梅森素数为何这样重要
魅力无穷的梅森素数
魅力无穷的梅森素数——香港科技大学方程2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大Z的梅森素数。
该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。
世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。
我们为何要寻找那些动辄千万位的素数？
我们为何要寻找那些动辄千万位的素数？素数的特别之处远不仅是只能被自己和1整除的数字，它们是数学里神秘的谜团，是自欧几里得证明它们没有终点以来就一直让数学家渴望解开的秘密。
“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）是一个正在进行的项目，其目的在于发现越来越多的特别罕见的素数。
最近，我们找到了迄今为止已知的最大素数，共23,249,425位，这是个非常大的数字，轻轻松松就能填满9000多页纸。
相比之下，在整个可观测宇宙中，原子数的总和估计不超过100位数字。
或许你会问，如果一个数字超过了2300多万位，那它还具有被知道的意义吗？难道最重要的数字不是可以用来量化我们世界的那些吗？事实并非如此。
我们需要了解不同数字的属性，以便让我们不仅能够继续发展我们赖以生存的技术，同时还能确保它的安全。
素数加密素数在计算方面最常见的应用之一就是RSA加密系统。
1978年，Ron Rivest，Adi Shamir和Leonard Adleman将一些简单的数字相关的已知事实结合在一起，创建了RSA加密演算法。
他们开发的系统确保了在线信息的安全传输，如信用卡号码。
该算法所需的第一个重要成分就是两个大的素数。
数字越大，加密越安全。
计数数字1、2、3、4等自然数在这里显然也非常有用。
但素数是所有自然数的基础，所以更为重要。
以数字70为例，首先它是2和35的乘积；接着，35是5和7的乘积。
所以70是三个较小的数字：2、5和7的乘积。
这就是70可分解的所有数字，因为这些数字都无法再被进一步细分。
也就是说我们找到了构成70的初始部分，得到了它的素因子分解。
将两个数字相乘，即使数字非常大、过程很单调乏味，却也可算是一个简单的任务。
但寻找素因子却是非常困难的，这也正是RSA系统所利用的。
假设小红和小明要通过互联网进行秘密的通信，那么他们需要一个加密系统。
如果他们先亲自见上一面，就可以事先设计一种只有他们知道的加密和解密方法，但是他们的首次接触就是通过在线网络，那么他们首先需要公开交流的就是加密系统本身——这是一件冒险的事。
梅森素数--美丽的贝壳
梅森素数--美丽的贝壳⼀、价值五万美元的素数2000年4⽉6⽇，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特⽡拉(Nayan Hajratwala)先⽣得到了⼀笔五万美元的数学奖⾦，因为他找到了迄今为⽌已知的最⼤素数，这是⼀个梅森素数：2^6972593-1。
这也是我们知道的第⼀个位数超过⼀百万位的素数。
精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的⼗进制形式的话，它共有两百零九万⼋千九百六⼗位数字，如果把它以这个形式写下来，⼤约需要150到200篇本⽂的篇幅。
可是哈吉拉特⽡拉先⽣并不是⼀个数学家，他甚⾄很可能对寻找素数的数学理论⼀⽆所知——虽然这使他赢得了这笔奖⾦。
他所做的⼀切，就是从互联⽹上下载了⼀个程序。
这个程序在他不使⽤他的奔腾II350型计算机时悄悄地运⾏。
在经过111天的计算后，上⾯所说的这个素数被发现了。
⼆、梅森素数我们把⼀个⼤于1的⾃然数叫作素数，如果只有1和它本⾝可以整除它。
如果⼀个⽐1⼤的⾃然数不是素数，我们就叫它合数。
1既不是素数，也不是合数。
⽐如说，你很容易就可以验证7是⼀个素数；⽽15是⼀个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。
根据定义，2是⼀个素数，它是唯⼀的偶素数。
早在公元前三百年的古希腊时代，伟⼤的数学家欧⼏⾥德就证明了存在着⽆穷多个素数。
关于素数，有许多既简单⼜美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。
其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何⼀个⼤于6的偶数，都能表⽰为两个奇素数之和。
还有孪⽣素数问题。
象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪⽣素数。
孪⽣素数问题是说：是不是有⽆穷多对孪⽣素数？这⾥要顺便提⼀下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决⽅法将⼀定是极其复杂的，需要最先进的数学⼯具。
如果你不是狂妄到认为⼏百甚⾄⼏千年来所有在这些问题上耗费了⽆数聪明才智的数学家（有许多是⾮常伟⼤的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图⽤初等⽅法去解决这些问题，徒费时间和精⼒。
迈尔森定理
迈尔森定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：迈尔森定理(Mersenne's Theorem)是一条数论定理，它描述了一类形如2^n-1的数是否为素数的情况。
该定理由17世纪法国神父梅森尼(Marin Mersenne)在他的著作中首次提出，并因此而得名。
梅森尼定理在数学中起着重要的作用，它不仅可以帮助人们判断某些特定形式的数是否为素数，还可以辅助解决一些现实生活中的问题。
迈尔森定理的表述很简单，即形如2^n-1的数若为素数，则n必须也是素数。
这个定理的原理是基于素数的定义，即只能被1和自身整除的数。
通过对2^n-1的形式进行分析，可以得出该结论。
根据迈尔森定理，如果我们要判断一个形如2^n-1的数是否为素数，只需要先确定n是否为素数，然后再进行进一步的测试即可。
在数论领域中，迈尔森定理已经被广泛应用于素数的研究和验证领域。
由于素数在密码学、计算机科学等领域具有重要的作用，因此迈尔森定理的研究也成为了学者们关注的焦点之一。
在现代密码学中，大素数的生成和素数测试是非常关键的一步，而迈尔森定理正好为这些工作提供了一个有效的判断方法。
迈尔森定理的重要性不仅在于其理论上的价值，还在于它对于实际问题的帮助。
在寻找梅森素数(Mersenne primes)这一领域中，迈尔森定理也发挥了积极的作用。
梅森素数是一类形如2^p-1的素数，其中p为素数。
由于迈尔森定理的存在，研究人员可以更有效地寻找这类特殊素数，并通过进一步的分析来应用到实际问题中。
在数学的发展历史中，迈尔森定理也曾经引发过一些争议和挑战。
一些数学家曾尝试寻找迈尔森定理的反例，即找到一个n是素数，但2^n-1却不是素数的情况。
