带电粒子在磁场中运动的多解问题
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题含答案
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题学习目标会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一带电粒子在磁场中运动的多解问题造成多解问题的几种情况分析类型分析图例带电粒子电性不确定带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解例1 (多选)(2022·湖北卷) 在如图1所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。
离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。
已知离子比荷为k ，不计重力。
若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )图1A.13kBL ，0° B.12kBL ，0° C.kBL ，60° D.2kBL ，60°答案 BC解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图甲所示，甲根据几何关系，有R ＝L ，q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBLm ＝kBL ，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。
当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，乙因为上下磁感应强度均为B ，则根据对称性有R ＝12L ，根据洛伦兹力提供向心力有q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBL 2m ＝12kBL ，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
y
A2
P (x,y)
sin FA1 x 2 R1
A1 A2 R2 R1
⑨ OE
解得,cosθ=0.6 R1 =5.0cm ⑩
d a
Ⅰ
E=2.5 ×104 V/ m
Ⅱ
θ FA1 D
θ C
x b
当匀强电场旳场强E=2.5 ×104 V/ m 或
E
6.4 104 n2
V/m
(n = 2, 3, 4…)时，粒子能经过坐标原点O．
若qv0B>mg则f=μ(qv0B-mg) 滑环作减速运动，
当减速到v1时，若qv1B＝mg f1=0则以v1作匀速运动
Wf=1/2mv02 - 1/2mv12 < I2/2m 所以选项A C D正确。
qv0B qv1B f
mg mg
4. 运动旳反复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场旳空间运动时，
v2 qvB1 m R1
②
qvB2
m
v2 R2
③
（1）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最终能经过坐标原 点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周 后后就离开磁场进入电场，反复运动直到经过坐标原 点O，粒子旳一种运动轨迹如图所示，有
n ∙ 2R1 =x
④
y
R1 ≤d
⑤
解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4…) ⑥
O
Px
分析：要使粒子能经过P点，其初始位置必须在匀强 电场区域里。因为没有明确粒子所在位置，讨论如下：
（1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y 轴从原点O进入磁场做半径为R旳匀速圆周运动。因 为粒子可能偏转一种、二个……半圆到达P点，
故 a 2nR( n 1，2… )
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。
【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
带电粒子在磁场中运动多解问题归类分析
带电粒子在磁场中运动多解问题归类分析作者：刘德华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第05期新课程改革要求着力培养学生的创新能力，近年高考中经常出现多解问题。
要解答好多解问题，要求学生具有相应的发散性思维能力。
带电粒子在磁场中运动类问题是高考中常出现的问题，分析研究带电粒子在磁场中运动的多解问题，提高考生对这类题的解题能力，提高考生的高考得分能力，对广大高三师生而言，具有重要的意义。
造成带电粒子在磁场中运动时多解的原因主要有以下几种：1.带电粒子所带电荷电性不确定造成多解；2.带电粒子运动方向不确定造成多解；3.带电粒子速度大小不确定造成多解；4.磁场方向不确定造成多解；5.临界状态不确定造成多解；6.粒子运动的周期性造成多解。
下面结合例题进行分类分析。
一、带电粒子带电性的不确定造成多解图1电荷有正有负，有不少试题，没有明确题中所说的带电粒子是带正电荷，还是带负电荷，这时解题者应当分别讨论粒子带正电荷和带负电荷两种情况，从而保证试题解答的完整性。
分析：由于运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向与其带电性质有关，所以带电小球第一次经过最低点时，所受洛伦兹力的方向就有可能不同，在分析时通过画出第一次经过最低点时的受力示意图，让学生深刻理解多解的情况，拓宽学生思维的广度和深度。
二、速度方向的不确定造成多解速度具有方向性，有不少试题，没有明确题中所说的研究对象的运动方向，这时解题者应当考虑带电粒子速度方向的不确定所造成的洛伦兹力方向的多样性，以防漏解。
变式：上题中，若小球带正电，则小球通过最低点时，悬线对小球的拉力多大？分析：由于运动电荷在磁场中所受洛伦兹力方向与其运动方向有关，所以小球经过最低点时，所受洛伦兹力的方向就有两种，通过发散性思维，在分析时画出从A点摆到C点时以及从B点回到C点时小球的受力情况（如图2甲、乙所示），从而得出小球在最低点时，拉力的两种情况。
三、速度大小的不确定造成多解运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小与其速度大小有关，有不少试题，没有明确题中所说的带电粒子在磁场中初速度的大小，这时解题者应当考虑初速度大小的不确定性造成的初始时刻洛伦兹力的大小存在多种情况。
带电粒子在磁场运动的多解问题
答案
若粒子带正电，则运动时间为
2m(π－θ) 2mθ ，若粒子带负电，则运动时间为 qB qB
2．磁场方向不确定形成多解 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时 针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面， 电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷 量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运 动的角速度可能是(AC )
• 2．磁场方向不确定形成多解 • 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在 匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运 动，磁场方向垂直于它的运动平面，电 子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁 感应强度为B，不计重力，则电子运动 的角速度可能是( ) 4Be 3Be 2Be Be A. m B. m C. m D. m
答案
若粒子带正电，则运动时间为
2m(π－θ) 2mθ ，若粒子带负电，则运动时间为 qB qB
2．磁场方向不确定形成多解 例2.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时 针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面， 电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷 量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运 动的角速度可能是( )
FT1＝3mg－2mgcos α－qB 2gL1－cos α. FT2＝3mg－2mgcos α＋qB 2gL1－cos α.
例1.如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入， 两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距 离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间 射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量 为e，质量为m)．
