第五章第六节

0.3×10－2/0.6×0.2 rad/s≈2.9 rad/s.(2 分)
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第五章
曲线运动
当 ω 具有最大值时， 有离开圆心 O 的趋势， M 水平面对 M 摩擦 力的方向指向圆心，Fm＝2 N. 对 M 有 FT＋Fm＝Mrω2.(3 分) 2 则 ω2＝ ＝ FT＋Fm/Mr＝ mg＋Fm/Mr
第五章
曲线运动
第六节
向心力
第五章
曲线运动
学习目标
1.理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方 向总是指向圆心． 2．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算．
3．知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力．
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第五章
曲线运动
新知初探自主学习
一、向心力 自研教材 指向圆心 1．定义：做圆周运动的物体所受到的________方向的
C．重力和支持力是一对平衡力
D．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力
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曲线运动
【思路点拨】
(1)向心力是效果力，受力分析时不考虑
向心力．
(2)向心力的方向始终指向圆心． 【解析】 物体随水平圆盘做匀速圆周运动时，受到重力
G和平台对它的支持力FN，是一对平衡力，不能提供向心 力，因此充当向心力的只能是圆盘对物体的静摩擦力，方
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曲线运动
【解析】
做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球
受重力 mg 和细线的拉力 F 的作用． (1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到 的合力沿水平方向指向圆心 O′，由平行四边形定则得 小球受到的合力大小为 mgtan α， 细线对小球的拉力大小 mg 为 F＝ . cos α
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，只产生向心加速度，描
方向变化 述线速度__________的快慢．
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曲线运动
2．一般的曲线运动的处理方法 一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多极短的小段，
圆弧． 每一小段可看做一小段_______研究质点在每一小段的运
圆周运动 动时，可以采用____________的分析方法进行处理．
合力叫向心力．
圆心． 半径 2．方向：始终沿_____指向________
v2 3．计算式：(1)Fn＝m ；(2)Fn＝mω2r r
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曲线运动
成功体验 判断正误： (1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力( (2)向心力和重力、弹力一样，是性质力( ) )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到
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曲线运动
【答案】
C 非匀速圆周运动的向心力是由物体所受
【名师点评】
外力沿半径方向的分力提供的，求解非匀速圆周运动问
题，前提是正确地对物体进行受力分析．
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曲线运动
跟踪训练3 如图所示，汽车减速经过水平弯路(可看做圆形轨道的一部
分)，关于汽车向心力及合外力的分析正确的是(
虚线方向，A、B、C错误，D正确．
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第五章
曲线运动
寻规探法思维启迪
水平圆周运动中的临界问题 【范例】 (11分)如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6 kg
的物体，静止在水平面上．另一端通过光滑小孔O吊着质量
m＝0.3 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2 m，已知M和
水平面的最大静摩擦力为2 N．现使此平面绕中心轴转动． 问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10 m/s2)
的合力( )
提示：向心力大小不变，方向不断变化，故(1)错误；向心 力是根据效果命名的力，故(2)错误；(3)对．
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曲线运动
二、变速圆周运动和一般的曲线运动 自研教材
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一 般产生两个方向的效果． 切向 (1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，只产生________加速 大小变化 度，描述线速度_________的快慢．
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曲线运动
解析：选 A.稳定后，两球角速度相等， 由例 2 中结论 ω＝ g . lcos β cos β 解得：cos α＝ ，故 A 正确． 2 g 得： lcos α g ＝ 2lcos α
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曲线运动
要点三
变速圆周运动的分析
1．做变速圆周运动的物体的受力特点 物体做加速圆周运动时，合外力方向与速度方向的夹角小 于90°，此时把F分解为两个互相垂直的分力，跟圆周相切
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曲线运动
(2)由牛顿第二定律得 mv2 mgtan α＝ 由几何关系得 r＝Lsin α r 所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为 v＝ gLtan αsin α. (3)小球运动的角速度 v gLtan αsin α ω＝ ＝ ＝ r Lsin α 2π 小球运动的周期 T＝ ＝2π ω g Lcos α Lcos α . g
的分力Ft 和指向圆心方向的分力Fn ，如图所示，其中Ft 只
改变v的大小，使v增大，Fn只改变v的方向，Fn产生的加速 度就是向心加速度．同理，F与v的夹角大于90°时，Ft使v 减小，Fn改变v的方向．
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曲线运动
2．两种圆周运动的比较 运动 项目 匀速圆周运动 v、an、Fn大小不变、方 向变，ω、T、n不变 合力等于向心力 有 变速圆周运动
受到的性质力．
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曲线运动
2．向心力的来源
在匀速圆周运动中合外力一定是向心力；非匀速圆周运动
中，沿半径方向的合外力提供向心力． 充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也 可以是各力的合力或某力的分力．与沿半径指向圆心方向 垂直的力不能提供向心力．
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曲线运动
3．向心力的大小 v2 Fn＝man＝m ＝mω2r＝mωv. r 对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速 圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面 内做的圆周运动)，其向心力大小随速率 v 的变化而变 化，公式表述的只是瞬时值． 4．向心力的方向
弹力有关的临界问题,此类问题中，绳恰好无弹力为临界状
态.2与支持面弹力有关的临界问题,此类问题中，恰好无支 持力为临界状态.3因静摩擦力而产生的临界问题,此类问题
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曲线运动
