1)，，12，…,标记，0物体质量为…,其余物体质量为.=2=(分别用0n12sss所示，…如图1、2之间距离为23-3之间的距离为体0与1，２、３间距离为，２１０物体向右运动，从而发生了一系列碰撞，设每次碰后物体都粘在一起现用一水平恒力推0ss＝１，２，３…，应满足已知的情况下，运动，要使每次碰前物体的速度都相同，在０?什么条件23-3 图推理能力及运用数学知识解命题意图：考查综合分析、.级要求决物理问题的能力.B n次碰错解分析：考生面对系列碰撞的复杂过程，不能恰当选取某一代表性过程（第n次碰撞后的滑行过程）作为研究对象，据动量守恒定律及动能定理列方程，撞过程，第.从而归纳出物理量的通式，加以分析，最后求解vF，碰前物体速度为解题方法与技巧：设水平力为，由动能定理：Fs210２vFsmv＝＝０m2n第次碰前物体总质量为)1n(n?mmmn,==(1+2+… )总2v设碰后速度为′，由动量守恒定律得：n?1)n?1)(nn(vmnmmv＋１）＋（′］＝［22n vv′＝2?n sn +1)个物体为研究对象，在移动的过程中，由动能定理得：取前(n1２２vmnFsnv －）·＝（＋１）（＋２）′（n22)n?12(nss得＝（·＝０，１，２…）n０2)n(?2●锦囊妙计．一、高考走势某一物理问题通过不同的思路、方法求得符合题设条件的同一结论；或某一物理问题预计今后通过同一思路、方法求得符合题设条件的多个不同答案，统称物理问题的多解..高考试卷仍将有该类命题呈现二、审题指要物理多解问题，主要考查考生审题解题的思维的发散能力，具体表现为对题设条件、情景、设问、结论及研究对象特性、物理过程、物体运动形式等各自隐含的可能性进行推.测判断的能力.多解问题的求解关键在于审题的细致深入及多解存在的预测审题过程中应注意以下几点：.1.仔细推敲题设条件，判断多解的可能性俗称讨论)，需要讨论可能性的题目(一般来说，对于题设条件不明确(模糊因素较多要求考生对题目条件全面细致地推敲，列举分析条一般为不定解).，往往会出现多解题)(如：弹性碰撞问题中物体质量交件的多种可能，选取相关的规律，求解各种不同的答案.待不明、追及问题中力和运动方向交待不明、波的传播问题中传播方向交待不清、透镜成像问题中透镜性质、成像虚实不明、带电粒子在场中运动问题电荷性质不明等都可形成题.目的多解，应引起重视. 运动形式及物理过程的特点，判断多解的可能性2.深入分析题目背景下的研究对象、如：电阻的串联或并联，有些问题中的研究对象具有自身特性，也可使问题出现多解..电池的串联或并联，弹簧的伸与缩，带电的正与负等，都可使问题出现多解如：圆周运有些物理问题中，研究对象的运动具有周期性特点，可造成问题的多解.动问题，弹簧振子的振动问题，波的传播问题，单摆的摆动问题等都需全面分析出现多解.的可能性，以免漏解..有些题目的设问本身就隐含着多解的可能3.巧妙透析设问隐语，判断多解的可能性“满足……的条件”等隐语，则该题“求……的范围”例题设问中常含有“至多”“至少”要求考生务必深入分析物理过程，推理寻找临界条件或临界状态，.目有产生多解的可能).一般为范围解选取相应规律求得该类题目的多解( ●歼灭难点训练ULC的电压回路中电容两端（1.（★★★）1996年全国高考）t变化的关系如图23-4随时刻所示，则t在时刻电路中的电流最大A.1t电路中的磁场能最大B.在时刻223-4图tt电路中的电场能不断增大C.从时刻至32tt D.从时刻电容的带电量不断增大至43后速度的大4 m/s,1 s（★★★）一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为2. ｓ内该物体的小变为10 m/s.在这14 m 位移的大小可能小于A.10 m 位移的大小可能大于B.２ C.加速度的大小可能小于4 m/s２加速度的大小可能大于10 m/sD.M质人（★★★★）如图23-5所示，小车的质量为的，3.Fm滑不计绳和量为，人用恒力若人和车保持相对静止拉绳，. 轮质量、车与地面的摩擦，则车对人的摩擦力可能是A.023-5 图Mm?F )B.(，方向向右M?mM?m F C.() ，方向向左Mm?mM?F，方向向右D.()Mm?xxxx两处质点的振动和4.（★★★）一列简谐波沿m轴方向传播，已知轴上=1 =021v=_______m/s. 、(b)所示，则此波的传播速度图线分别如图23-6中的(a)23-6 图★★★）甲、乙两车相5.（★s向运动，乙在前面做加，距同时同a的匀加速运、初速度为0速度为１a、初速面做加速度为动，甲在后2v加速运动，试讨论两车的匀度为0.在运动过程中相遇次数与加速度的关系Bmq 、方向垂直，电量为6.（★★★★）质量为的带正电的物体，在磁感应强度为所示，使物纸面向里的匀强磁场中，沿摩擦因数为μ的绝缘水平面向左运动，如图23-7.体在水平面上做匀速运动，求所加匀强电场的方向及大小:参考答案 析策略23 物理多解问题分难点 ［难点磁场］1.CD 2.AD ［歼灭难点训练］1.BC 2.AD 3.ACD23-7图x 轴正向传播时的波速4.波沿310nv …＝ m/s,=0,1,2１ n43?x 波沿轴负向传播时的波速310nv =0,1,2…＝ m/s,２ n1?411２２tsatvssta ｓｓ＋＝ ，相遇时有5.，-＝＝由于０乙甲乙甲１２ 22111２２２ｓttvavttt aa ｓa ＋则－，+ （－－＝０＝）０２0１１２ 2222s ?a)v ?v ?2(a 2001t 所以=①aa ?21taa .1）当只有一个正解，则相遇一次＜时，①式（２１11２２ｓvtasaasvttat .）当（2－＝时，-=＝+ ＝０２１甲１0乙２ 22s tt . .＝只有一个解，则相遇一次所以 v 0２svaaaa .＞3（）当时，若＜２（，①式无解，即不相遇－）２１０２１．２t ｓava .－，①式若）只有一个解，即相遇一次＝２（２０１２t ｓaav . －有两个正解，即相遇两次若）＞２（，①式２１０ 6.由于符合题设条件有多种可能性，我们可以从不同角度求解：E 时，依题意得：（1）若加一向上匀强电场qmgqvBqEmgqvBE =++\ 则)/=(E ′时（2）若加一场强方向向左的电场 由平衡条件：qmgqvBEqEmg ｑvB +（′＝μμ＋()/） 则′＝xE 角-1)与θ轴成（3）若所加电场(″方向向左上方如图23′ 时，由物体匀速运动的条件得：NqE －″ｃｏｓθμ＝０ vB ｑN ｑmg 图23′＝＋）（θ＋Ｅ″sin －qqvBEmg ″＝解得θsin+［+μ()/(cos θμ)］-1 ０．。
