第九节 二元函数的泰勒公式
9 二元函数的泰勒公式
利用一元函数的麦克劳林公式， 利用一元函数的麦克劳林公式，得
1 Φ(1) = Φ(0) + Φ′(0) + Φ′′(0) + L 2! 1 (n) 1 ( n+1 ) + Φ ( 0) + Φ (θ ), (0 < θ < 1). n! ( n + 1)!
将 Φ(0) = f ( x 0 , y0 ) , Φ(1) = f ( x 0 + h, y0 + k ) 及上 面 求 得 的 Φ(t ) 直 到 n 阶 导 数 在 t = 0 的 值 , 以 及
n+1 2 n
f ( x0 + θh, y0 + θk ),
(0 < θ < 1)
其中
∂ ∂ h + k f ( x 0 , y0 ) ∂y ∂x
表示 hf x ( x0 , y0 ) + kf y ( x0 , y0 ),
∂ ∂ h + k f ( x 0 , y0 ) ∂y ∂x
4
三 小结
1、二元函数的泰勒公式； 二元函数的泰勒公式； 2、二元函数的拉格朗日中值公式； 二元函数的拉格朗日中值公式； 阶麦克劳林公式； 3、 n阶麦克劳林公式；
hw：p67 4. ：
最小二乘法简介
问题的提出: 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . ＝ 需要解决两个问题: 需要解决两个问题 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景
二 二元函数的泰勒公式
定理 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连 阶的连续偏导数, 续且有直到 n + 1阶的连续偏导数, ( x0 + h, y0 + h) 为此邻域内任一点, 为此邻域内任一点,则有
二元函数泰勒展开
二元函数泰勒展开二元函数泰勒展开是一种数学分析方法，也叫泰勒公式，它可以将任何满足泰勒展开条件的复合函数f(x)展开成无穷多个项相加求和的形式。
泰勒展开是一种重要的教学算法，用来估算函数在某点附近的值，是函数展开技术的基础。
一、定义二元函数泰勒展开就是把复合函数f(x)展开成一个无穷多的项之和的形式。
它可以以更加方便的方式计算函数f(x)在某一点x附近的值。
它可以用数学公式来描述：f(x) = f(a) + (x-a) * f ‘(a) + (x-a)^2 / 2! * f ”(a) + (x-a)^3 / 3! * f ””(a)+ …… + (x-a)^n / n! * f^(n)(a) + ……其中f(a)是复合函数在a处的值，f‘()是函数一阶导数，f”()是函数二阶导数，f””()是函数三阶导数，f^(n)()是函数n阶导数，n!=1*2*3*…..*n。
二、优势二元函数泰勒展开有以下优势：（1）复杂函数可以拆分成一连串更简单的子函数，很容易解决；（2）提高计算精度，避免取样点数太多，节约计算时间；（3）泰勒展开能够准确预测复合函数在某一点附近的值，可以用于数值计算；（4）计算过程和精度可以更好地控制；（5）这种方法的有效计算可以提高数值计算的精度，并帮助形象化复杂的函数，从而帮助理解复杂的数学关系。
三、应用（1）物理学领域：物理学中最常用到二元函数泰勒展开的就是物理运动方程，定义速度、位置、加速度等等，本质上就是对函数进行求导；（2）流体力学里可以使用计算流体压力场的展开；（3）工程学中，常用于计算梯度，从而进而计算曲面等；（4）经济学中，可以使用二元函数泰勒展开来解决宏观经济的代数问题；（5）在计算机科学中，可以使用二元函数泰勒展开来进行机器学习等，从而更好地拟合历史数据。
四、总结可以看出，二元函数泰勒展开是一种有效而又简单的数学计算技术，用它可以更好地估算函数及其对应的曲线在某一点附近的值，帮助我们计算机复杂的函数，发现隐藏在这些复杂函数曲线之中的细微差别。
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
8-09二元函数的泰勒公式-PPT精选文档
R 由 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 知 , 绝 对 值 在 n 的 ( x ,y ) M 点 的 某 一 邻 域 内 都 不 超 过 某 一 正 常 数 . 0 0
于 是 , 有 下 面 的 误 差 估 计 式 :
h k f(x ,y ) 表示 一般地,记号 0 0 x y
p h k . C x ,y ) p m p( 0 0 x y p 0
m p p m p m m
m
证
引入函数
( t ) f ( x ht , y kt ), ( 0 t 1 ). 0 0
( 0 )f(x ( 1 )f(x h ,y k )及 将 , 0, y 0) 0 0
( t)直 t 0的 n 上 面 求 得 的 到 阶 导 数 在 值 , 以 及
(n 1 ) t 的 ( t) 在 值 代 入 上 式 . 即 得
f (x0 h , y0 k) f (x0, y0 ) h k f (x0, y0 ) y x 1 h k f (x0, y0 ) 2 ! x y 1 h k f (x0, y0 ) R , n n ! x y
n f ( x ) 意 义 ： 可 用 次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 ， 且 x x ( x x ) 阶 误 差 是 当 时 比 的 无 穷 小 ． 0 0 高
n
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.