例1.如图所示，一带正电的质子以速度v0从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀 强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出， 试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带 电荷量为e，质量为m)．
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
透析带电粒子在匀强电场中的多解问题及成因
浅谈带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因太和中学物理组 潘正海摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理电磁学的重点内容之一，它所涉及的内容较多，难度较大，特别是多解问题，尤其复杂，对学生来说是个难点，本文就阐述了带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因，并就例题分析提出了自己的一点感想，以便更好的掌握和解决该问题提供一个参考。
关键词：带电粒子，多解性，周期性，临界状态。
引言：在匀强磁场，带电粒子受到洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由于带电粒子电性的不确定、电荷量多少的不确定、磁场方向的不确定、临界状态的不唯一、以及运动的周期性都会导致多解、下面通过例题加以分析。
一、带电粒子电性不确定形成的多解众所周知，自然界中的带电粒子只有两种，一种带正电，另一种带负电，由于很多题目没有告诉带电粒子的电性，那么在解题时就要考虑带电粒子的正负不同情况，从而带来了问题的多解性。
【例1】如图1所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为q 的带电粒子在xoy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度为v 0与x 轴夹角为θ=60º，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？× × × × × × × × × × × × × × × ×yx图1图2θ1Oy xO 1AO 2BR Rθ2θ1 v 0解析 若带电粒子带负电，进入磁场后做顺时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 1，粒子向x 轴偏转，并从A 点离开磁场。
若带电粒子带正电，进入磁场后做逆时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 2，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开电场。
不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为qBmv R 0=。
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
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Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
第53课时 匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
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2.(2016· 海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30° ，OA 的长度为 L。在△OCA 区 域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。 质量为 m、 电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂 直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。 (1)求磁场的磁感应强度的大小； (2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上 的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和； (3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场 5 内运动的时间为 t0，求粒子此次入射速度的大小。 3
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
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(2)设当 v0＝v3 时，粒子恰好打不到荧光屏 上， 则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点 A 竖直向上射出磁场。由此可知，粒子在磁场中 的轨道半径 r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力， v32 得 qv3B＝m ，解得 v3＝1.5×106 m/s。由题意 r3 可知，当 v0>1.5× 106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
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(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条 件的粒子轨迹。 (2)运用几何关系，求得粒子运动半径。 (3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
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[集训冲关]
1.(多选)(2017· 常德月考)如图所示，宽为 d 的 有界匀强磁场的边界为 PP′、 QQ′。 一个 质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示 方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度 大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ′射出，粒子的入射速度 v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计) qBd A. m 2qBd C. 3m 2qBd B. m qBd D. 3m ( )
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
带电粒子在磁场中的运动题型归类
作出图示的二临界轨迹
，故电子击中档板的范围在P1P2间；对SP1弧由图知
OP1 (2L) 2 L2 3L
对SP2弧由图知
OP2 (4L) 2 L2 15 L
【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临 半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系 确定范围。
（1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生 的偏转角
A点与O点相距
若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角 B点与O点相距
（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能 带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不 同，导致形成双解。
图9-15
图9-16
【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆 心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正 电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转， 并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷， 其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。 【解析】粒子运动半径： 。如图9-16，有 带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为
