【技巧】磁场 带电粒子在磁场中的多解问题
高三物理-带电粒子在磁场中运动的多解问题
高三物理-带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如图15甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.图152．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图16甲所示．图164．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示．典例1(多选)如图17所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()图17A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 答案 AC解析 如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53t 0.典例2 如图18所示，在坐标系xOy 中，第一象限内充满着两个匀强磁场a 和b ，OP 为分界线，在磁场a 中，磁感应强度为2B ，方向垂直于纸面向里，在磁场b 中，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外，P 点坐标为(4l,3l )．一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从P 点沿y 轴负方向射入磁场b ，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O ，不计粒子重力．求：图18(1)粒子从P 点运动到O 点的最短时间是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？ 答案 (1)53πm 60qB (2)25qBl 12nm(n ＝1,2,3，…)解析 (1)设粒子的入射速度为v ，用R a 、R b 、T a 、T b 分别表示粒子在磁场a 中和磁场b 中运动的轨道半径和周期，则有R a ＝m v 2qB ，R b ＝m v qB ，T a ＝2πm 2qB ＝πm qB ，T b ＝2πm qB当粒子先在磁场b 中运动，后进入磁场a 中运动，然后从O 点射出时，粒子从P 点运动到O 点所用的时间最短，如图所示．根据几何知识得tan α＝3l 4l ＝34，故α＝37°粒子在磁场b 和磁场a 中运动的时间分别为 t b ＝2×(90°－α)360°T b ，t a ＝2×(90°－α)360°T a故从P 点运动到O 点的时间为 t ＝t a ＋t b ＝53πm60qB(2)由题意及上图可知n (2R a cos α＋2R b cos α)＝(3l )2＋(4l )2 解得v ＝25qBl12nm(n ＝1,2,3，…)．题组1 对洛伦兹力的理解1．如图1是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里．云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此运动轨迹可知粒子( )图1A ．带正电，由下往上运动B．带正电，由上往下运动C．带负电，由上往下运动D．带负电，由下往上运动答案A解析由图可以看出，上方的轨迹半径小，说明粒子的速度小，所以粒子是从下方往上方运动；再根据左手定则，可以判定粒子带正电．2．(多选)如图2所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5 T的匀强磁场，一质量为0.2 kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.1 kg、带电荷量q＝＋0.2 C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加方向水平向左、大小为0.6 N的恒力，g取10 m/s2，则()图2A．木板和滑块一直做加速度为2 m/s2的匀加速运动B．滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动C．最终木板做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动D．最终木板做加速度为3 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动答案BD解析由于动摩擦因数为0.5，静摩擦力能提供的最大加速度为5 m/s2，所以当0.6 N的恒力作用于木板时，系统一起以a＝FM＋m＝0.60.2＋0.1m/s2＝2 m/s2的加速度一起运动，当滑块获得向左运动的速度以后磁场对其有竖直向上的洛伦兹力，当洛伦兹力等于重力时滑块与木板之间的弹力为零，此时有Bq v＝mg，解得v＝10 m/s，此时摩擦力消失，滑块做匀速直线运动，而木板在恒力作用下做匀加速直线运动，a′＝FM＝3 m/s2，所以B、D正确．题组2带电粒子在匀强磁场中的运动3．(2016·四川理综·4)如图3所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为v b时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b，当速度大小为v c时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c，不计粒子重力．则()图3A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2 答案 A解析 带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，r c ＝2r b ，θb ＝120°，θc ＝60°，由q v B ＝m v 2r 得，v ＝qBr m ，则v b ∶v c ＝r b ∶r c ＝1∶2, 又由T ＝2πm qB ，t ＝θ2πT 和θb＝2θc 得t b ∶t c ＝2∶1，故选项A 正确，B 、C 、D 错误．4．(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k 倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( ) A ．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k 倍 B ．加速度的大小是Ⅰ中的k 倍 C ．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k 倍 D ．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等 答案 AC解析 设电子的质量为m ，速率为v ，电荷量为q ，B 2＝B ，B 1＝kB 则由牛顿第二定律得：q v B ＝m v 2R ①T ＝2πR v ②由①②得：R ＝m v qB ，T ＝2πm qB ，所以R 2R 1＝k ，T 2T 1＝k根据a ＝v 2R ，ω＝v R 可知a 2a 1＝1k ，ω2ω1＝1k所以选项A 、C 正确，选项B 、D 错误．5．如图4所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P 点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的13.