第三章 单自由度系统受迫振动分析
振动力学4单自由度受迫
F0
= H (ω ) F0
k − mω + icω = re
2 2 2
iϕ
• 有： r = (k − mω ) + (cω )
x = xe
_ iωt
cω ϕ = arctan k − mω 2
F0 i (ωt −ϕ ) F0 e i (ωt −ϕ ) = e = r (k − mω 2 ) 2 + (cω ) 2
X = X 0ω 0
2 2
(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
tan ϕ =
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 相频特性曲线
• 当频率比s等于1时，相角为 2 。 • 利用相位判断共振：共振相位法。 • 利用振幅判断共振：共振幅值法。
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
2ζs 1− s2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
H v (ω ) ：速度导纳 H a (ω ) ：加速度导纳
k − mω 2 + icω ：速度阻抗 Z v (ω ) = iω k − mω 2 + icω ：加速度阻抗 Z a (ω ) = − 2
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
第三章-单自由度系统的受迫振动
Bs B x(t ) x0 cos nt sin nt sin nt cos t 2 2 n 1 s 1 s
B x(t ) c1 cos nt c2 sin nt cos t 2 1 s B x(0) x0 c1 x0 1 s2 B x(t ) c1n sin nt c2n cos nt sin t 2 1 s x0 c2 x(0) x0
(1)
振动理论与声学原理
五、“拍”现象 将 s 1 2 代入式（1），有
B B (sin t s sin nt ) x(t ) (sin t s sin nt ) 2 2 1 (4 4 1) 1 s
B [sin(1 2 )nt sin nt ] 4 B (sin nt cos 2 nt cos nt sin 2 nt sin nt ) 4
振动理论与声学原理 第三章 单自由度系统的受迫振动
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
设外部谐波激振力用复数 F (t ) F0ei t 表示，F0 为其幅 值， 为其频率。实部 F0 cost ，虚部 F0 sin t
微分方程
m cx kx F0ei t x
(1 s ) (2s) 2s ( s) arctan 相位差 2 1 s
2 2 2
( s)
1
振幅放大因子
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
综合以上各式，谐波激励受迫振动的稳态解为：
(1 s 2 ) 2 (2s) 2 如外部激励为复数激励的虚部，即， F (t ) F0 sin t 则
欧拉公式
显含时间t，非齐次
P(cos x i sin x) Peix
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
71
2014/10/22
阻尼能量耗散
能量耗散通常可以在周期振荡条件下予以确定
如果画成曲线，不同的阻尼类型对应的力和位移的关系差 别会很大，然而，各种情况下的力-位移曲线一定会形成包 围一定面积的一个闭合区域，称为滞后回线, 其面积与每周 耗散的能量为比例
由阻尼力 导致的每周能量损失可以为
对于有粘性阻尼的弹簧-质量系统，阻尼力为
90
2014/10/22
利用里沙茹图形测量简谐振动频率的接线示意图
振动体的振动信号经过传感器和放大器接到电子示波器的Y轴输入端，而在X 轴输入一个已知的周期信号
示波器的显示屏上将形成里沙茹图形 改变输入信号的频率，使里沙茹图形成为一个稳定的椭圆，从信号器上读得的
输入信号的频率就是被测振动的频率 测量精度主要取决于信号发生器的频率精度 利用这一原理，还可以测量相位差
加速度计的频幅特性
对于无阻尼加速度计，振幅迅速随频率增大，可用的 频率范围很小
如果阻尼比
，有用的测量范围
,误
差小于1.005.01%
2
1
1.00
1
0.95 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
振动测量仪器
振动测量仪器的基本构件是如下图所示的地震元件 根据要测量的频率范围，图中悬挂质量的相对运动可
7
C
6
如果
5
4
y0 a0
3
振动加速度计的
2
固有频率应该是
所记录测量的最 1
B
高频率的2倍以上 0 A
0
1 /n
2
3
振动加速度计－振幅
为了避免被测振动中含有的高阶谐振共振影响振动加 速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼
单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的无阻尼受迫振动任学晶13010135机电学院【摘要】通过学习，我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止，这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。
了解并避免受迫振动是工程中的首要问题，本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成，得出激振力频率与振幅之间的关系，对共振曲线进行分析，进而了解共振现象。
【关键词】阻尼；受迫振动；共振；1.引言工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。
但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。
在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
例如，交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动，如图1所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起的振动，如图2所示，等等。
图 1 图 21.1简谐激振力工程中常见的激振力多是周期变化的。
一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。
简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力F随时间变化的关系可以写成()F H tωϕ=+（1）sin其中H称为激振力的力幅；即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；ϕ是激振力的初相角，它们都是定值。
1.1振动微分方程如图1所示的振动系统，其中物块的质量为m 。
物块所受的力有恢复力e F 和激振力，如图3所示。
取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力e F 在坐标轴的投影为e F kx =-其中k 为弹簧刚度系度。
设F 为简谐激振力，在F 坐标轴上的投影可以写成式（1）的形式。
质点的运动微分方程为()22sin d x m kx H t d tωϕ=-++ 将上式两端除以m ，并设 图 3 20k m ω=，H h m= （2） 则得()2202sin d x x h t d tωωϕ+=+ （3） 该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的解由两部分组成，即12x x x =+其中1x 对应于方程（3）的齐次通解，2x 为其特解。
第三讲(单自由度系统受迫振动)
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法 五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
三、简谐激励下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的基本原理
汽车振动学
第三讲
2009年3月2日
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动 （8学时）
2009年1月
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解 二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动 三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