至今为止，并没有发现这样的例子，迈尔森定理仍然被认为是成立的。
第二篇示例：迈尔森定理，又称为美尔森定理，是一种用来描述数字的分布规律的定理。
该定理由德国数学家迈尔森在19世纪初提出，被广泛应用于统计学、金融学、生物学等领域。
梅森素数及其生成方法
梅森素数及其生成方法
梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是一个素数。
梅森素数因为其特殊形式和特殊性质而备受数学爱好者的关注。
本文将介绍梅森素数的生成方法以及重要性。
一、生成梅森素数的方法
梅森素数的生成方法最早可以追溯到17世纪，当时法国数学家梅森（Marin Mersenne）提出了一个形如2^p-1的素数可能是梅森素数的猜想。
梅森素数的生成方法为首先选取一个质数p，然后计算2^p-1是否为素数，若是，则2^p-1就是梅森素数。
目前已知的梅森素数十分有限，截止到2021年4月，已知的梅森素数仅有51个。
其中最大的一个是2^82,589,933-1，它包含24,862,048个数字。
二、梅森素数的重要性
梅森素数因为其特殊性质而在密码学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
首先，梅森素数的质数性质使得它们在密码学的应用中发挥了重要作用。
RSA加密算法，通常用于安全通信和数字签名，就是基于梅森素数的质数性质来实现的。
其次，在计算机科学领域，梅森素数被广泛用于构造一些高效的算法和数据结构，例如哈希表、布隆过滤器等。
另外，在数论中，梅森素数也因其稀少、特殊的形式而成为数学家研究的对象，对研究数学基本问题和不等式等方面有非常重要的作用。
三、结语
梅森素数虽然数量稀少，但因其特殊的形式和性质而成为数学研究和应用领域的重要对象。
我们希望通过本文的介绍，能够让更多的人认识梅森素数，并了解它们的重要性和应用。
数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个
数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个10月13日消息，众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
貌似简单探究极难梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。
1952年，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
令人着迷的梅森素数
令人着迷的梅森素数作者：邵红能来源：《百科知识》2017年第10期2016年1月7日，美国数学家库珀发现第49个梅森素数274207281-1，即2的74207281次方减1。
这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。
如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65千米！梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。
所谓梅森数，是指形如2p-1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
如果梅森数是素数，就称为梅森素数。
用因式分解法可以证明，若2n-1是素数，则指数n也是素数;反之，当n是素数时，2n-1却未必是素数。
前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。
是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一，300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。
梅森素数的神秘诞生1588年9月8日，数学家梅森出生在法国奥泽的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。
梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美誉。
他是17世纪欧洲科学界一位独特的、极具魅力的人物，他学识广博、才华横溢，是当时法国许多科学家的密友。
当时，大多数科学家喜欢以相互通信的方式交流科学思想，许多数学家都乐于将研究成果寄给梅森，然后凭借他热情诚挚的性格和丰富的社交圈，研究成果会在科学界广泛传播开来。
梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学的交换站”。
由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p-1型的数，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将2p-1型的数称为梅森数，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）;如果Mp为素数，则称之为梅森素数。
稀世珍奇的梅森素数
稀世珍奇的梅森素数作者：石永进成启明来源：《青少年科技博览（中学版）》2010年第01期2009年4月，挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第47个梅森素数，该素数为242643801-1，即“2的42 643 801次方减1”。
它有12 837 064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!专家们认为，这一重大发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。
梅森素数的由来素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2，3，5，7等。
公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出，了少量素数可写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国著名数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。
由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以M。
记之；如果M。
为素数，则称之为“梅森素数”。
两千三百多年来，人们呕心沥血，寻寻觅觅，仅发现了47个梅森素数。
由于这种素数稀世珍奇，因此被人们誉为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数学研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