将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B 2B 1等于( )图4A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 当轨道半径小于或等于磁场区半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径．如图所示，当粒子从13圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ ，粒子都从圆弧PQ 之间射出，因此轨道半径r 1＝R cos 30°＝32R ；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即16周长，对应的弦长为R ，即粒子运动轨迹直径等于磁场区半径R ，半径r 2＝R2，由r ＝m v qB 可得B 2B 1＝r 1r 2＝ 3.题组3 带电粒子在有界磁场中的运动6．如图5所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一个粒子源S .某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )图5A.T 3B.T 2C.2T 3D.5T 6 答案 B解析 由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动．由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S 点作OC 的垂线SD ，则SD 为最短弦，可知粒子从D 点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为T6，可知△O ′SD 为等边三角形，粒子圆周运动半径R ＝SD ，过S 点作OA 的垂线交OC 于E 点，由几何关系可知SE ＝2SD ，SE 为圆弧轨迹的直径，所以从E 点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t ＝T2，故B 项正确．7．如图6所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子由小孔下方d2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．图6(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小． 答案 (1)m v 2qd (2)4m v qD 或4m v3qD解析 (1)设极板间电场强度的大小为E ，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE ·d2＝12m v 2① 由①式得E ＝m v 2qd②(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B ，粒子做圆周运动的半径为R ，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2R③如图所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况．若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得R ＝D 4④联立③④式得B ＝4m vqD⑤ 若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得R ＝3D4⑥ 联立③⑥式得B ＝4m v3qD⑦8．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O 的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，谷区内没有磁场．质量为m ，电荷量为q 的正离子，以不变的速率v 旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．图7(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r ，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针； (2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T ；(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B ′和B 的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin 2α2.答案 (1)m v qB 逆时针 (2)2π3 (2π＋33)mqB(3)B ′＝3－12B 解析 (1)离子在峰区内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2r峰区内圆弧半径r ＝m vqB由正离子的运动轨迹结合左手定则知，旋转方向为逆时针方向 (2)如图甲，由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝2π3每个圆弧的弧长l ＝2πr 3＝2πm v3qB每段直线长度L ＝2r cos π6＝3r ＝3m v qB周期T ＝3(l ＋L )v 代入得T ＝(2π＋33)mqB(3)如图乙，谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30° 谷区内的轨道圆弧半径r ′＝m vqB ′由几何关系r sin θ2＝r ′sin θ′2由三角关系sin 30°2＝sin 15°＝6－24代入得B ′＝3－12B .。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
y
A2
P (x,y)
sin FA1 x 2 R1
A1 A2 R2 R1
⑨ OE
解得,cosθ=0.6 R1 =5.0cm ⑩
d a
Ⅰ
E=2.5 ×104 V/ m
Ⅱ
θ FA1 D
θ C
x b
当匀强电场旳场强E=2.5 ×104 V/ m 或
E
6.4 104 n2
V/m
(n = 2, 3, 4…)时，粒子能经过坐标原点O．
若qv0B>mg则f=μ(qv0B-mg) 滑环作减速运动，
当减速到v1时，若qv1B＝mg f1=0则以v1作匀速运动
Wf=1/2mv02 - 1/2mv12 < I2/2m 所以选项A C D正确。
qv0B qv1B f
mg mg
4. 运动旳反复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场旳空间运动时，
v2 qvB1 m R1
②
qvB2
m
v2 R2
③
（1）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最终能经过坐标原 点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周 后后就离开磁场进入电场，反复运动直到经过坐标原 点O，粒子旳一种运动轨迹如图所示，有
n ∙ 2R1 =x
④
y
R1 ≤d
⑤
解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4…) ⑥
O
Px
分析：要使粒子能经过P点，其初始位置必须在匀强 电场区域里。因为没有明确粒子所在位置，讨论如下：