即 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续 且有直到n 1 阶的连续偏导数, ( x0 h, y0 h) 为此邻域内任一点, 能否把函数 f ( x0 h, y0 k )
第九节多元函数的泰勒公式
第九节多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是一种用于近似计算多元函数的方法。
在单变量函数中，泰勒公式是用泰勒级数来表示函数的方法。
而在多元函数中，我们可以使用多元泰勒公式来展开函数。
多元泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x+h) = f(x) + ∑C_derivative(f,x)^k/h^k +∑∑C_derivative(f,x)^pq (x,y)^p/h^p (y,z)^q/h^q/ p!q! +...其中，f(x) 是我们要近似的多元函数，x 是函数的自变量，C_derivative(f,x) 是函数 f 在点 x 处的所有偏导数，h 是近似点 x+h 与原点 x 之间的距离。
公式右边的每一项都是一个求和项，其中p是指数，q是指数，p!和q!分别表示p和q的阶乘。
多元泰勒公式的近似程度可以通过泰勒级数展开的阶数来控制。
阶数越高，展开的项数越多，近似的结果会越精确。
多元泰勒公式的证明过程比较复杂，涉及到高阶导数和多元积分的性质。
在这里我们不再详细展开。
下面我们通过一个简单的例子来说明多元泰勒公式的应用。
假设我们要近似计算函数 f(x,y) = sin(x+y)，并且已知该函数在点(0,0) 处的一阶和二阶偏导数分别为：f_x(0,0) = cos(0+0) = 1f_y(0,0) = cos(0+0) = 1f_xx(0,0) = -sin(0+0) = 0f_xy(0,0) = -sin(0+0) = 0f_yy(0,0) = -sin(0+0) = 0现在我们想要计算f(0.1,0.2)的近似值。
我们可以选择一个合适的近似点(x,y)=(0,0)和步长h=0.1、根据多元泰勒公式，我们有：f(0.1,0.2)≈f(0,0)+(0.1*f_x(0,0)+0.2*f_y(0,0))+ (0.1^2*f_xx(0,0) + 0.1*0.2*f_xy(0,0) + 0.2^2*f_yy(0,0))/2!带入已知的偏导数值，我们可以得到：f(0.1,0.2) ≈ sin(0+0) + (0.1*1 + 0.2*1)+(0.1^2*0+0.1*0.2*0+0.2^2*0)/2!简化计算后，我们得到f(0.1,0.2) ≈ sin(0) + 0.03 = 0.03因此，使用多元泰勒公式，我们得到了f(0.1,0.2)的近似值为0.03多元泰勒公式在科学与工程领域中的应用非常广泛。
二元函数taylor展开
二元函数taylor展开二元函数的T aylor展开是一种将函数在某个点附近用无穷级数来逼近的方法。
通过Taylor展开，我们可以将一个复杂的函数转化为一系列简单的多项式相加，从而更容易进行计算和分析。
Taylor展开的基本思想是将函数在某一点的值和各阶导数值联系起来。
假设我们要将函数f(x, y)在点(x0, y0)附近展开，我们可以得到以下的T aylor展开式：f(x, y) ≈ f(x0, y0) + (x - x0)∂f/∂x + (y - y0)∂f/∂y + (x - x0)²∂²f/∂x² + (x - x0)(y - y0)∂²f/∂x∂y + (y - y0)²∂²f/∂y² + ...在这个展开式中，f(x0, y0)是函数在点(x0, y0)处的值，∂f/∂x和∂f/∂y是函数在点(x0, y0)处的偏导数，∂²f/∂x²、∂²f/∂y²和∂²f/∂x∂y 是函数的二阶偏导数。
通过截取T aylor展开式的前几项，我们可以得到函数在(x0, y0)附近的近似值。
当我们选择截取到第n项时，得到的近似值与实际值之间的误差会随着展开点距离目标点的距离的增大而增大。
因此，选择合适的展开点对于得到较精确的近似值是非常重要的。
在实际应用中，Taylor展开有着广泛的用途。
例如，在数值计算中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，通过截取Taylor展开的前几项，我们可以得到较为精确的近似结果。
此外，在物理学和工程学中，Taylor展开也经常用于分析函数的性质和研究物理现象。
然而，需要注意的是，T aylor展开只在展开点附近有效，当距离展开点较远时，展开式的误差会逐渐增大。
因此，在使用Taylor展开时，我们需要选择合适的展开点，并对展开范围进行合理的限定，以保证近似结果的精度。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
二元函数泰勒定理
二元函数泰勒定理二元函数泰勒定理是多元函数的泰勒定理的一种推广形式。
在微积分中，泰勒定理是一个非常重要的定理，它描述了一个可微函数在某一点附近的近似表示。
在一元函数的情况下，泰勒定理的公式比较简单且易于理解，但在多变量情况下，泰勒定理的形式则较为复杂。
下面我们将详细介绍二元函数的泰勒定理。
假设我们有一个二元函数 $f(x,y)$ ，它在点 $(x_0,y_0)$ 处具有所有二阶偏导数。
那么，泰勒定理告诉我们，在 $f(x,y)$ 附近的某一点 $(x,y)$ 处，可以用以下公式来近似表示：$$f(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0)^2\right) + R_2(x,y)$$其中，$R_2(x,y)$ 表示高阶无穷小，它满足以下形式：$$R_2(x,y) = o\left(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\right)$$公式中的 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 和$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ 表示函数 $f(x,y)$ 在$(x_0,y_0)$ 处的偏导数，$\frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partialy}(x_0,y_0)$ 和 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的二阶混合偏导数。
二元函数的泰勒展开
(0 < θ < 1)
推广
多元函数泰勒公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h ∂ ∂x
+k
∂) ∂y
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 ) +
