高等地震学-第一章-场论

z
b
a
kθ
jy i x
•矢量 运 算 ：
(a b) c a (b c)
a
b

b
a

abcos
a
b

a
b
c os
ab

a
b
s in n
a b axbx ayby azbz
i j k a b ax ay az
e213=e132=e321= -1

C AB

Ci eijk Aj Bk
六、向量分析
1. 哈密尔顿算子(Hamilton 算子)
2.梯度 :
G grad
Gi


xi
,i
3.散度:
A
A1

A2

A3

divA
x1 x2 x3
4.张量的缩阶
任一张量，令其中的两个指标相 等，称为张量的缩阶，缩阶后的阶 数减少两阶
5.张量不变量(Tii, Tij Tji,TijTjkTki)
Tii= Tii′ Tij Tji＝ Tij ′Tji′ TijTjkTki＝ Tij ′Tjk ′Tki ′
6.张量判别定理：
一阶张量Aj 和Bi，若Tij满足：
• Stein, S. and Wysession, M.,2003，An Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure, Blackwell Publishing, 2003
• Lay, T. and Wallace, T. C., 1995. Modern global seismology, Academic Press, New York
eii (3)
3.设Bij是反对称张量，Aij是对称张量,求 AijBij
4.已知：xi′和xi两个直角坐标系各个轴 之间的夹角如下表，求变换系数αij， 并证明：正交条件满足
αij αik＝ δjk
X1 X2 X3
X1′ 135° 60° 120° X2′ 90° 45° 45° X3′ 45° 60° 120°
A divA Ai,i
4. 旋度: i j k


rotA A



x1 x2 x3
A1 A2 A3


A3 x2

A2 x3
i

A1 x3

A3 x1

j

A2 x1

A1 x2
k
则： Cij＝ dij ＋bij （i,j=1.2.3） 二阶张量
2. 张为量二积阶：张两量个一阶张量di，bj，乘积定义
Cij′＝di′bj′ ＝ailajmdlbm=ailajmClm
3.对称张量及其反对称张量：张量dij 若：
dij＝dji
对称张量
dij＝－dji 反对称张量
• 矩阵形式
对称张量 :
sin
二、如何引入张量？
1、引入新量的原则：
• 应保持原有标量和矢量的主要性质
• 应把原有的标量和矢量包含在新量 定义的范围内，即定义方式是一致 的
二、如何引入张量？ 2、标量、矢量的主要性质： 坐标轴旋转时矢量的长度 是保持不变的
三、矢量代数（复习）
• 矢量表示法：
1. 有向线段表示
2. 坐标系（直角）表示
dxi：回路C上弧元的第i个分量
S：回路C所包围的封闭曲面
在回路C 上积分的环向与S 的外法向n 依右手定向规则：
n 指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。
§1.1 作 业：
1. 证明下列各式
ijij (3)
2. 直接展开证明
eijkekij=6 eijkajak=0
ij jkik (3) ij jk (ik ) ij Aik ( Ajk )
bx by bz
• 矢量运算的表示法
坐标法：x → x1 y → x2
符号法： xi (i=1,2,3) a = ai (i=1,2,3)
则： 3 a b aibi i 1
z → x3
• Einstein约定求和（哑指标规则）: 两个指标重复出现时，表示此指标求和
a a1e1 a2e2 a3e3 记作aie i
2. 一阶张量：设量A有三个分量Ai （i＝ 1,2,3），当坐标按照（1）做正交变
换时，它与坐标轴变换相同，即：
Ai′＝aij Aj
3. 二阶张量： 设有一量B，它有9个 分量Bij，当坐标按照（1）变换 时它按下式变换：
Bij′＝ailajmBlm
4. 三阶张量: 设有一量C，它有27个 分量，Cijk，坐标按照（1）变换 时它按下式变换：
x3′＝ a31x1+a32x2+a33x3
x1
X1′
矩阵形式为：

x1' x2'


a11 a21
a12 a22
a13 x1
a23



x2

x3' a31 a32 a33 x3
xi′＝aij xj (i,j=1,2,3) （1）
反对称张量
T11 T12 T13
0
T12 T13
T T12
T22
T23