艰辛的探究历程“看似平凡最崎岖，成如容易确艰辛”(王安石诗)。
梅森素数的研究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31(即231-1=2147483647)是一个素数。
它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力和技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的荣誉感。
最新梅森素数：千年不休的探寻之旅-word文档
梅森素数：千年不休的探寻之旅还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7......”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256......”十多年来，个人计算机内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127......嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前......别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜......你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23......的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：象5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，则这个数就叫做完美数。
很容易找到，6＝1＋2＋3是第一个完美数，28＝1＋2＋4＋7＋14则是第二个完美数。
梅森素数的故事
梅森素数的故事
梅森素数是一类特殊的素数，它们的形式为2的n次幂减一（n为正
整数），例如3、7、31、127等。
这类素数得名于17世纪英国数学家梅森。
梅森是17世纪英国科学史上的一个著名人物，他同时也是一位数学家。
梅森对数学有着浓厚的兴趣，并且以其锐利的头脑和创造性的思维闻
名于世。
梅森发现了一类特殊的素数，即2的n次幂减一的形式。
他认为，这
类素数很有可能是无穷的，因为它们的形式非常简单，而且很容易生成。
于是，他开始研究这类素数，并且尝试找到更多的这样的素数。
但是，梅森并没有能够找到更多的梅森素数。
他认为这可能是由于他
的计算方法不够精确。
因此，他决定将这个问题留给后人去解决。
随着时间的推移，人们继续研究梅森素数，并且找到了越来越多的这
类素数。
人们对梅森素数的研究也不仅仅是为了满足好奇心，更重要的是，梅森素数在现代密码学中具有重要的应用。
人们使用梅森素数来生成随机数，保障密码的安全性。
梅森素数的故事告诉我们，科学的发展需要多代人的努力，没有哪位
天才独善其身。
只有不断地积累，不断地尝试，才能让人类的智慧和科技
不断地进步和发展。
几个著名素数研究的历史与现状
几个著名素数研究的历史与现状1. 费马素数费马素数是指形如2^{2^n} + 1的素数。
这个概念最早是由费马在17世纪提出的，但直到19世纪末才被证明了第五个费马素数存在。
目前已知的费马素数一共有五个：3,5,17,257,65537费马素数在密码学中扮演着重要角色，因为它们很难被分解，直接应用埃及神秘学中的“同步号码”加密法基于费马素数构造。
同时，费马素数也是研究大素数性质的契机之一，因为它们的位数极大，超过了目前计算机的处理能力，所以研究这些数字的性质需要采用各种数学技巧，有助于推进现代数学的发展。
2. 梅森素数梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是一个素数。
这个概念最早是由欧几里得在公元前3世纪提出的，但直到17世纪才被梅森用来研究完全数。
目前已知的梅森素数一共有47个，其中最大的一位数有77,232,917位，是目前已知的最大质数。
梅森素数除了在研究完全数时有一定的应用外，在密码学、计算机科学等领域也有着重要的应用。
另外，由于梅森素数数量很少，且形式简单易于验证，因此人们通过寻找更大的梅森素数，也可以推进素数的研究。
3. 索菲·日耳曼素数索菲·日耳曼素数是指形如2^{2^n}+1的素数，其中n也是一个素数。
这个概念最早是由日耳曼在1960年提出来的，但直到2001年才被证明第一个索菲·日耳曼素数存在。
目前已知的索菲·日耳曼素数只有三个：3,5,7索菲·日耳曼素数是素数研究中的一种新型概念，它的数量极少，并且非常特殊，因此具有很高的研究价值。
此外，索菲·日耳曼素数在密码学和计算机科学中也有一定的应用。
数字里的超级黄金搭档，梅森素数和完全数
数字⾥的超级黄⾦搭档，梅森素数和完全数你是从什么开始学习数学的？应该是百分之百的⼈都会说从1,2,3开始的啊，这⼤概也是全世界所有接受过数学教育的⼈们的共同轨迹。
不会有⼈说他是先学加减乘除，然后才认识1,2,3的。
事实上，这是数学知识从零开始的第⼀步，创造出数字来。
我们可以列举到很⼤很⼤的数了，然后呢？那就开始研究这些数字都有哪些特质了，⽐如，有奇数，有偶数，有整⼗数，整百数。
很快⼈们就把数字做了很多种分类，其中⼀个分类开启了数字研究的先河。
01古希腊⼈发现，在所有可以数的数⾥，有⼀类数很特⽴独⾏，它只能被和⾃⾝整除。
也就是说，这⼀类数只有2个约数，他们给这样的数起了⼀个⾮常形象到位的名字——素数。
与之对⽐，那就是除了1和⾃⾝还有别的约数的数，起名叫合数。
这样⼀来，我们就可以把全体⾃然数（整数）分成0,1，素数，合数（1在历史上曾经也被看做是素数）这4⼤类。
后来，⼈们逐渐发现素数并不是吃素的，它有个许多不同⼀般的⽓质。
⽐如，你不知道它什么时候会出现，不知道在⼀定范围内有多少个素数，也不知道素数和素数之间的间隔是怎样的。
总之，⾃从素数被当成研究热点以来，⾝上的谜团就⼀直都没有停⽌过。
事实上，有很多素数问题即使已经被研究了⼏千年，⾄今也仍然没有完全解决，⽐如孪⽣素数猜想。
不过也不是所有的素数问题都是巨难⽆⽐，⽐如同样在古希腊的欧⼏⾥得就给出了⼀个漂亮⽆⽐的关于素数的是⽆穷多个的证明，这也是⼈类第⼀次⽤反证法进⾏逻辑推理，堪称证明的典范。
假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最⼤的⼀个素数是p。
设q为所有素数之积加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素数。
那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。
⽽q被这2、3、…、p中任意⼀个整除都会余1，与之⽭盾。
所以，素数是⽆限的。
同样在古希腊，⼈们⼜发现了所有合数都可以被写成素数的幂乘积的形式。
⽐如6=3×2,200=2×2×2×5×5,126998236999566=2×3×3×23×12569×24406001。