（1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y 轴从原点O进入磁场做半径为R旳匀速圆周运动。因 为粒子可能偏转一种、二个……半圆到达P点，
故 a 2nR( n 1，2… )
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。
【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
带电粒子在磁场运动的多解问题
带电粒子在磁场运动的多解问题洛仑兹力作用下带电粒子的多解问题的成因：①带电粒子的电性不确定形成的多解，带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，形成双解。
②磁场方向不确定形成多解。
若已知磁感应强度的大小，而末说明磁场的方向，则应考虑因磁场方向的不确定而形成的多解。
③临界状态不唯一形成多解，如带电粒子在洛仑兹力作用下通过有界磁场时，它可能穿过去，也可能偏转1800从入射界面反向飞出。
④运动的往复性形成多解。
如带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有往复性，因而形成多解。
例题：如图所示空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B 。
折线的顶角090A ∠=，P 、Q 是折线上两点，AP AQ L ==。
现有一质量为m 、电荷量为q 的带负电的微粒从P 点沿PQ 方向射出后经折线的顶点A 到达Q 点，求：(1)初速度v 应满足的条件；(2)微粒从P 点到达Q 点的时间。
解析：(1)根据运动学的特性知，微粒能从P 点到达Q 点应满足,1,2,3L nx n ==其中x 为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为2π或32π。
设圆弧的半径为R ，则222R x =，所以1,2,3,R n ==(2)如图所示，当n 取奇数时，微粒从P 点到Q 点的过程中圆心角的总和为13222n n n ππθπ=⋅+⋅= 微粒从P 点到Q 点的所用的时间相应为：122,1,3,5,m m t n n qB qB ππ=⋅==其中当n 取偶数时，微粒从P 点到Q 点过程中所用的时间相应为2m m t n n qB qBππ=⋅=⋅，其中24,6n =，，。
巧思：该例形成多解的原因是磁场方向与的改变及半径与PA 、AQ 的关系，找出R 与L 的关系是钥匙的关键。
注意：解决此类问题，很容易犯的错误是考虑不全面，没有考虑睿到各种可能的情况。
带电粒子在磁场中运动的多解问题课件
带电粒子的磁场运动与电磁场理论、量子力学等物理学分支密切相关。
通过研究带电粒子的磁场运动，可以促进对其他物理现象的理解和应用，如电磁场中的能量流动、量子隧穿效应等。
06
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的多解问题的扩大和展望
考虑带电粒子在电场和磁场中的复杂运动，以及电场力对粒子运动的影响。
引入电场力的研究
分析多粒子系统在磁场中的运动，研究粒子间的相互作用和系统的集体行为。
多粒子系统的研究
探讨带电粒子在磁场和其他力场（如重力场、弹性力场等）中的耦合运动。
引入其他力场
解析方法的发展
寻找新的解析方法，用于求解带电粒子在磁场中运动的方程，以便更精确地预测其运动轨迹。
实际应用前景
THANKS
感谢您的观看。
$m$：粒子的质量
$\frac{dv}{dt}$：粒子的加速度
圆的参数方程：$(x, y) = (r \cos\theta, r \sin\theta)$
$\theta$：圆心角
$r$：圆的半径
边界条件：在某些问题中，带电粒子在磁场中的运动可能受到某些边界的限制，例如管道、盒子等，需要针对具体问题设定边界条件。
解析几何是研究几何形状和空间位置关系的数学分支，通过代数方法描述几何对象。
解析几何
极坐标系是一种用极径和极角来描述空间位置的坐标系，常用于描述圆形或旋转对称性的问题。
极坐标系
03
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的解法
分离变量法适用于带电粒子在匀强磁场中的运动问题。
适用范围
基本思想
优缺点
磁场中的多解问题
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空 间运动时，往往运动具有周期性，因而形成多 解．
问题一． 带电粒子电性不确定形成多解
如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感 应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。 现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图
示方向垂直磁场射入。要Βιβλιοθήκη 粒子不能从边磁场专题深化：
带电粒子在磁场中的运动 多解问题
抚州一中 韩博伟
带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周 运动，由于多种因素的影响，使问题形成多 解．
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能是带正 电粒子，也可能是带负电粒子，在相同的初速 度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不 同，形成多解．
界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可
能是多少？
问题二．磁场方向不确定形成多解
问题三．临界状态不唯一形成多解
问题四．运动的往复性（周期性）形成多解
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而 未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考 虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
3．临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下穿过有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可 能直接穿过去，也可能转过180°，从入射界面 这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．
带电粒子磁场中的多解问题讲解
粒子运动径迹的分析及判定
例3如图，矩形MNPQ区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场， 有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场， 在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧．这些粒子
的质量、电荷量以及速度大小如下表所示．
粒子 编号
质量
电荷量 (q＞0)
速度 大小
1
m
2q
v
2 2m
2q
2v
联立①②得：R＝mqBv③
T＝2qπBm④
将已知代入③得 R＝2 m⑤
由轨迹图知：
tanθ＝Rr ＝ 33，则 θ＝30°
则全段轨迹运动时间：t＝2×36T0°×2θ＝T3 ⑥ 联立④⑥并代入已知得：
2 m t＝ 3qB
= 2×3.14×3.2×10－26 3×1.6×10－19×0.10
s＝4.19×10－6 s.
