带电粒子在磁场中的运动(动画).

①圆心的确定 基本思路：圆心一定在与速度方向垂直 的直线上，通常有两种方法： a、两个速度方向垂直线的交点。 O （常用在有界磁场的入射与出射方向 已知的情况下）
V
b、一个速度方向的垂直线和一条弦的 中垂线的交点
O
②半径的确定
主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、 边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向 夹角θ ，磁场宽度为d，则有关系式r=d/sinθ ，如图所示。再 例如：已知出射速度与水平方向夹角θ 和圆形磁场区域的半径r， 则有关系式R=rcot ,如图所示。 2
mv BqR 解析： 要使粒子到达 P 点， 粒子的运动要满足 2nR＝L(n＝1,2,3…)， 由 R＝ 得， v＝ Bq m BqL ＝ (n＝1,2,3…)． 2nm
例9．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在 小孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒 中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，要使带电粒 子与圆筒内壁碰撞多次后仍从s点射出，求正离子在磁 场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电 量损失，不计粒子的重力。
t T 或t T 360 2

注意：①从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边
界的夹角（弦切角）相等。②带电粒子沿径向射入圆形磁场区 域内，必从径向射出。③关注几种常见图形的画法，如图所示：
1、直线边界（进出磁场具有对称性）
2、平行边界（存在临界条件）
3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
o
圆心在磁场原边界上 B
d
B
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
3．临界状态不惟一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能 穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解．
4．运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多 解．如图所示．
③运动时间的确定
先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的 速度的夹角θ，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间 的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，它等于弦切角 的2倍，即θ=2α=ωt,如图所示。 然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周 m 的时间为 T 2qB ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时， 其运动时间由下式表示：
答案：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足 3(2 3)aqB v m 粒子从距Ａ点 (2 3 3)a ~ 3a 的 EG 间射出
G
3aqB m
F
E
o
2
R2
R1 o1
v1
D
针对训练：质量为 m、电荷量为 e 的电子以速度 v0 沿 AB 边射入边长为 a 的等边三角 形的匀强磁场区域中，如图所示．为使电子从 BC 边穿出磁场，磁感应强度 B 的取值范围为 ( ) 3mv0 3mv0 A． B> B．B< ea ea 2mv0 2mv0 C．B> D．B< ea ea
例8、如图(甲)所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各 有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如 图(乙)所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、 带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0， 不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力．求：
（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离. （2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离 子入射方向之间的夹角θ 跟t的关系是 qB t 2m O v θ P S B
例2．如图,真空室内存在匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面向里,磁 感应强度的大小B=0.60T,磁场 内有一块平面感光板ab,板面与 磁场方向平行,在距ab的距离 L=16cm处,有一个点状的放射 源S,它向各个方向发射α粒子,α 粒子的速度都是v=4.8x106 m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比 q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图 纸平面中运动的α粒子,求ab上 被α粒子打中的区域的长度.
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周 运动其轨迹与另一边界相切；③速度较 大时粒子作部分圆周运动后从另一边界 飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
例3、如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂
直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
针对训练 如图所示，MN表示真空中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场 方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，一质量为m，电荷量为q的粒子从平板上的 狭缝O处以垂直于平板的速度射入磁场区域．已知粒子与平板的碰撞无电荷量及能量 损失，要使粒子最后打到 P点，已知P到O的距离为L，不计重力，求此粒子的速度可 能值．
0 P P r 2 r cos 30 43.7cm 1 2
P1
s
N
P2
b
针对训练．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁 场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多 质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒 子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的 A?
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后 垂直原边界飞出；
O O1
B
S
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场 边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹 共弦，则θ1＝θ2）。
O1
υ
B
例1、 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。 正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中 射出时相距多远？射出的时间差是多少？ mv B r eB 2mv d 2r r r 300 M N eB
O V0
d
c
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例6．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存 在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电 量为q、质量为m的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方 向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率 应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？
解:粒子经过与圆筒发生n（n=2,3,4……） 次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场 中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧， 每段圆弧的圆心角为
.
s
a
L
b
解:粒子带正电,故在磁场中沿逆 时针方向做匀速圆周运动,用R表 示轨道半径,有
L
a
mv r 16cm qB
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨 迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在 图中ab上侧与ab相切,则此切点P1 就是该粒子能打中的上侧最远点. 再考虑ab的下侧.任何α粒子在运动中 离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、 S为圆心作圆,交ab于ab下侧的P2点,此 即下侧能打到的最远点.
解析：磁感应强度越大，电子运动的轨道半径越小，当电子做圆周运动的轨道正好通过 3 mv2 3mv0 C 点时，这时轨道半径 r＝ a，由 ev0 Bm＝ 0 可解得 Bm＝ ，B 正确． 3 r ea
◆带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时， 正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解． 如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹 为b. 2．磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方 向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解． 如图带正电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂 直纸面向外，其轨迹为b.
A.
O M 2R R N 2R
B. 2R
O
B
R 2R
M
N
M
O R
O
N
C.
O
M 2R 2R
2R N
D.
M 2R
2R
N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动 的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、 以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹 如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示
角为300.求: (1)电子的质量 m (2)电子在磁场中的运动时间t B e v
θ θ
v
3qBd m v
30 d t T 360 3v
d
变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感 应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿 出，则初速度V0有什么要求？
e B v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
带电粒子在磁场中的运动
2、磁场对带电粒子的作用力及运动情况分析 带电粒 子静止 磁场不给 作用力 保持静止
速度与 磁场垂直
带电粒 速度与磁场 子在磁 成一角度 场中运动
洛沦兹力 洛沦 兹力 磁场不给 作用力
匀速圆 周运动 螺旋线
速度与 磁场平行
匀速 直线
3、带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动
(2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场，如图所示，两板之间正离子只运动一个 d 周期即 T 0 时，有 R＝ ；当两板之间正离子运动 n 个周期，即 nT 0 时， 4 d 有 R＝ (n＝1,2,3…)．(3 分) 4n 联立求解，得正离子的速度 v0 的可能值为 B0 qR πd v0 ＝ ＝ (n＝1,2,3…)．(3 分) m 2nT 0
θ v a b ①速度较小时粒子作部分圆周 运动后从原边界飞出；②速度 在某一范围内从侧面边界飞； ③速度较大时粒子作部分圆周 运动从另一侧面边界飞出。
圆心 在过 入射 点跟 c 速度 方向 垂直 的直 线上
例4.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角 θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、 电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不 计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子 在磁场中运动的最长时间。 b a
．
r
O’
r
3000 5 2m 5m t1 T 0 360 6 eB 3eB 600 1 2m m t2 T 3600 6 eB 3eB
4m t 2 t1 t 2 3eB
针对训练、一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率 v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中， 如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直， 并垂直于图中纸面向里.
(1)磁感应强度的大小B0. (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
规范解答：设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向． (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 2 mv 0 B0 qv0 ＝ ①(2 分) R 2πR 做匀速圆周运动的周期 T 0 ＝ ②(1 分) v0 2πm 联立①②两式得磁感应强度 B0 ＝ .(2 分) qT 0
2R
M
2R
O
R
N
◆带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动
Q P B P Q Q
v
S
圆心在磁场原边界上
①速度较小时，作半圆运动后 从原边界飞出；②速度增加为 某临界值时，粒子作部分圆周 运动其轨迹与另一边界相切； ③速度较大时粒子作部分圆周 运动后从另一边界飞出
v
S S
v
圆心在过入射点跟边 圆心在过入射点跟速 度方向垂直的直线上 界垂直的直线上