梅森素数：数学海洋中的璀璨明珠
梅森素数：数学海洋中的璀璨明珠2021年8月，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的运算机专家史密斯（E.Smith）通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发觉了第46个也是最大的梅森素数243112609-1，该素数也确实是2自身相乘43112609次减1，它有12978189位数，假如用一般字号将那个巨数连续写下来，它的长度可超过50公里!最近，这一成就被美国的《时代》杂志评为“2021年度50项最佳发明”之一，排名在第29位。
人类迄今只找到46个梅森素数素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。
公元前300多年，古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2p－1（其中指数P为素数）的形式。
此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等都研究过这种专门形式的素数，而17世纪的法国数学家梅森（Ｍ.Ｍersenne）是其中成果最为卓著的一位。
由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中Ｍ为梅森姓氏的首字母）；假如Ｍp为素数，则称之为“梅森素数”(Ｍersenne prime)。
2300多年来，人类仅发觉46个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学海洋中的辉煌明珠”。
梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点。
貌似简单却难度极大的探究梅森素数貌似简单，但研究难度却专门大。
它不仅需要高深的理论和熟练的技巧，而且还需要进行艰巨的运算。
1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情形下，靠心算证明了Ｍ31（即231－1＝2147483647）是一个素数。
它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力与技巧都令人赞扬不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。
难怪法国大数学家拉普拉斯（place）向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
梅森数
梅森数梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
目录编辑本段也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血。
（参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”）在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
编辑本段梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
梅森素数为什么这么重要？
梅森素数为什么这么重要？作者：许家辉来源：《大众科学》2018年第07期“它反映了一个国家的科技水平，是人类智力发展在数学上的一种标志，更是整个科技发展的里程碑之一。
梅森素数究竟是个怎样的数，为何如此重要呢？”众所周知，素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。
2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等。
在素数的探究中，人们发现少量的素数可表示为2^P-1（即2的P次方减1，其中指数P为素数）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。
由于这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，它吸引了包括数学大师欧几里得、笛卡尔、费马、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯和图灵等在内的众多数学家和无数的业余数学爱好者。
17世纪的法国数学家马林·梅森在欧几里得、笛卡尔、费马等数学大师的有关研究基础上对2^P-1型素数作了大量的计算、验证。
由于梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2^P-1型素数称为“梅森素数”。
2300多年来，人类仅发现50个梅森素数。
这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数学领域的璀璨瑰宝”。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算。
例如，1772年，素有“数学英雄”之称的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数；这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。
他的的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯经常对他的学生说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，一共只找到12个梅森素数。
即使是在“计算机时代”，每一个梅森素数的产生都艰辛无比，并且存在着十分激烈的竞争。
数学珍宝
数学珍宝作者：陈琦章平来源：《百科知识》2009年第15期据美国媒体《全国公共广播电台》(NPR)今年6月16日报道，挪威科学家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”；它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米。
梅森素数的诱惑素数也叫质数，是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7等)，素数有无穷多个，而形如“2的P次方减1”(其中指数P为素数)的素数称为梅森素数，以17世纪法国著名数学家、法兰西科学院的奠基人梅森的名字命名。
梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
早在公元前300多年，古希腊数学大师欧几里得就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河。