本部分内容讲解结束
1．如图，ABCD是边长为的正方形。质量为m、电荷 量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强 磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点 射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
一、带电粒子电性(+q-q)不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可 能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
思考如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如 带正电，其轨迹为a；如带负电，则其轨迹为b.
二、磁场(B)方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指 出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强 度方向不确定而形成的多解．
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
的距离L；
解析 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子
在MO边界射出点为N
由洛伦兹力提供向心力得 解得 R＝mqBv②
qvB＝mRv2①
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角 α＝60°③
则 O、N 间的距离 L＝R＝mqBv。④
答案
mv qB
mv qB
(2)粒子在磁场中的运动时间；
解析 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
学习目标
会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题， 提高思维分析综合能力。
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
1
研透核心考点
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
4qBL D. 5m
解析 若粒子恰好从 A 点射出磁场，则轨道半径为 r1＝L2，由 qv1B＝mvr112可得 v1＝qBmr1＝q2BmL；若粒子恰好从 B 点射出磁场，则轨道半径为 r2＝L，由 qv2B ＝mvr222可得 v2＝qmBL。为使粒子不能经过正方形的 AB 边，粒子的速度 v<v1＝ q2BmL或 v>v2＝qmBL，故 A 正确。
有一个交点，故粒子偏转角只可能为 40°，运动时间 t＝34600°°T＝29πqmB，A 正确， C 错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与 ON 有 几个交点，粒子回到 OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与 OM 成
带电粒子在磁场中运动的多解问题
一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁
场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁
场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是
磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ）
A. 4qB
m
B.
3qB m
C. 2qB
m
D. qB
m
解析：当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,
解: 由
qvB1
m
v2 R1
qvB2
m
v2 R2
得粒子在磁场B1、B2的轨道半径分别为
R1
1cm
d 4
R1
2cm
d 2
若粒子经过P点的轨迹如图6所示，则
T2
2R2
v0
t2
T2 2
联立解得粒子运动的时间
t2
2
106 s
若粒子经过P点的轨迹如图7所示，则
T1
2R1
v0
t1 T1
⑴ 明确多解原因。
⑵ 分别设每种多解原因成立，进行分析求解。
⑶ 求解过程同带电粒子在磁场中圆周运动的分析方法，即：
① 画出运动轨迹；确定圆心。
② 利用几何关系计算半径。 ③ 由 qvB m v2 和圆周运动等知识求解。 注意：粒子飞r 入、飞出对称边界时存在对称性。
11:10
圆心角 偏转角 圆心角 2弦切角
y
mv0 Bq
t1
1
360
T
④
vB B
1
若粒子带正电，运动时间
R
v0
带电粒子在磁场中的多解问题
带电粒子在磁场中多解问题
一、运动的往复性形成多解
如图甲中所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周
，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，期与磁感应强度变化的周期都为T
不计离子所受重力．求：
的大小；
①.磁感应强度B
的可②.要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v
能值．
二、磁场方向不确定形成多解
一个质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）
A．4qB/m B. 3qB/m C. 2qB/m D.qB/m
三、临界状态不唯一形成多解
长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以初速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求初速度v的范围．
四、电性不确定形成多解
如图，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大可能是（）
A. qBd/m
B.()m qBd
22+ C.qBd/m D.()m qBd 22-。
关于带电粒子在磁场中的多解问题课件
r2
l
(d2 4l2 )qB v0 4dm
d/2
v0 乙
练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，
方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界
ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，
速度大小为v0 ，方向与ad边夹角为30°，如图所示。 已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