k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
∂ ∂x
+
k
∂ )2 ∂y
f
(x0 ,
y0
) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) + 2hk f x y (x0 , y0 ) + k 2 f y y (x0 , y0 )
=
1 A
[(
Ah
+
Bk)2)
+ ( AC
−
B2)k2]
可见 , 当A > 0 时,Q(h, k) > 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0 , y0 ) 有极小值 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
当A < 0 时,Q(h, k) < 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 有极大值 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: f (x0 + h , y0 + k) − f (x0 , y0 )
= h f x (x0 +θ h, y0 +θ k) + k f y (x0 +θ h, y0 +θ k) (0 < θ < 1)
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
10.4二元的泰勒公式
由ϕ(t) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 说明 在泰勒公式⑷中， 1)令a=0,b=0,就得到二元 函数f(x,y) 麦克劳林公式 的麦克劳林公式 (将h与k分别用x与y表示):
∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ f (x, y) = f (0,0) + x + y f (0,0) + x + y f (0,0) 1 ∂x ! ∂y 2! ∂x ∂y
因 fx′′ x, y） f y′′x x, y） (x0 ，0 )连续,故令∆x → 0, （ , （ 在点 y 连续, y ″ ∆y → 0得 f x y (x0 , y0 ) = f y′′ (x0 , y0 ) x
推广:定理1对 元函数的高阶混合偏导数也成立. 推广 定理 对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立 例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有
二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 高阶偏导数
例1. 求函数 z = ex+2y 的二阶偏导数及 ∂ z . 2 ∂y∂x ∂z ∂z 解: = 2ex+2y = ex+2y ∂y ∂x
3
∂ z x+2y =e 2 ∂x 2 2 ∂ z ∂ z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 ∂y∂x ∂y 3 2 ∂ z ∂ ∂ z = ( ) = 2 e x +2 y ∂y∂x2 ∂x ∂y∂x ∂2z ∂2z = , 但这一结论并不总成立. 注意: 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ∂x∂y ∂y∂x
二元函数的泰勒公式.doc
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数z f ( x, y) 的两个（一阶）偏导数zxz, 仍是x 与y 的二元函数.y若它们存在关于x 和y 的偏导数，即z x zx,zyzx;zxzy,zyzy.称它们是二元函数z f (x, y) 的二阶偏导（函）数. 二阶偏导数至多有 2 2 个. 通常将它们表为：z x zx表为2z2x或 f (x, y).xxz y zx表为2xzy或 f ( x, y).xy （混合偏导数）z x zy表为2zy x或 f yx (x, y). （混合偏导数）z y zy表为2yz2或 f (x, y).yy一般地，二元函数z f (x, y) 的n 1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n阶偏导数至多有n 2 个. 二元函数z f (x, y) 的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似. 例如，符号n x nkzky( n) x y或 f ( , )n k kx y表示二元函数z f (x, y) 的n 阶偏导数，首先对x求n k 阶偏导数，其次接着对y求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.3 y3 x2 y xy2例1. 求函数z x 3 3 的二阶偏导数.z z2 x y2 x xy3 2 3 2 解： 3 6 . 3 3 2 .x y xy yx y2z 2 x 6 3xy6 .y2 y2z 9 6 2 .2 2 2 2z9 6 2 .x y x y x y x yx x y2xzy2yzx2z36x y 2x. 2y1 2 2 2 例2. 证明：若u ,r (x a) ( y b) (z c) ,则r2 u 2 x 2u2y2u2z0.证明：由§10.3. 例2，有u x xra u yb u z, ,3 r3y r z3c. 32 r (x a)3ru2x r 62 rxr x ax rr 3 ( )3x a r6r 2x ar1 3 23 x a5( ) . rr同样，可得2 u 2 y21 3 u 1 3 22( y b) , (z c)3 5 2 3 5r r z r r.2 2 2u u u 3 3 2 2 2于是，[( x a) (y b) ( z c) ]2 2 23 5x y z r r30.33r 3r定理1. 若函数 f (x, y) 在点P(x0 , y0 ) 的邻域G存在二阶混合偏导数 f xy (x, y) 与f (x, y)yx ，并且它们在点P(x0, y0 ) 连续，则f xy yx (1)(x0 , y0 ) f (x0 , y0 )2证明 令 F ( x, y)( , ) ( , ) f x 0 x yy f xx y( , ) ( , ) f x 0 yy f x y ，①令 (x)( , ) ( , ) . 对 (x) 在[ x 0 , x 0 x] 上应用拉格朗日中f x y 0y f x y值定理, 得 F ( x, y)(x 01x) xf x (x 01x, y 0 y) f x (x 01x, y 0 ) xf x y (x 01, 0 2) ； x yy x y②令 (y)f (x 0 x, y) f (x 0 , y) . 同样方法可以得到F ( x, y) fyx (x 0,) . 于是有 x y x x y30 4f x yx y yf yx (x 0 3x, y 04x) .(x,)12令 x 0, y 0, 取极限得(1) 式.例 3. 证明：若 z f (x, y), xcos , y sin , 则22ff f 22f f 11x2 222y2.证明：f f xxf yyf xf cos sin . yf f xx f yyf xf sincos .y2f2f f ff x cos f y sin2 f 2 x 2 cos 2 x f y sin cos2 y f x sin cos 2 f 2y2sin.2f2f f ff xsinf ycos 2f 2 x 22fsin 2 2x ysin cosfxcos3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