有:
；
R0
d 1 Cos
故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0 mv0 d 即: R
qB 1 Cos
有:
。
v0
qBd m(1 Cos)
由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点 上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受 洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG， 且由图知: dSin
专题57 带电粒子在磁场中的运动-2025版高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题57带电粒子在磁场中的运动导练目标导练内容目标1洛伦兹力的大小方向目标2带电粒子在有界磁场中的运动目标3带电粒子在磁场中运动的多解问题【知识导学与典例导练】一、洛伦兹力的大小方向1.洛伦兹力的大小和周期（1）大小：qvB F =（v B ⊥）；（2）向心力公式：rmv qvB 2=；（3）周期：22r m T v qB ππ==2.洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
3.洛伦兹力的方向(1)判断方法：左手定则(2)方向特点：洛伦兹力的方向一定与粒子速度方向和磁感应强度方向所决定的平面垂直(B 与v 可以有任意夹角)。
注意：由左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
【例1】如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B ；在桌面上放有内壁光滑、长为L 的试管，底部有质量为m 、带电量为q 的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v 向右做匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（）A ．小球带负电，且轨迹为抛物线B ．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至C ．洛伦兹力对小球做正功D ．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL 【答案】BD【详解】A ．小球能从试管口处飞出，说明小球受到指向试管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电；小球沿试管方向受到洛伦兹力的分力y F qvB =恒定，小球运动的轨迹是一条抛物线，故A 错误；B ．由于小球相对试管做匀加速直线运动，会受到与试管垂直且向左的洛，则拉力应增大伦兹力的分力x y F qv B =小球运动到中点时沿管速度为y v =F =持匀速运动，故B 正确；C ．沿管与垂直于管洛伦兹力的分力合成得到的实际洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C 错误；D ．对试管、小球组成的系统，拉力做功的效果就是增加小球的动能，由功能关系F k W E qvBL=∆=故D 正确；故选BD 。
专题 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），
从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板
Lv
射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速
+q , m
B
度v应满足什么条件？
L 原因3.临界状态不唯一形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
原因1.磁场方向不确定形成多解
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 的原因？
例2. 如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为
m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射
入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，
y
试分析计算：
B
带电粒子在磁场中运动时间多长？
60º v
原因2.带电粒子电性不确定形成多解
60º
O 120º
x
任务二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
思考：造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
的原因？
O
例3.如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸
面向内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质
例4.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反
的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿
∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电
荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列
哪一速度发射时不能通过D点
qBl A. 4m
qBl B. 2m
√3qBl Cபைடு நூலகம் 4m
例1.如图所示，A点的粒子源在纸面内沿垂直OQ方向向上射出一束带负 电荷的粒子，粒子重力忽略不计.为把这束粒子约束在OP之下的区域， 可在∠POQ之间加垂直纸面的匀强磁场.已知OA间的距离为s，粒子比荷 为 q/m ，粒子运动的速率为v，OP与OQ间夹角为30°.则所加磁场的磁感 应强度B满足条件？
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.(2)轨迹圆圆心——共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上.2.方法界定以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.[典例1] 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是( )A.若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t 0B.若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为5t 03C.若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为5t 03D.若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为2t 03[解析] 作出从ab 边射出的轨迹①、从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和从ad 边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.由图可知，从ab 边射出经历的时间一定不大于5t 06；从bc 边射出经历的时间一定不大于4t 03；从cd 边射出经历的时间一定是5t 03；从ad 边射出经历的时间一定不大于t 03，C 正确.[答案] C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R ＝mv 0qB.如图所示.(2)轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上. 2.方法界定 将一半径为R ＝mv 0qB的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”. [典例2] 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行.在距ab 为l ＝16 cm 处，有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s.已知α粒子的比荷q m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab 板上被α粒子打中区域的长度.