带电粒子在磁场中的多解问题
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题含答案
2024届物理一轮复习讲义专题强化十七带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题学习目标会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。
考点一带电粒子在磁场中运动的多解问题造成多解问题的几种情况分析类型分析图例带电粒子电性不确定带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解例1 (多选)(2022·湖北卷) 在如图1所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。
离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。
已知离子比荷为k ，不计重力。
若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )图1A.13kBL ，0° B.12kBL ，0° C.kBL ，60° D.2kBL ，60°答案 BC解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图甲所示，甲根据几何关系，有R ＝L ，q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBLm ＝kBL ，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。
当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，乙因为上下磁感应强度均为B ，则根据对称性有R ＝12L ，根据洛伦兹力提供向心力有q v B ＝m v 2R ，可得v ＝qBL 2m ＝12kBL ，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
高考物理一轮总复习课后习题 第11章 磁场 第3讲 专题提升 带电粒子在有界磁场中的运动
第3讲专题提升:带电粒子在有界磁场中的运动基础对点练题组一带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题1.如图所示,纸面内有一圆心为O、半径为R的圆形磁场区域,磁感应强度的大小为B,方向垂直于纸面向里。
由距离O点0.4R处的P点沿着与PO 连线成θ=30°的方向发射速率大小不等的电子。
已知电子的质量为m,电荷量为e,不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。
为使电子不离开圆形磁场区域,则电子的最大速率为( )A.7eBR10m B.√29eBR10mC.21eBR40m D.(5-2√3)eBR5m2.(湖南长沙模拟)如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中实线所示,a、b、c、d四点共线,ab=2ac=2ae, fe 与ab平行,且ae与ab成60°角。
一粒子束在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,粒子质量均为m、电荷量均为q(q>0),具有各种不同速率。
不计重力和粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( )A.3πm2qB B.4πm3qBC.5πm4qBD.6πm5qB3.(云南大理下关第一中学联考)如图所示,矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B1,AB边长为d,BC边长为2d,O是BC边的中点,E是AD边的中点。
在O点有一粒子源,可以在纸面内向磁场各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、相同电性的带电粒子,粒子射出的速度大小相同。
速度方向与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场,不计粒子的重力及粒子间的相互作用,则( )A.粒子带正电B.粒子运动的速度大小为√2qB1dmC.粒子在磁场中运动的最长时间为πm3qB1D.磁场区域中有粒子通过的面积为4+π4d2题组二带电粒子在有界磁场中运动的多解问题4.匀强磁场中一带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,其运动轨迹上速度方向相反的两点之间距离d与粒子速率v的关系如图所示,则该粒子经过这两点的时间间隔可能为( )A.3πd02v0B.9πd08v0C.πd0v0D.3πd016v05.如图所示,边长为a=0.4 m正方形区域ABCD内无磁场,正方形中线PQ 将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为B1=0.2 T的匀强磁场区域,PQ 右侧磁场方向垂直于纸面向外,PQ左侧磁场方向垂直于纸面向里。
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。
在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。
多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。
这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。
当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。
临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。
临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。
临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。
结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。
多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。
对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。
模型23带电粒子在磁场中的多解问题(学生版)-备战2021年高考物理模型专题突破
23带电粒子在磁场中的多解问题1．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直xOy 平面向外。
某时刻一个质子从点(L 0，0)处沿y 轴负方向进入磁场；一个α粒子同时从点(－L 0，0)进入磁场，速度方向在xOy 平面内。
设质子的质量为m 、电荷量为e ，不计质子与α粒子的重力和它们之间的相互作用。
如果α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α粒子都带正电，且α粒子的质量是质子质量的4倍，α粒子带的电荷量是质子的2倍，则( )A ．质子的速度大小为2eBL mB ．质子的速度大小为2eBL m 0 C ．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是3meB πD ．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是52m eBπ 2．如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q m＝k ，则质子的速度可能为( )A ．2BkLB ．2BkLC ．32BkLD ．8BkL 3．(2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考)长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，极板不带电。