他在《几何原本》这一经典著作中论述完全数时曾研究过这种特殊的素数。
由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家。
2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学珍宝”。
梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数“2的11213次方减1”通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为让全世界都分享这一成果，他们把所有从系里发出的信封都盖上了“2的11213次方减1是个素数”的邮戳。
特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究梅森素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。
网格技术来助力网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。
梅森素数为何“火爆”全球
毅力与 技巧都令人赞
叹不 已 ， 难 怪 法 国 大 数 学家 拉 普 拉斯 向他
骄傲， 为让全世界都分享这一成果 ， 以 至把所有从系里发 出的信封都盖上了
“ ２ １ １ ２ １ ３ － １ 是 个素数 ” 的邮戳 。
的学生们说：“ 读读欧 拉， 他 是我们每一个
人 的老 师。 ” 为 了寻 找 下 一 个
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梅森素数为何 ‘ 爆’ ’ 全球
＠ 林远
目前世界上有１ ９ Ｏ 多个国家和地区 近７ ０ 万人， 参加 了一个名为 “ 互联 网梅 森素数大搜索”（ Ｇ Ｉ ＭＰ Ｓ ） 的国际合作
项 目， 并动用了超过 １ ３ ６ 万 个中央 处理器
难 度极 大 的 探 究
大学洛杉矶分校的数学家拉斐尔 ・ 鲁 宾逊 （ Ｒ ａ ｐ ｈ ａ ｅ ｌ Ｒ ｏ ｂ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ ） 将著 名的 ‘ ‘ 卢
梅森素数貌似简单， 但 当指数Ｐ 值
较大时， 其素 陛检验的难度就会很大；
梅森素数的由来 ２ ３ ０ ０ 多年前， 古希腊数学家欧几里 得在名著 《 几何原本》 中就已经证明素 数有无穷多个， 如２ 、 ３ 、 ５ 、 ７ 、 １ １ 等等； 同
２ ３ 卜１ （ 即２ １ ４ ７ ４ ８ ３ ６ ４ ７ ） 是个素数。 该素 数是第８ 个梅森素数， 堪称当时世界上 已知
的最 大 素 数 。 欧 拉 的
找到时， 美国广播公司 （ ＡＢ Ｃ） 中断了 正常的节目播放， 在第一时间发布了这
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殊形式的素数 ， 具有 独特 的性质和无穷的
魅力 ， 千 百 年 来 一直
梅森素数
• 此后许多数学家，包括数学大师费马、笛 卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、 哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素 数。而17世纪的法国数学家梅森（Ｍ.Ｍe rsenne）是其中成果最为卓著的一位。
The fascination of Ｍersenne prime
The fascination of Ｍersenne prime
• 由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了 纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其 中Ｍ为梅森姓氏的首字母）；如果Ｍp为素数，则称之为“梅森素数” (Ｍersenne prime)。2300多年来，人类仅发现46个梅森素数。由 于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学海洋中的璀璨明 珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探 索的热点和难点。
The fascination of Ｍersenne prime
至此，人们已经找到了46个梅森素数，想必大家会问：既 然梅森素数是一长串没有规律的数字，人们花费如此大的 精力去找一个这么大的数字，有什么作用呢？
The fascination of Ｍersenne prime
3.梅森素数的意义和价值 3.梅森素数的意义和价值 梅森素数的
梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实 用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径； 它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促 进了计算技术、程序设计技术、密码技术的发 展以及快速傅立叶变换的应用。
探寻梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展。 而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术。 另外，探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算 是否正确。
梅森素数为何这样重要
梅森素数为何这样重要欧几里德的谜题素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。
公元前300多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，他还提出有少量素数能够写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
怎么说有多少个素数能够写成这种形式?欧几里德把那个问题留给了后人。
因此，费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯……几乎所有大数学家都研究过这种专门形式的素数，17世纪的法国数学家马林?梅森是其中成果最为卓著的一位。
梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之;假如Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
然而，2300多年来，人类仅发觉47个梅森素数。
这种素数新奇而迷人，因此有“数学珍宝”的美誉。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。