透析带电粒子在匀强电场中的多解问题及成因
浅谈带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因太和中学物理组 潘正海摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理电磁学的重点内容之一，它所涉及的内容较多，难度较大，特别是多解问题，尤其复杂，对学生来说是个难点，本文就阐述了带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因，并就例题分析提出了自己的一点感想，以便更好的掌握和解决该问题提供一个参考。
关键词：带电粒子，多解性，周期性，临界状态。
引言：在匀强磁场，带电粒子受到洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由于带电粒子电性的不确定、电荷量多少的不确定、磁场方向的不确定、临界状态的不唯一、以及运动的周期性都会导致多解、下面通过例题加以分析。
一、带电粒子电性不确定形成的多解众所周知，自然界中的带电粒子只有两种，一种带正电，另一种带负电，由于很多题目没有告诉带电粒子的电性，那么在解题时就要考虑带电粒子的正负不同情况，从而带来了问题的多解性。
【例1】如图1所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为q 的带电粒子在xoy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度为v 0与x 轴夹角为θ=60º，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？× × × × × × × × × × × × × × × ×yx图1图2θ1Oy xO 1AO 2BR Rθ2θ1 v 0解析 若带电粒子带负电，进入磁场后做顺时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 1，粒子向x 轴偏转，并从A 点离开磁场。
若带电粒子带正电，进入磁场后做逆时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 2，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开电场。
不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为qBmv R 0=。
带电粒子在磁场中的多解问题
应旳圆心角为 或 3
B
22
设圆弧旳半径为R，则有2R2=x2，可得：
R L 2n
v2 qvB m
R
v qBL 2m n
n=1、2、3、……（
n取奇数
⑶当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
1
n
2
n 3
2
2n
t1
2n
m qB
2 m
qB
n
其中n=1、3、5、……
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
mv0 a 2mv0 L＜b。试求磁场旳左边界距坐标原点 旳e可B能距离．（eB成果可用反三角函数表达）
解： 设电子在磁场中作圆周运动旳轨道半径为r, 则
解得
eBv0 r
m mv 0
v02 r
①
②
eB
y P v0
x
0
Q
⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，
由几何关系有 sin L eBL③
v0
c
（2）当v0最大时：
R1
R1
cos 60
L 2
得R1 = L
则
vmax
qBR1 m
qBL m
当v0最小时： R2 R2 sin 30
L 2
得R2 = L/3
则
vmin
qBR2 m
qBL 3m
a
600
O
qBL
qBL
b B
3m v0 m
300
d
v0
c
带电粒子从ab边射出磁场，当速度为 vmax 时，
运动时间最短,
150 5m
t min
T 360
第十一章 第3课时 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
第3课时专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动目标要求 1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。
2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
考点一带电粒子在有界匀强磁场中的运动1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)3．圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