现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v 水平入射，如图所示。
欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A ．使粒子速度4BqL v m< B ．使粒子速度54BqL v m >C ．使粒子速度4BqL v m >D ．使粒子速度544BqL BqL v m m << 4．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d ，6B π∠=。
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在复合场、组合场中的运动(解析版)2024年高考物理压轴题专项训练(新高考通用)
压轴题08带电粒子在复合场、组合场中的运动1.本专题是电磁场的典型题型之一，包括应用电场力洛伦兹力的知识解决实际问题。
高考中经常在选择题中命题，更是在在计算题中频繁出现。
2024年高考对于复合场、组合场的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:电场的知识,磁场的知识等。
近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考查类型带电粒子在复合场中的运动，组合场中的运动等。
考向一：带电体在磁场中的运动1.带电体在匀强磁场中速度变化时洛伦兹力往往随之变化，并进一步导致弹力、摩擦力等的变化，带电体将在变力作用下做变加速运动。
2.利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化时要注意弹力为零的临界状态，此状态是弹力方向发生改变的转折点。
考向二：带电粒子在叠加场中的运动1.三种场的比较力的特点功和能的特点重力场大小：G ＝mg 方向：竖直向下重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能电场大小：F ＝qE方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与电强方向相反电场力做功与路径无关；W ＝qU ；电场力做功改变电势能磁场大小：f ＝qvB (v ⊥B )方向：可用左手定则判断洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能2.分析的基本思路(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平衡条件列式求解。
②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
考向三：带电粒子在组合场中的运动带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。
带电粒子在匀强磁场中运动的规律总结画图分析技巧
带电粒子在匀强磁场中运动的规律总结、画图分析技巧本文适用于高三学生复习参考、或者高二（已学习带电粒子在匀强磁场中的运动相关章节内容）的学生。
文中系统总结了带电粒子在匀强磁场中运动的相关知识点，列举了这类问题常用的方法技巧，比如，找半径的方法，粒子轨迹圆心的确定方法，周期的算法，粒子运动时间的算法；超出书本之外的方法技巧：如常用的画圆弧技巧，需要用到的几何知识，粒子运动最长时间最短时间的确定方法，磁聚焦类问题规律方法，并附有相关例题，以及详细的画图（附手绘画图步骤）、解析过程。
详见如下具体内容，谨供有需要的学生参考。
一些用红色字迹显示的结论，可以在理解的基础上记忆。
目录一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本知识点：半径公式、周期公式、运动时间公式、圆心的确定方法 (2)二、基本画图技巧 (2)三、常用画图相关几何知识、规律1.对称性的应用（1）直线边界磁场（附证明过程） (3)（2）圆形边界磁场（附证明过程） (4)2．缩放圆法 (5)3．旋转圆法 (5)四、粒子在有界磁场中运动过程的最长、最短时间的确定方法 (5)五、磁聚焦类问题原理（附详细证明过程）、规律与分析方法 (6)六、带电粒子在磁场中运动的多解情形举例 (8)七、精选带电粒子在匀强磁场中运动例题，附手绘画图步骤、分析过程、解答过程……………………………………………………9—23一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本知识点：半径公式、周期公式、运动时间公式（并附有推理过程）、圆心的确定方法1．基本知识点：物理情景模型：以下内容只讨论匀强磁场。
当带电粒子以一定的初速度v 沿垂直磁场方向进入匀强磁场时，带电粒子只受洛伦兹力，洛伦兹力与粒子运动的速度方向总是垂直的，因此，洛伦兹力只改变粒子的速度方向，不改变粒子运动的速度大小，由F 洛=qvB ，可知，v 大小不变，F 洛大小也不变，如右图，这一特征符合物体做匀速圆周运动的动力学特征——向心力总与物体运动的速度方向垂直，只改变速度方向，不改变速度大小。
带电粒子在磁场中的多解问题
应旳圆心角为 或 3
B
22
设圆弧旳半径为R，则有2R2=x2，可得：
R L 2n
v2 qvB m
R
v qBL 2m n
n=1、2、3、……（
n取奇数
⑶当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
1
n
2
n 3
2
2n
t1
2n
m qB
2 m
qB
n
其中n=1、3、5、……
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
mv0 a 2mv0 L＜b。试求磁场旳左边界距坐标原点 旳e可B能距离．（eB成果可用反三角函数表达）
解： 设电子在磁场中作圆周运动旳轨道半径为r, 则
解得
eBv0 r
m mv 0
v02 r
①
②
eB
y P v0
x
0
Q
⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，
由几何关系有 sin L eBL③
v0
c
（2）当v0最大时：
R1
R1
cos 60
L 2
得R1 = L
则
vmax
qBR1 m
qBL m
当v0最小时： R2 R2 sin 30
L 2
得R2 = L/3
则
vmin
qBR2 m
qBL 3m
a
600
O
qBL
qBL
b B
3m v0 m
300
d
v0
c
带电粒子从ab边射出磁场，当速度为 vmax 时，
运动时间最短,
150 5m
t min
T 360
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
•
Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
带电粒子在磁场中运动之多解及周期运动问题
适用标准考点周期性与多解问题1．带电粒子电性不确立形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，因为电性不一样，当速度同样时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不一样，形成多解．如图 6 甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为 b .2．磁场方向不确立形成多解：有些题目只磁感觉强度的大小，而不知其方向，此时一定要考虑磁感觉强度方向不确立而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b .3．临界状态不独一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，因为粒子运动轨迹是圆弧状，所以，它可能穿过去，也可能转过180 °从入射界面这边反向飞出，进而形成多解，如图丙所示．4．运动的周期性形成多解：带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间运动时，运动常常拥有来去性，进而形成多解，如图丁所示．一圆筒的横截面以下列图，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感觉强度为B.圆筒下边有相距为 d 的平行金属板M 、N ，此中 M 板带正电荷， N 板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边沿的P 处由静止开释，经N 板的小孔S 以速度 v 沿半径 SO 方向射入磁场中.粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的状况下，求：(1)M 、 N 间电场强度 E 的大小；(2)圆筒的半径 R.(3)保持M、N间电场强度 E 不变，仅将M 板向上平移，粒子仍从M 板边沿的P处由静止开释粒子自进入圆筒至从S 孔射出时期，与圆筒的碰撞次数n 。