跟踪训练2
(2013· 汕头高一检测)质量分别为 M 和 m 的两个小球， 分别用长 2l 和 l 的轻绳拴在同一转轴上， 当转轴稳定转 动时，拴质量为 M 和 m 的小球悬线与竖直方向夹角分 别为 α 和 β，如图所示，则( )
cos β A．cos α＝ B．cos α＝2cos β 2 tan β C．tan α＝ D．tan α＝tan β 2
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曲线运动
【解析】
设物体 M 和水平面保持相对静止，当 ω 具有最小值
时，M 有向着圆心 O 运动的趋势，故水平面对 M 的摩擦力方向 背向圆心，且等于最大静摩擦力 Fm＝2 N. 对 M 有 FT－Fm＝Mrω2.(3 分) 1 则 ω1＝ ＝ FT－Fm/Mr＝ mg－Fm/Mr
A．重力 C．桶壁的支持力
B．静摩擦力 D．滑动摩擦力
解析：选C.衣物做匀速圆周运动的圆面在过衣物所在位
置的垂直于轴的平面内，圆心为与轴的交点．衣物受到 重力、支持力和静摩擦力，重力和静摩擦力在竖直方向 上不可能充当向心力，而支持力指向圆心，故支持力充 当向心力，C正确．
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曲线运动
要点二
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指
向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
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曲线运动
抚顺高一检测)如图，小物体m与圆盘保持相对静 例1 (2013· 止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是( A．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B．摩擦力的方向始终指向圆心O )
0.3×10＋2/0.6×0.2 rad/s≈6.5 rad/s.(2 分)
故 ω 的范围为 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.(1 分)
【答案】
2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
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曲线运动
【归纳提升】
关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要
特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界 条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分 析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列方程 求解.通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：1与绳的
Байду номын сангаас
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曲线运动
例3
如图所示，一质量为m的木块从光滑的半球形的碗
)
边开始下滑，在木块下滑过程中(
A．它的加速度方向指向球心
B．它所受合力就是向心力
C．它所受向心力不断增大 D．它对碗的压力不断减小
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第五章
曲线运动
【解析】
下滑过程中木块沿弧线切线和法向方向均有加速度，
合加速度不指向球心(底端除外)，A 错误；物体所受合力的径向 分量是向心力，且是变化的，B 错误；下滑过程中速度加快，由 v2 F 向 ＝m ，向心力增大，C 正确；而向心力是由支持力和重力径 R 向分力的合力提供，随着下滑过程，设重力与沿半径方向成夹角 v2 θ，则 FN－mgcos θ＝m ，由于 θ 减小，而合力在增大，因此支 R 持力在增大，即可推出物体对碗压力增大，D 错误．
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曲线运动
成功体验
判断正误：
(1)变速圆周运动的向心力并不指向圆心( (2)变速圆周运动的向心力大小改变( ) ) )
(3)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变( 提示：(1)× (2)√ (3)√
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曲线运动
要点探究讲练互动
要点一 对向心力的理解 1．向心力是效果力 向心力的作用效果是只改变速度方向不改变速度大小． 它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以充 当向心力．受力分析时不分析向心力，只分析物体实际
向指向圆心，故BCD正确．A选项中多加了一个向心力，
应明确这里的向心力就是静摩擦力，故A错误． 【答案】 BCD
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第五章
曲线运动
跟踪训练1 如图所示，在匀速转动的洗衣机圆桶内壁上有一衣物一起 随桶转动且与桶壁保持相对静止．则衣物所受的向心力是 由下列哪个力提供( )
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曲线运动
A．汽车拐弯时向心力由汽车方向盘来提供
)
B．汽车拐弯时向心力由地面来提供，与线速度方向相反 C．汽车拐弯时所受合外力指向圆心方向 D．汽车拐弯时所受合外力可能指向如图虚线方向
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第五章
曲线运动
解析：选D.汽车拐弯时向心力由地面摩擦力来提供， 方向与线速度方向垂直，由于减速拐弯，所以合外力 沿v的反方向有分力，合外力方向可能指向题图所示的
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第五章
曲线运动
例2 长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O
点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，
当摆线L与竖直方向的夹角为α时，求： (1)细线的拉力F. (2)小球运动的线速度的大小． (3)小球运动的角速度及周期． 【思路点拨】 先对小球进行受力分析，找到向心
力．再由几何关系求出小球做圆周运动的半径．
特点
向心力 来源 周期性
v、an、Fn、ω均变化
合力沿半径方向的分力 不一定有
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第五章
曲线运动
运动 项目 条件 性质 公式 匀速圆周运动 合外力大小不变， 方向 始终与速度方向垂直 变速圆周运动 合外力变化、方向 与速度方向不垂直
都是非匀变速曲线运动 v2 v2 Fn＝m ＝mω2r，an＝ ＝ω2r 通用 r r
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曲线运动
【答案】 (3)
mg (1) cos α 2π
(2) gLtan αsin α Lcos α g
g Lcos α
【方法总结】
(1)在解决匀速圆周运动的过程中，要知道
物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个 关键环节． (2)列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向心 力，利用题目条件灵活运用向心力表达式．
匀速圆周运动的处理方法
1．分析思路 凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力，而物体所受 外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础． 2．解题步骤 (1)四确定：确定研究对象、确定轨道平面、确定圆心位 置、确定向心力的方向(确定轨道平面和圆心位置是难点)．
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曲线运动
(2)受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分 析)，明确 F 向 的来源． (3)用合成法或正交分解法去求 F 向． v2 2 2π 2r. (4)列方程 F 向 ＝mω r＝m ＝m T r (5)解方程求出结果．