[解题指导] 过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可. [解析] α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径，有qvB ＝m v 2R由此得R ＝mv qB代入数值得R ＝10 cm ，可见2R >l >R因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P 1点的位置，可作平行于ab的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1.即：NP 1＝R 2－（l －R ）2＝8 cm再考虑N 的右侧.任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，在N 点右侧取一点P 2，取SP ＝20 cm ，此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2＝（2R ）2－l 2＝12 cm 所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2 代入数值得P 1P 2＝20 cm. [答案] 20 cm突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题考向1 带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.[典例3] 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？[解题指导] 由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN ′射出的临界条件是轨迹与NN ′相切.[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，则轨道半径R ＝mv Bq又d ＝R －R2解得v ＝（2＋2）Bqdm.若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则轨道半径R ′＝mv ′Bq又d ＝R ′＋R ′2解得v ′＝（2－2）Bqdm[答案]（2＋2）Bqd m (q 为正电荷)或（2－2）Bqdm(q 为负电荷)考向2 磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.[典例4] (多选)一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(不计重力)( )A.4qB mB.3qBmC.2qBmD.qB m[解析] 根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bqm ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C. [答案] AC考向3 临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图所示.[典例5] (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A.使粒子的速度v <Bql 4mB.使粒子的速度v >5Bql4mC.使粒子的速度v >Bql mD.使粒子的速度v 满足Bql 4m <v <5Bql 4m[解析] 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎪⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql4m，故A 、B 正确.[答案] AB考向4 带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.[典例6] 如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ；x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E .屏MN 与y 轴平行且相距L .一质量m 、电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ [解题指导] 解答本题可分“两步走”： (1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r 和L 的关系.[解析] (1)在电场中，电子从A →O ，动能增加eEs ＝12mv 2在磁场中，电子偏转，半径为r ＝mv 0eB据题意，有(2n ＋1)r ＝L所以s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…).(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t ＝(2n ＋1)2s a ＋T 4＋n T 2，其中a ＝Ee m ，T ＝2πm eB整理后得t ＝BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…).[答案] (1)s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…) (2)BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…) 专项精练1.[放缩法的应用]如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的粒子，恰好从e 点射出，则( )A.如果粒子的速度增大为原来的两倍，将从d 点射出B.如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C.如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的两倍，也将从d 点射出D.只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短答案：A 解析：作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d 点射出时，轨道半径增大为原来的两倍，由半径公式R ＝mvqB可知，速度也增大为原来的两倍，选项A 正确，显然选项C 错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从f 点射出，选项B 错误；粒子的周期公式T ＝2πmqB，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e 、d 射出时所用时间相等，从f 点射出时所用时间最短，故D 错误.2.[旋转法的应用]如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x >0区域内，有磁感应强度B ＝1.0×10－2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P (10,0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速率v ＝104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m ＝1.6×10－25kg ，电荷量为q ＝1.6×10－18C ，求带电粒子能打到y 轴上的范围.答案：－10～10 3 cm 解析：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：qvB ＝m v 2R解得：R ＝mv qB＝0.1 m ＝10 cm如图所示，当带电粒子打到y 轴上方向的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点即为粒子能打到y 轴上方的最高点.因OP ＝10 cm ，AP ＝2R ＝20 cm则OA ＝AP 2－OP 2＝10 3 cm当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于B 点时，若圆心再向左偏，则粒子就会从纵轴离开磁场，所以B 点即为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得OB ＝R ＝10 cm ，综上所述，带电粒子能打到y 轴上的范围为－10～10 3 cm.3.[带电粒子在磁场中运动的临界问题]如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电荷量为q ＝1.0×10－6C 的带正电粒子从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).(1)求带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件. 答案：(1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T解析：(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理有qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s.