1.以下列图，在纸面内有磁感觉强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC 为两磁场的理想界限。
三角形ABC 边长为 L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外面的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。
带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题课件
例 7 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁 场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的 两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电 粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能 从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大 值可能是多少．
【答案】 (2＋ 2)Bmqd(q 为正电荷)或(2－ 2)Bmqd(q 为负电
(四)三角形边界磁场 例 4 如图，直角三角形 abc 内有方向垂直 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B， ∠a＝30°，ac＝2L，P 为 ac 的中点．在 P 点 有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的 同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m， 且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考 虑重力，下列判断正确的是( )
(一)单面边界磁场 例 1 (多选)如图所示，S 处有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂 直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中 点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧 区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 －4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不 计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该 电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒 子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【答案】
(1)(2－ 26)amqB
6－ 6 (2) 10
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
第53课时 匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
2.(2016· 海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30° ，OA 的长度为 L。在△OCA 区 域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。 质量为 m、 电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂 直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。 (1)求磁场的磁感应强度的大小； (2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上 的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和； (3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场 5 内运动的时间为 t0，求粒子此次入射速度的大小。 3
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(2)设当 v0＝v3 时，粒子恰好打不到荧光屏 上， 则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点 A 竖直向上射出磁场。由此可知，粒子在磁场中 的轨道半径 r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力， v32 得 qv3B＝m ，解得 v3＝1.5×106 m/s。由题意 r3 可知，当 v0>1.5× 106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条 件的粒子轨迹。 (2)运用几何关系，求得粒子运动半径。 (3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
[集训冲关]
1.(多选)(2017· 常德月考)如图所示，宽为 d 的 有界匀强磁场的边界为 PP′、 QQ′。 一个 质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示 方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度 大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ′射出，粒子的入射速度 v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计) qBd A. m 2qBd C. 3m 2qBd B. m qBd D. 3m ( )
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
专题：带电粒子在有界磁场中的运动(103张PPT)
R1 R2 B O s2
2m T= Bq
r R tan
t = θ 2 T mv R= Bq
2
θ2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴 线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一 束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射， 其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是 （ ） C
两类典型问题
1.带电粒子在有界匀强磁场中（只受洛 伦兹力）做圆弧运动； 2.带电粒子在磁场中运动时的临界问题 （或多解问题）的讨论
概述 • 1、本类问题对知识考查全面，涉及到力学、 电学、磁学等高中物理的主干知识，对学生 的空间想象能力、分析综合能力、应用数学 知识解决物理问题能力有较高的要求，是考 查学生多项能力的极好的载体，因此成为历 年高考的热点。 • 2、从试题的难度上看，多属于中等难度或 较难的计算题。原因有二：一是题目较长， 常以科学技术的具体问题为背景，从实际问 题中获取、处理信息，把实际问题转化成物 理问题。二是涉及数学知识较多（特别是几 何知识）。