其中
X β = = X0
1 (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
称为放大因子
代表稳态响应振幅与最大静位移之比，它不仅随频率比而变，而且随阻尼比而变。 如果系统无阻尼，则系统的振动响应为 自由振动响应 受迫振动响应
F0 λ F0 x = x0 cos ωnt + sin ωn t − sin ωnt + sin ωt 2 2 k (1 − λ ) k (1 − λ ) ωn & x0
第3章单自由度系统受迫振动(2)资料
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
单自由度受迫振动
单自由度受迫振动一、运动方程的建立在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上，其作用线与运动方向一致。
此时的运动方程为：t mP t y t y θωsin )()(2=+∙∙ 经积分可求得运动方程的解。
由初始条件t=0时，0,0v y 可得到方程为t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωωωsin )(sin )(sin cos )(222200-+∙--+= 1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图： 考虑阻尼的情况下不考虑阻尼的情况下当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。
二、无阻尼振动单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。
三、有阻尼受迫振动由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。
在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。
这时的振幅和频率是恒定的。
成为稳态强迫振动。
如图：3.1 振幅22-11A ωβm P ∙=，ωθβ= 由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外，还与ωθβ=有关。
3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ωθβ，得st y ≈≈A 1，μ，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。
图像如下图所示3.1.2ωθ>> 此时ωθβ=是一个很大的数，st y <<<<A 1，μ。
表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P 所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：θ→3.1.3ωθ→时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻当ω尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移y。
振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动
●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。
把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。
假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。
解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。
单自由度系统强迫振动(悬臂梁)
单自由度系统强迫振动（悬臂梁）一、实验目的 １、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数； ２、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。
二、实验装置及原理 １、 实验装置 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。
这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。
其中： ｍ：为悬臂梁系统的等效质量； ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数； ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数； ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。
２、 实验原理 图３ 测试系统的框图如图３所示。
信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。
三、实验步骤 １、 开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。
２、 调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振；激振器然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。
３、 然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取（最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。
４、 检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。
根据图示幅频曲线，由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。
５、 关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序相反。
四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 １ ２ …． 按照幅频曲线，运用半功率原理得到： 10 36Frequency Response Function CurveA /A maxf (Hz)1固有频率：m n f f =， 带宽：12f f f −=∆ 相对阻尼系数：nf f2∆=ζ 五、实验要求 １、 实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。
单自由度系统的受迫振动
为品质因子。表征共振峰的陡峭程度
1，相位差为π/2，与阻尼无关
相频特性曲线 θλ
1， 响应与激励同相 1， 响应与激励反相 阻尼越小反响现象越明显
不同形式简谐激励的稳态响应
转子偏心质量引起的受迫振动
ω
系统振动方程
M x cx kx me2 sin t
幅频特性曲线
2
(1 2 )2 (2 )2
1-2-2 周期激励作用的受迫振动响应
对于周期激励
F(t) F(t nT)
(n 0,1, 2)
F
0 F(t)
F
t
0
t
由Fourier级数展开
F (t) Fne int n
Fn
1 T
T
2 F (t)eintdt
T 2
(n 0, 1, 2,)
F (t) an cos nt bn sin nt n
线加速度法
将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t0 < t1<······< tn= b
ti t0 ihi 时间步长 hi ti1 t i 等时间步长 h ti1 t i
i 0,1, 2,n
假设在第 i 时间间隔[ ti , ti+1 ]内，加速度呈线性变化，即
x
xi
x(0 ) 0, x(0 ) 0
mx cx kx 0
t
0,
x(0 ) 0, x(0 ) 1 m
由冲量定理
mdx (t)dt
0dx 1
0
(t)dt
0
m 0
x(0 ) 1 m
系统对单位脉冲的响应
h(t)
1
md
en t
sin dt
第3章 单自由度系统的受迫振动
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。 应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。 对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。 例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
3-单自由度强迫振动解析
前面已经得出方程
x
的全解为：
2wnx
x
wn2 x
F0 m
sin wt