4．多边形边界或角形区域磁场带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点：(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。
①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2R sin α，如图甲所示。
②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。
例1 (多选)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B ，氢的同位素氘离子(21H)和氚离子(31H)都从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是( )A ．运动轨迹的半径之比为2∶3B ．重新回到边界所用时间之比为3∶2C ．重新回到边界时的动量相同D ．重新回到边界时与O 点的距离不相等例2 真空区域有宽度为l 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN 、PQ 是磁场的边界。
质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)从MN 边界某处射入磁场，刚好没有从PQ 边界射出磁场，再从MN 边界射出磁场时与MN 夹角为θ＝30°，则( )A ．粒子进入磁场时速度方向与MN 边界的夹角为60°B ．粒子在磁场中运动的时间为4πm 3qBC ．粒子在磁场中运动的时间为5πm 6qBD ．粒子射入磁场时的速度大小为(4－23)lqB m例3 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q (q >0)的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。
带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题课件
例 7 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁 场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的 两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电 粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能 从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大 值可能是多少．
【答案】 (2＋ 2)Bmqd(q 为正电荷)或(2－ 2)Bmqd(q 为负电
(四)三角形边界磁场 例 4 如图，直角三角形 abc 内有方向垂直 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B， ∠a＝30°，ac＝2L，P 为 ac 的中点．在 P 点 有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的 同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m， 且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考 虑重力，下列判断正确的是( )
(一)单面边界磁场 例 1 (多选)如图所示，S 处有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂 直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中 点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧 区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 －4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不 计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该 电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒 子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【答案】
(1)(2－ 26)amqB
6－ 6 (2) 10
带电粒子在有界匀强磁场中的运动-高考物理复习
√A.3
B.2
C.32
D.23
电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意 画出两电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直边 界射入磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c点为圆心； 电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中 点c离开磁场， 根据半径 r＝mBqv可知，电子 1 和 2 的半径相等， 根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，
粒子运动轨迹与 y 轴交点的纵坐标为 y＝－2rcos 30° ＝－233d，故 D 错误.