(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB ＝mv 2R得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m故圆心一定在x 轴上，轨迹如图甲所示 由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53° 故OQ ＝0.90 m.甲乙(3)带电粒子恰不从x 轴射出(如图乙所示)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° ① R ′＝mv qB ′②由①②并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”同样正确). 4.[带电粒子在磁场中运动的多解问题]如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向.甲 乙有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响.求：(1)磁感应强度B 0的大小；(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值. 答案：(1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…)解析：(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即qv 0B 0＝mv 2r①做匀速圆周运动的周期T 0＝2πrv 0②联立两式得磁感应强度B 0＝2πmqT 0.③(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，v 0的方向应如图所示，有r ＝d4④当在两板之间正离子共运动n 个周期，即nT 0时，有- 11 - r ＝d 4n(n ＝1,2,3，…)⑤ 联立①③⑤求解，得正离子的速度的可能值为v 0＝qB 0r m ＝πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…).。
磁场多解问题(含答案)
磁场多解问题磁场多解问题一．解答题（共9小题）1．如图所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电量为+q的带正电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60°，试分析计算：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标？（2）带电粒子在磁场中运动时间？2．（2006•南通一模）如图所示，现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x 轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于x0y平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知＜a＜，L＜b．试求磁场的左边界距y轴的可能距离．（结果可用反三角函数表示）3．（2004•常州二模）如图（甲）所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔OO′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图（乙）所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0．不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．4．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．5．（2008•淮安模拟）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间．6．（2007•清远一模）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度V0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积？（2）粒子在磁场中运动的时间？（3）b点到O点的距离？7．（2007•东台市模拟）如图所示，在纸平面内建立的直角坐标系xoy，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点P（L，L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点Q（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力．求（1）电子经过Q点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S．8．如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．（2）该粒子在磁场里运动的时间t．（3）该正三角形区域磁场的最小边长．9．（2009•武昌区模拟）在xOy平面内，有许多电子从坐标原点O不断以大小为v0的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过该磁场后都能平行于y轴向y轴负方向运动．已知电子的质量为m、电荷量为e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开O点即进入磁场．）（1）求电子做作圆周运动的轨道半径R；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；（3）求该磁场的最小面积．磁场多解问题磁场多解问题参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．如图所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m，电量为+q的带正电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60°，试分析计算：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标？（2）带电粒子在磁场中运动时间？解答：解：（1）根据qvB=得，粒子在磁场中运动的半径r=．根据几何关系知，粒子在磁场中运动的圆心角θ=60°0A=r=．所以粒子离开磁场时位置坐标为（0，）（2）粒子在磁场中运动的周期T=则粒子在磁场中运动的时间t=．答：（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标为（0，）（2）带电粒子在磁场中运动时间为．2．（2006•南通一模）如图所示，现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x 轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于x0y平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行，上、下足够宽（图中未画出）．已知＜a＜，L ＜b．试求磁场的左边界距y轴的可能距离．（结果可用反三角函数表示）解答：解：设电子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，则eBv0=m…①解得r=…②（1）当r＞L时，磁场区域及电子运动轨迹如下图所示，由几何关系有sinθ=…③则磁场左边界距坐标原点的距离为x1=b﹣L﹣a﹣r（1﹣cosθ）]cotθ…④x1=b﹣L﹣a﹣（1﹣cosθ）]cotθ（其中θ=arcsin）…⑤（2）当r≤L时，磁场区域及电子运动轨迹如下图所示，由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为x2=b﹣…⑥解得x2=b﹣．答：磁场的左边界距y轴的可能距离为b﹣L﹣a﹣（1﹣cosθ）]cotθ（其中θ=arcsin）；也可能为b﹣．3．（2004•常州二模）如图（甲）所示，MN为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔OO′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图（乙）所示．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0．不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．解答：解：（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动的周期，联立两式得磁感应强度，（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期，即T0，则两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则R=，联立上式可得，正离子的速度=答：（1 ）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值为（n=1，2，3…）．