朗日型余项 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(0 1)
证: 令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
则
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k )
下页
返回
结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
2
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
则有 z f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 )
2 1 [ f ( x h , y k ) h 0 2 xx 0 2 f x y ( x0 h , y0 k ) hk f y y ( x0 h , y0 k ) k 2 ]
由于 f ( x , y ) 的二阶偏导数在点 ( x0 , y0 ) 连续, 所以 f x x ( x0 h , y0 k ) A
f x y ( x0 h , y0 k ) B f y y ( x0 h , y0 k ) C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
因此当 h , k 很小时 , z 的正负号可由 Q(h , k ) 确定 .
(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
2 2 2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h 2 A B h k B k ) ( AC B ) k ] A 2 2 2 1 [( A h B k ) ) ( AC B ) k ] A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M h cos Rn ( h k ) n 1 k sin (n 1) ! M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(h x 2
2 k y)
f (0, 0)
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p 3 (h x k y ) f (0, 0) C3 h k p 3 p (0,0) x y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 1 2 ln(1 x y) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 4 1 ( x y ) R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
机动 目录
o
上页 下页 返回
x
结束
若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B hk C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k )
当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
(3) 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y ) 常数 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值 2) 当 AC B 0 时, 没有极值. 3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
3 f x y 4 f x y
p 4 p p 3 p
1 (1 x y ) 2
2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 ) ( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小 量,
于是
z
1 [ Ah 2 2
2 2 2 B hk C k 2 ] 1 [ h 2 h k k ] 2
2 1 Q ( h , k ) o( ) 2
( h2 k 2 )
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y)
f ( x0 , y0 )
①
其中 Rn
n k y ) f ( x0 , y0 ) Rn 1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) 0 0 ( n 1)! x y
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 (0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
为零或非零
目录 上页 下页 返回 结束
2
机动
此时
2 z 1 Q ( h , k ) o ( ) 2
因为 Q(h, k ) 0 时, z 的正负号由 o( ) 确定 , 因此
不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
2
作业
P124 1 , 3 , 4 , 5
第十节 目录
上页
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
则有
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 1 o ( )y0 k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 ! x y