考向4 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动
例4 (多选)(2023·河北石家庄市模拟)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O
＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D为AC的中点.△AOC中存在垂直于纸面向里的匀
√C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量 大小为5q2BL
√D.带电粒子在磁场中运动时间可能为3πqmB
若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从 Q点射出，粒子运动轨迹如图甲所示， 设轨迹半径为 r2，由几何知识得 L2＋(r2－0.5L)2 ＝r22，解得 r2＝54L，根据牛顿第二定律得 qv2B＝mvr222，解得 v2＝54qmBL， 根据动量定理得 I＝2mv2＝5q2BL，故 A 错误，C 正确； 若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示， 粒子做圆周运动的半径为 r1＝12L，由牛顿第二定律得 qv1B＝mvr112，解得 v1＝q2BmL，此时半径最小，速度也最小，故 B 错误；
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示. (2)不沿径向射入时，如图乙所示. 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的 夹角也为θ.
第53课时 匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
2.(2016· 海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30° ，OA 的长度为 L。在△OCA 区 域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。 质量为 m、 电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂 直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。 (1)求磁场的磁感应强度的大小； (2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上 的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和； (3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场 5 内运动的时间为 t0，求粒子此次入射速度的大小。 3
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(2)设当 v0＝v3 时，粒子恰好打不到荧光屏 上， 则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点 A 竖直向上射出磁场。由此可知，粒子在磁场中 的轨道半径 r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力， v32 得 qv3B＝m ，解得 v3＝1.5×106 m/s。由题意 r3 可知，当 v0>1.5× 106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条 件的粒子轨迹。 (2)运用几何关系，求得粒子运动半径。 (3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
[集训冲关]
1.(多选)(2017· 常德月考)如图所示，宽为 d 的 有界匀强磁场的边界为 PP′、 QQ′。 一个 质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示 方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度 大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ′射出，粒子的入射速度 v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计) qBd A. m 2qBd C. 3m 2qBd B. m qBd D. 3m ( )
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
的距离L；
解析 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子
在MO边界射出点为N
由洛伦兹力提供向心力得 解得 R＝mqBv②
qvB＝mRv2①
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角 α＝60°③
则 O、N 间的距离 L＝R＝mqBv。④
答案
mv qB
mv qB
(2)粒子在磁场中的运动时间；
解析 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
学习目标
会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题， 提高思维分析综合能力。
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
1
研透核心考点
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
4qBL D. 5m
解析 若粒子恰好从 A 点射出磁场，则轨道半径为 r1＝L2，由 qv1B＝mvr112可得 v1＝qBmr1＝q2BmL；若粒子恰好从 B 点射出磁场，则轨道半径为 r2＝L，由 qv2B ＝mvr222可得 v2＝qmBL。为使粒子不能经过正方形的 AB 边，粒子的速度 v<v1＝ q2BmL或 v>v2＝qmBL，故 A 正确。
有一个交点，故粒子偏转角只可能为 40°，运动时间 t＝34600°°T＝29πqmB，A 正确， C 错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与 ON 有 几个交点，粒子回到 OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与 OM 成
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
第十一章磁场第57课时带电粒子在磁场中的运动[双基落实课]-2025届高考物理一轮复习课件(通用版)
![第十一章磁场第57课时带电粒子在磁场中的运动[双基落实课]-2025届高考物理一轮复习课件(通用版)](https://img.taocdn.com/s3/m/95d30a97a0c7aa00b52acfc789eb172dec639954.png)
所受洛伦兹力的方向是（
A. 向上
B. 向下
C. 向左
D. 向右
）
目录
高中总复习·物理
解析：
根据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点
产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向
左，所以四根通电直导线在O点产生的合磁场方向向左，由左手定
中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，
小球有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得
1
1
2
mgh2＋Ek＝ m0 ，又 m0 2 ＝mgh1，所以h1＞h2，h3＞h2，C错误；
2
2
图丁，因小球带负电，所受电场力向下，则h4一定小于h1，B错
误；由于无法明确电场力做功的多少，故无法确定h2和h4之间的关
为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射
出。下列说法正确的是（
）
A. 带电粒子一定带负电荷
B.