梅森素数的价值别以为查找梅森素数只是数学家们的消遣和游戏，梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和有用价值。
它是发觉已知最大素数的最有效途径，它的探究推动了数学皇后??数论的研究，促进了运算技术、程序设计技术、密码技术、网格技术的进展以及快速傅立叶变换的应用。
另外，梅森素数的探究方法还可用来测试运算机硬件运确实是否正确。
许多科学家认为，由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，它的研究成果在一定程度上反映了一个国家的科技进展水平。
英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯?索托伊甚至认为它是“人类智力进展在数学上的一种标志,也是科学进展的里程碑”。
查找梅森素数的艰巨之旅在“手算笔录”年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
电子运算机的显现，大大加快了探究梅森素数的步伐。
1952年美国数学家拉斐尔?鲁滨逊等人将闻名的卢卡斯-雷默方法编译成运算机程序，使用SW AC型运算机在5个月之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
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欧几里德的谜题
素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。
公元前300多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，他还提出有少量素数可以写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
究竟有多少个素数可以写成这种形式?欧几里德把这个问题留给了后人。
于是，费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯几乎所有大数学家都研究过这种特殊形式的素数，17世纪的法国数学家马林?梅森是其中成果最为卓著的一位。
梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为梅森数，并以Mp记之;如果Mp为素数，则称之为梅森素数。
然而，2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。
这种素数新奇而迷人，因此有数学珍宝的美誉。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
梅森素数的价值
别以为寻找梅森素数只是数学家们的消遣和游戏，梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。
它是发现已知最大素数的最有效途径，它的探究推动了数学皇后??数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、密码技术、网格技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。
另外，梅森素数的探究方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。
许多科学家认为，由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，它的研究成果在一定程度上反映了一个国家的科技发展水平。
英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯?索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑。
寻找梅森素数的艰难之旅
在手算笔录年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。
1952年美国数学家拉斐尔?鲁滨逊等人将著名的卢卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在5个月之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
然而对人们来讲，梅森素数却仍然是个谜。
梅森素数是不是无穷的?梅森素数有什么分布规律?从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。
英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森素数分布的猜测，但这些猜测都是近似的，没有准确的表达式，都在实践中显出了瑕疵，折戟沉沙。
中国数学家和语言学家周海中是这方面研究的领先者??他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式。
后来这项重要成果被国际上命名为周氏猜测。
《科学》杂志有一篇
文章指出：周氏猜测为人们探究梅森素数提供了方便，是素数研究的一项重大突破。
信息技术带来新希望
让我们再回到GIMPS这个国际项目。
1996年初，美国数学家和程序设计师乔治?沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费下载使用??这就是举世闻名的GIMPS项目，它采取网格计算方式，把大量普通计算机的闲置时间团结起来，获得相当于超级计算机的运算能力。
为了推动梅森素数的寻找，也为了促进网格技术的发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)开始了悬赏。
1999年3月，基金会向全世界宣布：向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元;超过1亿位数，15万美元;超过10亿位数，25万美元。
当然，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、荣誉感和探索精神。
就在最近，10万美元名花有主。
2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家埃德森?史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数M43112609，该数也是目前已知的最大素数。
这个素数有12978189位;如果用普通字号将它连续写下来，长度可超过50公里!这一重大成就被著名的《时代》杂志评为2008年度50项最佳发明之一。
不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的。
本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，因而受到了校方的表彰。