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º
的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂 直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强 度B和射出点的坐标。
解析 ：
r
v
y
B
2a
mv 3 Bq
O′ O a
3 mv 得 B 2aq 射出点坐标为（0， 3 a ）
v 60º
x
单边界磁场
练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场， 一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与 虚线成300、900、1500、1800角分别射入， 1.请作出上述几种情况下粒子的轨迹 2.观察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系 3.求其在磁场中运动的时间。
洛伦兹力
答案 AD
[思考]
若没有轨道存在， 两小球运动的轨 迹如何? 答案 A球将沿直 线做匀加速运 动． B球的轨迹是摆线, 如下图所示．
三、带电体在洛伦兹力作用下的运动问题
洛伦兹力特点: 可能是恒力 也可能是变力
（匀速） （变速）
直线
曲线 变速运动中f洛大小、方向均有可能改变，与 速度有关。(状态)
洛伦兹力及其应用
磁场对运动电荷的作用 ---洛伦兹力
1．洛伦兹力的大小 F安是F洛宏观体现
F=Bqvsinθ， θ为v与B的夹角
v∥B时．洛伦兹力F＝0 v⊥B时，洛伦兹力F＝Bqv 2．洛伦兹力的方向 左手定则： 注意：1）F ⊥ B和v所决定的平面（因为它由B、V 决定）,但B与V不一定垂直（因为它们由自身决 定） 2）四指的指向是正电荷的运动方向或负电荷 运动的反方向 3．洛伦兹力对运动电荷不做功，只改变运动电荷 速度的方向 ．
aO' b 60
即
1 m t T 6 3qB
特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心， 则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。
（3）圆形磁场区域 特点2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心） 初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的 圆心都在弧弦的垂直平分线上。 （弦切角为 ），则出射速度方向与入射速度方向的 偏转角为 2 ，轨迹圆弧对应的圆心角也为 2
即V>Bed/m。
O
B
拓展：如已知带电粒子的质量m和电量e，若要带电粒 子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什 么条件？
（3）圆形磁场区域 例1。 如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m 的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射 出磁场区域方向与入射方向的夹角为 60 求：此离子在磁场区域内飞行的时间。 由几何关系得出
带电粒子在磁场中的多解问题共43页
带电粒子在磁场中的多解问题
1、战鼓法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
第十一章 第3课时 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
第3课时专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动目标要求 1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。
2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
考点一带电粒子在有界匀强磁场中的运动1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)3．圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
4．多边形边界或角形区域磁场带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点：(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。
①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2R sin α，如图甲所示。
②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。
例1 (多选)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B ，氢的同位素氘离子(21H)和氚离子(31H)都从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是( )A ．运动轨迹的半径之比为2∶3B ．重新回到边界所用时间之比为3∶2C ．重新回到边界时的动量相同D ．重新回到边界时与O 点的距离不相等例2 真空区域有宽度为l 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN 、PQ 是磁场的边界。
质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)从MN 边界某处射入磁场，刚好没有从PQ 边界射出磁场，再从MN 边界射出磁场时与MN 夹角为θ＝30°，则( )A ．粒子进入磁场时速度方向与MN 边界的夹角为60°B ．粒子在磁场中运动的时间为4πm 3qBC ．粒子在磁场中运动的时间为5πm 6qBD ．粒子射入磁场时的速度大小为(4－23)lqB m例3 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q (q >0)的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。
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带电粒子在磁场中的问题。
一、带电粒子
带电粒子可能带正电，也可能带负电。
在没指明粒子电性时，就要分别从带正电和负电两种情况分析问题，这样就导致问题两解。
例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
解析 由于不知道粒子带的电性，故有带正电和负电
两种情况.如果带正电，则粒子向左做圆周运动，图2中
左上部分；如果带负电， 则粒子也做圆周运动，图2中
右下部分。
根据2
v qvB m R =和2R T v π=，解得2m T qB π= 带正电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是1106
θπ=，故运动时间 1155263m t T T qB
θππ=== 带负电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是213θπ=
，故运动时间221263m t T T qB
θππ===。
答案
533m m qB qB ππ或 点拨 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，要先根据初始条件和洛伦兹力方向并结合是否具有对称性，画出粒子向哪个方向偏转的圆周运动轨迹。
计算粒子在磁场中运动时间时，要先找到轨迹对应的圆心角θ，然后在根据2=)22m t T qB θθπππ=
（计算时间。
二、带电粒子速度引起的多解
粒子速度大小不确定，或粒子速度大小与其他物理量的关系不确定，或者粒子的速度方向图1。