带电粒子的速度最小值为
4
C. 若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲
5
量大小为
2
D.
π
带电粒子在磁场中运动时间可能为
3
目录
高中总复习·物理
解析：若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运
刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上
P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，
如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒
壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切
线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电
(完整版)带电粒子在匀强磁场中的运动专题
带电粒子在匀强磁场中的运动专题一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
例题1、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。
现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B．2Δt C.13Δt D．3Δt例题2、如图，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。
粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。
不计重力。
求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
二、带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.(2)轨迹圆圆心——共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上.2.方法界定以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.[典例1] 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是( )A.若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t 0B.若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为5t 03C.若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为5t 03D.若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为2t 03[解析] 作出从ab 边射出的轨迹①、从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和从ad 边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.由图可知，从ab 边射出经历的时间一定不大于5t 06；从bc 边射出经历的时间一定不大于4t 03；从cd 边射出经历的时间一定是5t 03；从ad 边射出经历的时间一定不大于t 03，C 正确.[答案] C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R ＝mv 0qB.如图所示.(2)轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上. 2.方法界定 将一半径为R ＝mv 0qB的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”. [典例2] 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行.在距ab 为l ＝16 cm 处，有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s.已知α粒子的比荷q m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab 板上被α粒子打中区域的长度.[解题指导] 过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可. [解析] α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径，有qvB ＝m v 2R由此得R ＝mv qB代入数值得R ＝10 cm ，可见2R >l >R因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P 1点的位置，可作平行于ab的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1.即：NP 1＝R 2－（l －R ）2＝8 cm再考虑N 的右侧.任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，在N 点右侧取一点P 2，取SP ＝20 cm ，此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2＝（2R ）2－l 2＝12 cm 所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2 代入数值得P 1P 2＝20 cm. [答案] 20 cm突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题考向1 带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.[典例3] 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？[解题指导] 由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN ′射出的临界条件是轨迹与NN ′相切.[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，则轨道半径R ＝mv Bq又d ＝R －R2解得v ＝（2＋2）Bqdm.若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则轨道半径R ′＝mv ′Bq又d ＝R ′＋R ′2解得v ′＝（2－2）Bqdm[答案]（2＋2）Bqd m (q 为正电荷)或（2－2）Bqdm(q 为负电荷)考向2 磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.[典例4] (多选)一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(不计重力)( )A.4qB mB.3qBmC.2qBmD.qB m[解析] 根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bqm ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C. [答案] AC考向3 临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图所示.[典例5] (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A.使粒子的速度v <Bql 4mB.使粒子的速度v >5Bql4mC.使粒子的速度v >Bql mD.使粒子的速度v 满足Bql 4m <v <5Bql 4m[解析] 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎪⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql4m，故A 、B 正确.[答案] AB考向4 带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.[典例6] 如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ；x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E .屏MN 与y 轴平行且相距L .一质量m 、电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ [解题指导] 解答本题可分“两步走”： (1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r 和L 的关系.[解析] (1)在电场中，电子从A →O ，动能增加eEs ＝12mv 2在磁场中，电子偏转，半径为r ＝mv 0eB据题意，有(2n ＋1)r ＝L所以s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…).(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t ＝(2n ＋1)2s a ＋T 4＋n T 2，其中a ＝Ee m ，T ＝2πm eB整理后得t ＝BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…).