A
+mq
v0
d
B
l
甲
分析：当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大,
则其圆心为图中O1点, 半径 r1=d/4。
r1
l
因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。
O1
d/2 v0
由于
r mv 0 所以 qB
rBq v0 m
Bdq 乙 v0 4m
r即 2 2 v（ 0 r2 54qd m 2） B2 或 lvl02 ， q4m Br2ld 4ld 2r2O-d2/2
t1
1 T
360
2m
3Bq
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
t2
2 T
360
m
3Bq
2. 磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大 小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不 确定而形成多解。
例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B
的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀
速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作
用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷
做圆周运动的角速度可能是（
）
A. 4 qB
m
B. 3 qB
m
C. 2 qB
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题1、多解形成原因一般包含下述几个方面(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解
；(3)临界状态不唯一形成多解；(4)运动的往复性形成多解．?2、带电粒子在磁场中运动的多解模型例、如图所示，在x轴上方有匀强电场
，场强为E；在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图，在x轴上有一点M，离O点距离为L．现有一带电量为＋q的粒子，使其从静止
开始释放后能经过M点．如果把此粒子放在y轴上，其坐标应满足什么关系？（重力忽略不计）解析：由于此带电粒子是从静止开始释放的，要能经
过M点，其起始位置只能在匀强电场区域．物理过程是：静止电荷位于匀强电场区域的y轴上，受电场力作用而加速，以速度V进入磁场，在磁场中
受洛仑兹力作用作匀速圆周运动，向x轴偏转．回转半周期过x轴重新进入电场，在电场中经减速、加速后仍以原速率从距O点2R处再次超过x轴
，在磁场回转半周后又从距O点4R处飞越x轴如图所示（图中电场与磁场均未画出）故有L＝2R，L＝2×2R，L＝3×2R即?R＝L／2 n，（n=1、2、3……）……?①设粒子静止于y轴正半轴上，和原点距离为h，由能量守恒得mv2／2=qEh……②对粒子在磁场中只受洛仑兹力作用而作匀速圆周运动有：R＝mv／qB……③解①②③式得：h＝B2qL2／8n2mE（n＝l、2、3……）。
带电粒子在磁场中圆周运动的单解和多解问题
带电粒子在磁场中圆周运动的单解和多解问题带电粒子在磁场中的圆周运动是历年来高考的重点和难点，在高考复习中必须作为重点专题来进行全面深入的复习。
处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。
下面对带电粒子在磁场中圆周运动的单解和多解问题进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的单解型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定：1.圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键.圆心一定在与速度方向垂直的直线上.在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：①如图3-6-5所示，图中P为入射点，M为出射点，已知入射方向和出射方向时，可能通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.图3-6-5②如图3-6-6所示，图中A为入射点，B为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.图3-6-62.半径的计算：一般利用几何知识解直角三角形.3.运动时间的确定：如图3-6-7所示，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A 点运动到B点，粒子速度偏向角(φ)等于圆心角(回旋角α)并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍.即：φ=α=2θ=ωt.图3-6-7利用圆心角(回旋角α)与弦切角θ的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式t=360 T 可求出粒子在磁场中的运动时间. 4.圆周运动中有关对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出.如图3-6-8所示.图3-6-8【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V 0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。
教案7磁场中的多解问题
5πm (2)tmax＝ 3qB
练习两极板 M、N 相距为 d，板长为 3d，两极板都未带电，板 间有垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示，一群电子沿平行 于极板的方向从各个位置以速度 v 射入板间．为了使电子都不 从板间穿出，磁感应强度 B 的取值范围是多少？ (设电子电荷量为 e、质量为 m)
解析如图所示，电子射入磁场时所受洛伦兹力向上，都向上偏转， 显然从下极板 A 点射入的电子最容易从右侧或左侧穿出，所以以该 电子为研究对象，若半径足够大，恰好从上极板 C 点处射出，对应
2πR 2πm (2) 带电粒子在磁场中的周期 T＝ ＝ qB v0 根据带电粒子在磁场的轨迹占圆周比值最大即运动时间 最长( 或圆周所对圆心角最大)，所以当速度为 v1 时， 具有 最长时间 5 π θ 3 2πm 5πm tmax＝ · T＝ · ＝ . 2π 2π qB 3qB
答案
Bql Bql (1) <v < 3m 0 m