4．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．解答：解：（1）由qvB=m及T=得：微粒在磁场中运动的周期T=．（2）令n表示带电粒子在磁场中运动时的圆心个数，则由几何关系可知，微粒运动的轨道半径r应满足：r=Rtan，（n=2，3，4，5，…），结合（1）可知，v==，（n=2，3，4，5，…）；相应的运动轨迹所对应的圆心角φ满足：①当n为偶数时，φ=（2π﹣）+=nπ；（n=2，4，6，8，…）②当n为奇数时，φ=（2π﹣）+=；（n=3，5，7，9，…）对应的运动时间t满足：①当n为偶数时，t==，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t==；（n=3，5，7，9，…）（3）由几何关系可知，r n+≤2R，（n=2，3，4，5，…）；得：当n=3时，r可取满足条件的最大值，r max=，相应的粒子速度v max=．相应的运动轨迹如图所示．答：（1）微粒在磁场中运动的周期为；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为，（n=2，3，4，5，…）；对应的运动时间；①当n为偶数时，t==，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t==；（n=3，5，7，9，…）（3）速度的最大值是．5．（2008•淮安模拟）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间．解答：解：（1）由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv0B得：E=v0B（2）根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足L=nx其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或．设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：又牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则有：由①②③式得：，n=1、2、3、…（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为，，其中n=1、3、5、…当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为，其中n=2、4、6、…答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q 点，则场强为E=v0B；（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足：，n=1、2、3、…（3）则第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间当n取奇数时，，其中n=1、3、5、…当n取偶数时，，其中n=2、4、6、…．6．（2007•清远一模）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度V0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积？（2）粒子在磁场中运动的时间？（3）b点到O点的距离？解答：解：（1）带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，则其转动半径为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为：要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为L的一半，即：其面积为（2）带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为120°，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的，即有t===（3）带电粒子从O处进入磁场，转过120°后离开磁场，再做直线运动从b点射出时Ob距离：答：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积是（2）粒子在磁场中运动的时间为．（3）b点到O点的距离是．7．（2007•东台市模拟）如图所示，在纸平面内建立的直角坐标系xoy ，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场．现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点P（L，L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点Q（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力．求（1）电子经过Q点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S．解答：解：（1）电子做类似平抛运动，有：解得：经过Q 点的速度大小为：与水平方向夹角为：（2）电子进入第四象限先做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，利用磁场速度偏转角为120°．由几何关系得解得由向心力公式解得方向垂直于纸面向里,矩形磁场右边界距y轴的距离下边界距x轴的距离最小面积为答：（1）电子经过Q点的速度v为，与水平方向夹角为30°；（2）该匀强磁场的磁感应强度B为，磁场的最小面积S为．118．如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC 边上的M点以速度v 垂直于BC边飞入正三角形ABC ．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．（2）该粒子在磁场里运动的时间t．（3）该正三角形区域磁场的最小边长．解答：解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：qvB=，且周期，得轨道半径，周期：由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：；（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°则正三角形区域磁场的最小边长为：，解得答：（1）磁场区域及粒子运动的轨迹如上图．（2）该粒子在磁场里运动的时间；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；129．（2009•武昌区模拟）在xOy 平面内，有许多电子从坐标原点O不断以大小为v0的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过该磁场后都能平行于y轴向y轴负方向运动．已知电子的质量为m、电荷量为e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开O点即进入磁场．）（1）求电子做作圆周运动的轨道半径R；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；（3）求该磁场的最小面积．解答：解：（1）设电子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：：（2）如图所示，初速度沿y轴正方向的电子运动的轨迹构成磁场的“最小面积”对应的上边界a，其表达式为：（x﹣R）2+y2=R2①，（其中0≤x≤2R，0≤y≤R）当电子与x轴成α角入射时，电子从坐标为（x ，y）的P点射出磁场，则所有出射点的方程有：（x﹣R）2+y2=R2②，上式即为磁场的右下边界b．当电子与x轴成α=0角入射时，电子的运动轨迹构成磁场的左下边界c，其表达式为：x2+（R﹣y）2=R2③由①②③所包围的面积就是磁场的最小范围，如图所示：（3）最小面积：=答：（1）电子做作圆周运动的轨道半径；（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围如图；（3）该磁场的最小面积为．13。
带电粒子在匀强磁场中的运动(3)
V A
P O
（2）计算粒子在磁场中的运动时间：
B 先判定运动路径圆弧所对应的
30 V0
圆心角θ , 再根据
求得时间t 。
t 3600 T
d
能力·思维·方法
【例5】如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，一 个质量为m，带电量为-q的的粒子，以速度v从O点射 入磁场，角已知，粒子重力不计，求
(1)粒子在磁场中的运动时间.