x
exwnt
x0
xwn wd
x0
sin wd t
x0
cos wd t
X
exwnt
0
xwn
sin
wd
w
cos
sin
wd t
sin
cos
wd t
X0 sin(w t )
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
Rmax＝
2x
1
1x2
而r＝1时
R＝ 1
2x
由此看出：当r＝1，x很小时的R和Rmax相 差很小，所以在工程中仍认为当w＝wn 时发
生共振。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
28
3. 相频特性曲线（P37）
以x为参 数,画出f－ r 曲线即 f
相频特性曲 线,表明了阻 尼和激振频 率对相位差 的影响。
1 r2
分别取 z*式的实部和虚部就是对应于
余弦和正弦激励的稳态响应。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
21
稳态响应分析(P34-39)
1. 稳态响应xp=X0sin(wt－f)的性质（P34）
（1）在谐和激振条件下，响应也是谐和的， 其频率与激振频率相同； （2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角φ 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小 和频率，与初始条件无关；
• r →∞时,f→p,系统平稳运行。
第3章 单自由度系统强迫振动
单自由度系统强迫振动(悬臂梁)
单自由度系统强迫振动（悬臂梁）一、实验目的 １、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数； ２、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。
二、实验装置及原理 １、 实验装置 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。
这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。
其中： ｍ：为悬臂梁系统的等效质量； ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数； ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数； ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。
２、 实验原理 图３ 测试系统的框图如图３所示。
信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。
三、实验步骤 １、 开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。
２、 调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振；激振器然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。
３、 然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取（最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。
４、 检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。
根据图示幅频曲线，由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。
５、 关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序相反。
四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 １ ２ …． 按照幅频曲线，运用半功率原理得到： 10 36Frequency Response Function CurveA /A maxf (Hz)1固有频率：m n f f =， 带宽：12f f f −=∆ 相对阻尼系数：nf f2∆=ζ 五、实验要求 １、 实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。
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（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年8月6日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
2020年8月6日 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2020年8月6日 x 为复数变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
2020年8月6日 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设： x xeit
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： x H ()F0
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
2020年8月6日 <<振动力学>>
振幅放大因子
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
mx cx kx F0eit
x xeit x H ()F0
B F0
(s)
k1
(1 s2 )2 (2s)2
H () 1 [ 1 s2 2si ] 1 ei k (1 s2 )2 (2s)2 k
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2020年8月6日 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年8月6日 15
H ()
1
k m 2 ic
复频响应函数
n
k m
c
2 km
振动微分方程：
x 2n x n2 x Bn2eit
静变形 B F0 k
引入：s n
则：
H
()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2si (2s)2
]
1 ei
k
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
tg
1
2s
1 s2
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
2020年8月6日 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 n
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
s
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ n）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
2020年8月6日 <<振动力学>>
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
x
F0
ei(t )
Aei(t ) 10
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ n ）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
2020年8月6日 <<振动力学>>
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
2020年8月6日 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020年8月6日 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(
s)
tg
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年8月6日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
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单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动