T T12
0
T23

T13 T23 T33
T13 T23 0
任意二阶张量T：
Tij

1 2
Tij
Tji

1 2
Tij
Tji
Aij Bij
高等地震学
陈晓非 于湘伟 Email： xfchen1@； yuxw@
中国科学技术大学 中国科学院大学地球科学学院
课程属性: 专业普及课 学时/学分: 40/2.5 预修课程:
高等数学
数理方程:矢量分析 地震学
普通物理
成绩评定
• 平时成绩：30分
（作业和文献阅读）
5.
备
注
•矢量： 既有大小，又有方向，三个分量，可 以用空间的平移运动表示
标量和矢量能完全描述所有物理 量的特征吗？
S:
′
l
S
θ
F
S:
（n 正应力）
(切应力） l
F″ S
△l
n

F S

F cos
S

F S
cos2
cos

F S

F S
cos
rotA eijk
Ak x j
ei
eijk Ak , jei
5.拉普拉斯算子
2 xixi
2

2
x12

2
x22

2
x32
,ii
6.面积分与体积分变换公式(高斯定理)


B ds BdV
s
V
Binids Bi,idV
Bi＝ Tij Aj
则 Tij 为二阶张量
7. ij

1 0
i j i j
二阶张量(单位张量)
11 22 33 1
12 21 13 31 23 32 0
8. 循环符号 eijk 是三阶张量
即： e112=e332=e223= 0
e123=e231=e312= 1
反变换为： xi ＝aji xj′
根据长度不变性 xixi=xi′xi′可得 转换系数如下性质：
aijaik=δ jk ajiaki=δ jk
线性正交变换
四、张量定义
xi′＝aij xj (i,j=1,2,3) （1）
1. 零阶张量：量φ，只有一个分量，当 坐标变换按照（1）式变换时，它保 持恒定，则φ称为标量或者零阶张量
• 期末考试：70分
(考核方式：闭卷考试）
•纪律要求：课堂、作业、考试
教学目的和要求
• 本课程为准备从事地震学研究的固 体地球物理学领域的研究生提供必 备的地震学进阶训练。从连续介质 力学开始，学习地震波动方程数学 上的推导和在不同模型中求解，并 从物理角度理解和掌握地震学在地 球内部的传播现象，以及地震震源 的物理模型。
s
V
Bi：矢量B的第i个分量 ni : S面外法线的第i个分量 V：体积 S：包围体积V的封闭曲面
7.面积分与线积分变换公 式（斯托克斯定理）
B dl B ds
c
S
Bidxi eijk Bk, jnids
c
s
Bi：矢量B的第i个分量
ni : S面外法线的第i个分量
内容提要
• 第一章 弹性动力学基础 • 第二章 无限介质中波的传播 • 第三章 成层半空间的地震波 • 第四章 射线理论 • 第五章 地震学中的反演问题
内容提要
• 第六章 面波理论与简正模型 • 第七章 非弹性介质中的地震波 • 第八章 地震震源
教材与参考书
教材： 无
参考书：
• 傅淑芳，朱仁益，1997，《高等地震学》，地震 出版社，北京
alel
akek
推论：同时改变亚指标符号，不影 响所得结果
u a11x1x1 a12 x1x2 a13 x1x3 a21x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31x3 x1 a32 x3 x2 a33 x3 x3 aij xi x j
akl xk xl
• 坐标变换(正交坐标变换 xi → xi′)
aij=cos(xi′，xj) xi′轴与xj轴的方向余弦
则：
xi′＝aij xj
(i,j=1,2,3) （1）
或者：
x1′＝ a11x1+a12x2+a13x3 X3′
x3 X2′
x2′＝ a21x1+a22x2+a23x3
x2
Cijk′＝airajsaktCrst
………. 5、N阶张量： 设量E有3n个分量，
当按（1）式做正交变换时，它按 下式变换：
Eijkl….n′＝airajsakt.......anyErst…y
五、张量性质
1. 张量和：两个阶数相同的张量可以相加或 者相减，结果与原张量同阶，如二阶张量 dij 和bij
• Shearer P., 2009, Introduction to Seismology（2nd）, Cambridge University Press, Cambridge
第一章 弹性动力学基础
§1.1 预备知识：场论
－、为什么要引入张量？
•标量：只有大小，没有方向，一个分量，比如 温度，密度等