T 2m
说明: v
qB
1、轨道半径和粒子的运动速率成正比。
2、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的 周期和运动速率无关。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析 步骤：一找圆心，二找半径，三找周期或时间 （一）圆心的确定
（１）已知入射方向和
出射方向,可以通过入射
O
点和出射点分别作垂直与
入射方向和出射方向的直
U
思路点拨：由于磁场边界的限制，粒子从 ab 边射出磁场时速度有一定的范围.当 v0 有最小 值 v1 时，粒子速度恰与 ab 边相切；当 v0 有最大值 v2 时，粒子速度恰与 cd 边相切，如图 8－3 －8 所示.
图 8－3－8
1 解析：（1）当 v0 有最小值 v1 时，有：R1+R1sin 30°= 2 l
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子的电性不确定形成多解 受洛仑兹力作用的带电粒子,可能带正电荷,也可 能带负电荷,在相同的初速度下,正、负粒子在磁 场中的轨迹不同，导致形成双解。
洛伦兹力演示仪
• 工作原理：由电子枪发出的电子射线可以使管 的低压水银蒸汽发出辉光，显示出电子的径迹。
两个平行的通电环形线圈可产生沿轴线方向的匀强磁场
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带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
如图1甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.
图1
2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.
3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图2甲所示．
图2
4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示．
典例1(多选)如图17所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()
图17
A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场
B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23
t 0，则它一定从ad 边射出磁场 C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54
t 0，则它一定从bc 边射出磁场 D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场
答案 AC
解析 如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨
迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面
以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可
知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56
t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53
t 0. 典例2 如图18所示，在坐标系xOy 中，第一象限内充满着两个匀强磁场a 和b ，OP 为分界线，在磁场a 中，磁感应强度为2B ，方向垂直于纸面向里，在磁场b 中，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外，P 点坐标为(4l,3l )．一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从P 点沿y 轴负方向射入磁场b ，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O ，不计粒子重力．求：
图18
(1)粒子从P 点运动到O 点的最短时间是多少？
(2)粒子运动的速度可能是多少？
答案 (1)53πm 60qB (2)25qBl 12nm
(n ＝1,2,3，…)
解析 (1)设粒子的入射速度为v ，用R a 、R b 、T a 、T b 分别表示粒子在磁场a 中和磁场b 中运动的轨道半径和周期，则有
R a ＝m v 2qB ，R b ＝m v qB ，T a ＝2πm 2qB ＝πm qB ，T b ＝2πm qB
当粒子先在磁场b 中运动，后进入磁场a 中运动，然后从O 点射出时，粒子从P 点运动到
O 点所用的时间最短，如图所示．根据几何知识得tan α＝3l 4l ＝34
，故α＝37°
粒子在磁场b 和磁场a 中运动的时间分别为
t b ＝2×(90°－α)360°T b ，t a ＝2×(90°－α)360°
T a 故从P 点运动到O 点的时间为
t ＝t a ＋t b ＝53πm 60qB
(2)由题意及上图可知
n (2R a cos α＋2R b cos α)＝(3l )2＋(4l )2
解得v ＝25qBl 12nm
(n ＝1,2,3，…)．。