[答案] (1)s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…) (2)BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…) 专项精练1.[放缩法的应用]如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的粒子，恰好从e 点射出，则( )A.如果粒子的速度增大为原来的两倍，将从d 点射出B.如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C.如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的两倍，也将从d 点射出D.只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短答案：A 解析：作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d 点射出时，轨道半径增大为原来的两倍，由半径公式R ＝mvqB可知，速度也增大为原来的两倍，选项A 正确，显然选项C 错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从f 点射出，选项B 错误；粒子的周期公式T ＝2πmqB，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e 、d 射出时所用时间相等，从f 点射出时所用时间最短，故D 错误.2.[旋转法的应用]如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x >0区域内，有磁感应强度B ＝1.0×10－2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P (10,0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速率v ＝104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m ＝1.6×10－25kg ，电荷量为q ＝1.6×10－18C ，求带电粒子能打到y 轴上的范围.答案：－10～10 3 cm 解析：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：qvB ＝m v 2R解得：R ＝mv qB＝0.1 m ＝10 cm如图所示，当带电粒子打到y 轴上方向的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点即为粒子能打到y 轴上方的最高点.因OP ＝10 cm ，AP ＝2R ＝20 cm则OA ＝AP 2－OP 2＝10 3 cm当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于B 点时，若圆心再向左偏，则粒子就会从纵轴离开磁场，所以B 点即为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得OB ＝R ＝10 cm ，综上所述，带电粒子能打到y 轴上的范围为－10～10 3 cm.3.[带电粒子在磁场中运动的临界问题]如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电荷量为q ＝1.0×10－6C 的带正电粒子从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).(1)求带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件. 答案：(1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T解析：(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理有qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s.(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB ＝mv 2R得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m故圆心一定在x 轴上，轨迹如图甲所示 由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53° 故OQ ＝0.90 m.甲乙(3)带电粒子恰不从x 轴射出(如图乙所示)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° ① R ′＝mv qB ′②由①②并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”同样正确). 4.[带电粒子在磁场中运动的多解问题]如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向.甲 乙有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响.求：(1)磁感应强度B 0的大小；(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值. 答案：(1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…)解析：(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即qv 0B 0＝mv 2r①做匀速圆周运动的周期T 0＝2πrv 0②联立两式得磁感应强度B 0＝2πmqT 0.③(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，v 0的方向应如图所示，有r ＝d4④当在两板之间正离子共运动n 个周期，即nT 0时，有- 11 - r ＝d 4n(n ＝1,2,3，…)⑤ 联立①③⑤求解，得正离子的速度的可能值为v 0＝qB 0r m ＝πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…).。
磁场临界及多解问题
．
r
O’
r
3000 5 2m 5m t1 T 0 360 6 eB 3eB 600 1 2m m t2 T 3600 6 eB 3eB
4m t 2 t1 t 2 3eB
针对训练．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁 场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多 质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒 子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的? A
针对训练．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁 场，质量为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速 度v0向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒 子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量 和动能均无损失） B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒 碰撞从原孔射出，其运动轨迹具 有对称性．当发生最少碰撞次数 n=2时 0 R
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
例3、如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂
直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
角为300.求: (1)电子的质量 m (2)电子在磁场中的运动时间t B e vθ θv3qBd m v
30 d t T 360 3v
2、磁场对带电粒子的作用力及运动情况分析 带电粒 子静止 磁场不给 作用力 保持静止
速度与 磁场垂直
带电粒 速度与磁场 子在磁 成一角度 场中运动
洛沦兹力 洛沦 兹力 磁场不给 作用力
匀速圆 周运动
螺旋线
速度与 磁场平行
匀速 直线
微专题55 带电粒子在匀强磁场中周期性运动和多解问题