2．磁场方向不确定形成多解 【例 6 】 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中 沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的 运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3 倍．若电子电荷量为 e、质量为 m，磁感应强度为 B， 不计重力，则电子运动的角速度可能是 4Be 3Be A. B. ( )
2 2 的半径为 r1，由 Rt△ O1CD 得 r2 r1＝5d；若半径足 1＝(r1－d) ＋(3d) ， d 够小，恰好从上极板 D 点处射出，对应的半径为 r2，r2＝ ，由半径 2 mv mv mv 2mv 公式 r＝ Bq ，得 B1＝ r q ＝5de，B2＝ de .当电子的轨道半径的取值 1
解析
所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动， 2 v0 mv0 由 ev0B＝ m ，得半径为 R＝ . R eB 设与 x 轴正向成α角入射的电子从坐标为(x，y)的 P 点射 出磁场． 则有 x2＋(R－ y)2＝ R2① ①式即为电子离开磁场的下边界 b 的表达式 当α＝ 90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界 a，其表 达式为 (R－ x)2＋ y2＝ R2.② 由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示， πR2 R2 π－ 2 mv0 2 其面积为 S＝ 2( － )＝ ( ). eB 4 2 2
高考物理磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题1．多解形成原因一般包含下述几个方面(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解；(3)临界状态不唯一形成多解；(4)运动的往复性形成多解．2．带电粒子在磁场中运动的多解模型类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往往具有周期性，因而形成多解例题1．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A．使粒子的速度v＜Bql4mB．使粒子的速度v＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞Bql mD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql 4m解析：选AB.若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎪⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql 4m，故A 、B 正确．例题2．如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，求粒子入射速率v 的最大值可能是多少．解析：题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷．若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，轨道半径：R ＝mv Bq 又d ＝R －R 2解得v ＝(2＋2)Bqd m. 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则有：R ′＝mv ′Bqd ＝R ′＋R ′2，解得v ′＝(2－2)Bqd m . 答案：(2＋2)Bqd m (q 为正电荷)或(2－2)Bqd m(q 为负电荷) 例题3．如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ；x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E.屏MN 与y 轴平行且相距L.一质量m ，电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？解析：(1)在电场中，电子从A →O ，动能增加eEs ＝12mv 20 在磁场中，电子偏转，半径为r ＝mv 0eB据题意，有(2n ＋1)r ＝L所以s ＝eL 2B 22Em(2n ＋1)2(n ＝0,1,2,3，…) (2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t ＝(2n ＋1)2s a ＋T 4＋n T 2，其中a ＝Ee m ，T ＝2πm eB . 整理后得t ＝BL E ＋(2n ＋1)πm 2eB(n ＝0,1,2,3，…) 答案：(1)s ＝eL 2B 22Em(2n ＋1)2(n ＝0,1,2,3，…) (2)BL E ＋(2n ＋1)πm 2eB (n ＝0,1,2,3，…)高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
第八章微讲座(八)——带电粒子在磁场中运动的多解问题
微讲座（八）- 带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解几个方面：一、带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解.如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁、磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，有时题目中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向.此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解. 如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b.三、临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一部就形成多解.如图丙所示.四、带电粒子运动的重复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有重复性的运动，形成了多解.如图丁所示.向里，MN是它的下边界.现有质量为m,电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.m,与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s= 3 m•板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B= 1 T;质•形成多解的原因有以下场，若带正电，其轨迹为分，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180。
能够从入射的那一边反向飞出, (2015 河南漯河模拟）如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面［解析］本题没有明确粒子究竟带何种性质的电荷，条•由qvB = mz-和T =乙於得：T =幷若粒子带正电,R v qB5圆弧为5圆周，粒子在磁场中运动的时间为：6所以粒子的轨迹可能是图乙中的两边圆弧所示,轨迹如图乙中左边圆弧所示，轨迹5 5 n mti = ^T=亦若粒子带负电，轨迹如图乙中右轨迹圆［答案］6 6 3qB5 Tim 或Tim3qB 或3qB（2015江西重点中学联考）如图，水平地面上方有绝缘弹性竖直挡板，板高h = 9a,丙甲乙—3 _3量m= 1 x 10 kg、电荷量q=—1X 10 C、可视为质点的带电小球从挡板最下端，以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中(不考虑与地面碰撞后反弹入筐情况),g = 10 m/s2，求：360 °360 °(1) 电场强度的大小与方向；(2) 小球从出发到落入筐中的运动时间的可能取值. 示)［解析］(1)因为小球做匀速圆周运动， 所以有qE = mg ,E = mg = 10 N/C ，方向竖直向下.q(计算结果可以用分数和保留n 值表qvB = m£,且 T =r R v(2)洛伦兹力提供向心力有： 2 n m 小得：T = = 2 n s.qB因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在挡板的竖直线上，且 设小球与挡板碰n 次，其最大半径为 辛.R > s = 3 m.h 9要击中目标必有：^n 》3,即踣3，得n 三j 5,n 只能取0,1.当n = 0时，即为图甲中运动轨迹 R m = (9 — R m )2+ s 2, 解得R m = 5 m.s 3在图甲中由几何知识有：sin a=；7 — R 5'得 a= 37°对应小球运动时间最短，为 {180 °+ 37 °T 217 ■ t min = 360 = n 180 s.x -^xjr x总K普X 离I X Xx"^X.J X? JXr X i X f}\XX 實£甲当 n = 1 时，可得：(h — 3R)2 + s 2= R 2, 解得：R 1 = 3 m , R ?= 3.75 m.R 1 = 3 m 时由如图乙中的②运动轨迹可知:450 ° 5 n运动时间t = = — s.o 2aKK K K［答案］(1)10 N/C ，方向竖直向下 217 n 5 n 487 n (2)180 s ， 2 s ， 180 s［方法总结］求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧： （1） 分析题目特点，确定题目多解性形成原因.（2） 作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）.⑶若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解 出现的条件.以练促学弥补短板［学生用书P 171］1. （多选）（2015河南商丘模拟）一质量为m ,电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为 B 的 匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动， 若磁场方向垂直于它的运动 平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍， 则负电荷做圆周运动的角速度可能是 （ ）A 4qBB.3^mm C 2qBDqB .m. m解析：选AC.依题中条件"磁场方向垂直于它的运动平面 这两种可能方向相反. 力的方向也是相反的.2 知4Bqv = mr-，得v = 4BqR，此种情况下，负电荷运动的角速度为R ~2 所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有 2Bqv= m 首,R 的角速度为3= v =迦，应选AC.R mR 2= 3.75 m 时运动时间最长，如图乙中的轨迹①所示，由几何知识有: cos 8= =_,3.75 5所以8= 37贝V t max = (360 °+ 90 °+ 37° = 487 n360 ° = 180s. 所以时间的可能值为:217 n 5 n 487 n ----- s — s 180 ， 2 ，180 s. ”,磁场方向有两种可能，且在方向相反的两个匀强磁场中， 由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时， 根据牛顿第二定律可翌坐，此种情况下，负电荷运动的角速度为 3= v当负电荷 m R mv =誉，此种情况下，负电荷运动 （重力不计）•则下列说法正确的是（）X X K XXXy x x xXA .B .C .D . 若 若 若若 v 一疋， v 一疋， 0越大，则粒子在磁场中运动的时间越短0越大，则粒子在离开磁场的位置距 O 点越远v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短选A.由左手定则可知，带正电的粒子向左偏转•若 场中运动的时间越短，选项 点最远，选项B 错误；若 在磁场中运动的角速度与 解析: v 一定，0越大，则粒子在磁 A 正确；若v 一定，0等于90°时，粒子在离开磁场的位置距 O0—定，粒子在磁场中运动的周期与 v 无关，由3= 2」可知粒子v 无关，选项C 、D 错误.〔讲座训练］2. （单选）（2015安徽师大附中模拟）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成0角（0< 0<冗）以速率v发射一个带正电的粒子3.如图所示，虚线0L与y轴的夹角为0= 60 °在此角范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.—质量为m 、电荷量为q(q>0)的粒子从 左侧平行于x 轴射入磁场，入射点为 M.粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R.粒子离开磁场后 的运动轨迹与x 轴交于P 点(图中未画出)，且OP = R.不计重力.求 粒子在磁场中运动的时间.解析：根据题意，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动轨 迹交虚线OL 于A 点，圆心在y 轴上的C 点，AC 与y 轴的夹角为a ； 粒子从A 点射出后，运动轨迹交 x 轴于P 点，设AP 与x 轴的夹角2为B 如图所示.有qvB = m^,周期为T = 空，由此得T =2n ，.v qB过A 点作x 、y 轴的垂线，垂足分别为 B 、D.由几何知识得 AD = Rs in a, OD = AD cot 60 ,°BP = OD cot OP = AD + BP , a=伏联立以上五式得到 1 。