微专题53 带电粒子在匀强磁场中周期性运动和多解问题【核心考点提示】1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如图6甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ，如带负电，其轨迹为b .2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为a ，如B 垂直纸面向外，其轨迹为b .3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图丙所示．4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示． 【微专题训练】(多选)如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )A.Bqd mB.(2＋2)Bqd mC.(2－2)Bqd mD.2Bqd 2m【解析】粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝mv 0qB 知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大，当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝mv 0qB代入上式得v 0＝＋2Bqdm，选项B 正确．若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O ′点)，容易看出R 2＋R 2cos 45°＝d ，将R 2＝mv 0qB 代入上式得v 0＝－2Bqdm，选项C 正确． 【答案】BC(2017·湖北宜昌三模)如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r 。
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带电粒子在磁场中的多解问题
年级：46级 科目：物理 时间：2014.11.28 班级： 姓名： 带电粒子在磁场中的运动问题是高考的难点和热点，特别是新的物理考试大纲将动量要求大幅度降低后，这类问题在高考中地位必将更为突出。
由于带电粒子在电磁场中的运动受到多种因素的影响，往往会会形成多解的情况，而学生在解题的过程中由于思维不缜密常常不能解答完整。
在教学过程中，对形成此类问题多解的原因进行总结和归类，要求学生在解答过程中参照这些原因一一分析。
考点解读：
1、带电粒子电性的不确定性形成多解：
受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电， 在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹 不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速率v 垂直进入磁场， 如带正电，其轨迹为 ，如带负电，其轨迹为 。
例1：如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
例题2：如图1所示，L 1和L 2是距离为D 的两平行虚线，L 1上方和L 2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，A 、B 两点都在L 2上.质量为m ，电量为q 的带电粒子从A 点以初速v 斜向上与L 2成30°角射出，经过偏转后第一次又经过L 2上的某点B ，不计重力影响，求AB 之间的距离
例题3. 如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。
质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v 0与x 轴夹角θ= 600 ，试分析计算:
（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？
图
1
2、磁场方向的不确定性形成多解：
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感 应强度B 的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定 而形成的多解。
如图乙，带正电粒子以速率v 垂直进入匀
强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为 ，如B 垂直纸面向外，其轨迹为 .
例题1：[07年全国Ⅱ卷19题]如图3所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度
方向如图中箭头所示。
现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半
径并不因此而改变，则（ ）
A 、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0
B 、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0
C 、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0
D 、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0
例2. 一质量为m ，电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中
绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ）
m 4qB A 、 m 3qB B 、 m 2qB C 、 m
qB D 、
例题3：如图4所示，磁感应强度为B 垂直纸面向里的匀强磁场中有一个粒子源S,能在图示纸面上360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m 、带电-e 的电子；若电子的发射速率为
m
q L B V ,从点S 射出后要击中相距L 的O 点，则点S 处电子的
射出方向与OS 的夹角为多少？从S 到点O 的时间多少？
3、临界状态不唯一形成多解：
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹 是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边
反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。
因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。
例1、如图3所示，M 、N 是两块水平放置的平行金属板，板长为L ，板间距离为d ，两板间存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N 板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上，则粒子的入射速度v 应满足什么条件？ v + 图3
S
O
o 1
o 2
V 2
V 1
例题2：一质量为m、带正电q的粒子（不计重力）从O点处沿+Y方向以初速υ0射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别为y=0、y＝a、
x= -1.5a,x=1.5a如图5所示,改变磁感应强度B的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度θ会随之改变。
试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，从这几个边界面射出时磁感应强度B的大小及偏转角度θ各在什么范围内？
例题3：如图一质量为m的带正电q
的小球穿在一足够长的固定粗糙水平杆上，整个装置处
于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度V,则当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？
例6.如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。
许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向由小孔O射入磁场区域。
不计重力，不计粒子间的相互影响。
下列图中阴影部分表示带电
粒子可能经过的区域，其中
Bq
mv
R 。
哪个
图是正确的？
y
x
a
1.5a
－1.5a 0
v0
B
图5
4、运动的周期性形成多解：
带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时， 运动往往具有重复性，因而形成多解。
例1：如图所示，在x 轴上方有一匀强电场，场强为E ，方向竖直向下。
在x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里。
在x 轴上有一点P ，离原点的距离为a 。
现有一带电量+q 的粒子，质量为m ，从y 轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过P 点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）
例题2：[06年全国卷II .25]如图7所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。
一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？
例题3、如图632所示，在空间中有一坐标系Oxy ，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP 是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B ，方向垂直纸面向内，边界上的P 点坐标为(4L,3L)．一质量为m 电荷量为q 的带正粒子从P 点平行于y 轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O(忽略粒子重力)，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求： (1)粒子从P 点运动到O 点的时间至少为多少？ (2)粒子运动的周期?
(3)粒子的速度大小可能是多少？
x
y
B 2 B
1
O v 图7。