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带电粒子在磁场中的多解问题
山东省东营市仙河镇胜利第62中学（257237）高级教师 万洪禄
带电粒子在磁场中的运动并不都是唯一解问题。
导致多解的因素比较多。
由于篇幅所限，本文只剖析由于带电粒子的电性、速度和磁场方向不确定引起的多解的问题。
一、带电粒子电性引起的多解
带电粒子可能带正电，也可能带负电。
在没指明粒子电性时，就要分别从带正电和负电两种情况分析问题，这样就导致问题两解。
例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
解析 由于不知道粒子带的电性，故有带正电和负电
两种情况.如果带正电，则粒子向左做圆周运动，图2中
左上部分；如果带负电， 则粒子也做圆周运动，图2中
右下部分。
根据2v qvB m R =和2R T v π=，解得2m T qB π= 带正电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨
迹对应的圆心角是1106
θπ=，故运动时间 1155263m t T T qB
θππ=== 带负电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是213θπ=
，故运动时间221263m t T T qB
θππ===。
答案
533m m qB qB ππ或 点拨 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，要先根据初始条件和洛伦兹力方向并结合是否具有对称性，画出粒子向哪个方向偏转的圆周运动轨迹。
计算粒子在磁场中运动时间时，要先
图1
找到轨迹对应的圆心角θ，然后在根据2=)22m t T qB
θθπππ=
（计算时间。
二、带电粒子速度引起的多解 粒子速度大小不确定，或粒子速度大小与其他物理量的关系不确定，或者粒子的速度方向不确定，这三个方面都可能引起多解。
（1） 粒子速度方向引起多解
例2 如图3所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面（未画出）。
一群比荷为m
q 的负离子体以相同速率v 0（较大），由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力) （ ）
A ．离子飞出磁场时的动能一定相等
B ．离子在磁场中运动半径一定相等
C ．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
解析 本题是离子在圆形有界磁场中的运动问题，离子轨迹半径0mv r qB
=，据题知B 对；因为速度较大，故半径较大，要大于圆形磁场半径，这样在轨迹半径一定时，轨迹的弧长越长，在磁场中运动时间越长，轨迹最大弧长对应的弦只能等于有界磁场的直径，所以由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长，射出时偏转角最大，故C 对D 错；因为洛伦兹力不做功，故每个离子的动能不变，而粒子速度相同，但离子质量不一样，所以飞出磁场时的动能不一定相等，A 错。
答案 BC
点拨 洛伦兹力不做功，洛伦兹力不改变粒子的速率，只改变运动方向。
（2）确定运动半径根据2v qvB m r =确定，即最终根据mv r qB
=确定。
周期一定时，偏转角大对应的运动时间长。
（2）速率引起的多解
例3 如图4所示，一质量为m ，电荷量为q 的带正电绝缘体物块位于高度略大于物块高的水平宽敞绝缘隧道中，物块上、下表面与隧道上、下表面的动摩擦因数均为μ，整个空间中存在垂直纸面向里，磁感应强度为B 的水平匀强磁场。
现给物块水平向右的初速度v 0，空气阻力忽略不计，物块电荷量不变，隧道足够长，则整个运动过程中，物块克服阻力做功可能是( )
P
Q
图3
A ．0
B ．322022122m g mv q B
- C ．2012mv D ．322022122m g mv q B - 解析 物块在竖直方向上受力情况取决于竖直向上的洛伦兹力0F qv B =，当0qv B mg <时，物块对隧道下表面有压力，滑动摩擦力大于零，对物块做负功，物块速度减小，洛伦兹力随之减小，物块对隧道下表面的压力增大，滑动摩擦力增大，直到物块速度 减小到零为止，此时物块克服阻力做功消耗掉全部动能，C 正确；当0qv B mg =时，滑动摩擦力为零，物块所受合力总为零，做匀速运动，克服阻力做功为零，A 也对；当0qv B mg >时，物块先是对隧道
上表面有压力，滑动摩擦力做负功，物块速度减小，当物块速度减小到某个值/v 时，/
qv B mg =，此后由于物块对上、下表面均无压力，滑动摩擦力为零，物块做匀速运动，所以
2/2001122f W mv mv =-=32
2022122m g mv q B
-，B 正确；“克服阻力做功”必须用正值表示，D 错误。
答案 ABC
点拨 带电粒子有速度且不与磁场平行时，粒子受到洛伦兹力。
洛伦兹力是变力且不做功，但它可以改变带电粒子的运动状态，使粒子最后处于静止或匀速运动。
正是由于洛伦兹力不做功，在应用动能定理时，可以不考虑洛伦兹力而列动能定理来计算其他力做的功。
三、磁场方向引起的多解
例4 如图5所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T 0，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示。
现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）
A ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0
B ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0
C ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0
D ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0
解析 匀速圆周运动、库仑定律、洛仑兹力、左手定则等知识列出：
图4
+ v 图5
未加磁场：22204Qq k mr r T π=，磁场指向纸里：2
221
4Qq k qvB mr r T π-=，磁场指向纸外：2
222
4Qq k qvB mr r T π+=，比较上述式子，10T T >，20T T <，故选项AD 正确。
答案 AD
点拨 根据提供的向心力等于需要的向心力列方程带分析。
无磁场时，只有库仑力提供向心力；有磁场时，是库仑力与洛伦兹力的合力提供向心力。