子集、全集、补集知识点总结及练习测试

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子集、全集、补集(一)

另一说法即对于集合A、B， A B, B A
若
，
三则、A真=子B 集的定义
对于两个集合A与B，如果 A B
们就集合A是集合B的真子集，记A≠
用图形表示： A B
∪
，且 A B
B（或 ≠B
，我 A）
例2、写出{a，b}的所以子集，并指出其中哪些是它的真子集
解：集合{a，b}的所有子集是
是{a，b}的真子集。
A ≠B
x {x，| 则2A与B0的}关系是————
}，x则B=A———————{ ——，—{0—}，—{1}，{0，1}}
A∈B
4、集合A= {x | 2 x ，B5=}
{x | m 1 x 2m 1}
若
，试求：（1）实数m的取值范围；（2）当x∈N时，
B A A的真子集个数。
（1）当m+1〉2m-1时，即m〈2，B=
（３）Ａ＝｛０｝，Ｂ＝｛
｝
（）
×
x x | 3 0 （４）Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，Ｂ＝{ｂ，ｃ2 ，ａ，ｄ}（）
×
（５）Ａ＝｛１，－１｝，Ｂ＝｛
｝
（）
√
x | x2 1 0
√
（4）（5）题中 A B, B A
二、集合相等
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
、{a}、{b}、{a，b}，其中
、{a}、{b}
注意：若一个集合的元素有n个，则这个集合的子集有
2n 个，真子集有 2n 1 个
例3、解不等式x－3〉2，并把结果用集合表示
解：由x－3 〉 2可得：x 〉5 故原不等式解集是{x|x 〉5}

1-2子集全集补集(原卷版)

1.2子集、全集、补集【知识点梳理】知识点一子集1．一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 为集合B 的子集．，记作A ⊆B （或B ⊆A ），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． 2．规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆． 3．子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集，即A A ⊆．（2）若A B ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆．知识点二韦恩图韦恩（Venn ）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A 是B 的子集，可用下图表示：知识点三真子集1．如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）． 2．真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集．（2）若A B ，B C ，则A C ．知识点四集合的相等与子集的关系 1．如果A ⊆B 且B ⊆A ，则A =B ． 2．如果A =B ，则A ⊆B 且B ⊆A ．知识点五有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集的个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数2n －1，非空真子集个数为2n －2．知识点六补集1．全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U 表示．2．如果集合A 是全集U 的一个子集，则由U 中不属于A 的所有元素组成的集合，称为A 在U 中的补集，BA记作UA ．3．数学表达式：{}|UA x x U x A =∈∉且．4．用Venn 图表示UA （阴影部分）如图所示：5．给定全集U 的子集及其任意一个子集A ，则 ①()U A A U =； ②()U A A =∅；③()UU A A =．【题型归纳目录】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题题型二：韦恩图及其应用题型三：由集合间的关系求参数的范围题型四：集合间的基本关系题型五：判断两集合是否相等题型六：根据两集合相等求参数题型七：空集的性质题型八：补集及其运算【典型例题】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题例1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（） A ．16B ．15C ．8D ．7例2．（2022·全国·高一专题练习）设集合(){}20M x x x =-=，且N M ⊆，则满足条件的集合N 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8例3．（多选题）（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设{}{}123,,,A a a a B x x A ==⊆，则（） A ．A B =B ．A B ∈C ．B ∅∈D ．A B ⊆UA例4．（2022·安徽·高一期中）设集合12|3A x N y N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 的子集个数为________ 例5．（2022·江苏·高一单元测试）满足{}1A ⊆ {1，2，3}的所有集合A 是___________．例6．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}23,2,0A a a a =++，且3A ∈．（1）求实数a 的值；（2）写出集合A 的所有子集．例7．（2022·全国·高一专题练习）设Y 是由6的全体正约数组成的集合，写出Y 的所有子集．【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）（1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．（2）若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，有()21n -个真子集，有()21n -个非空子集，有()22n-个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．题型二：韦恩图及其应用例8．（2022·上海·高一专题练习）已知集合U =R ，则正确表示集合M ={-1，0，1}和N ={x |x 2-x =0}关系的文氏图是（）A ．B ．C ．D ．例9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（）A ．{}2,4,5B ．{}1,2,5C ．{}1,6D ．{}1,3例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，则下列关系正确的是（）①S ∈U ；②F ⊆T ；③S ⊆T ；④S ⊆F ；⑤S ∈F ；⑥F ⊆U ． A ．①③B ．②③ C ．③④D ．③⑥【技巧总结】（venn 图应用）vvvv 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用．题型三：由集合间的关系求参数的范围例11．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知集合{}0,2A =，{}20B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a =（）A ．1-B ．1C ．0或1-D ．0或1例12．（2022·江苏·高一）设集合{}13A x x =-≤≤，集合{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围为（） A ．3a ≥B ．13a -≤≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-例13．（2022·上海金山·二模）已知集合{}{}21,3,0,3,A B m =-=，若B A ⊆，则实数m 的值为__________．例14．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}2230A x x x =--=，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a的值为___________．例15．（2022·江苏·高一）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．例16．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|16}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =-≤≤+，且B A ⊆．（1）求实数m 的取值范围；（2）当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．例17．（2022·江苏·高一）已知集合{}240,A x x x x R =+=∈，(){}222110,B x x a x a x R =+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．例18．（2022·江苏·高一）已知集合{}{}0,,,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈．（1）若M N ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若M N ⊇，求实数a 的取值范围；（3）若R RMN ，求实数a 的取值范围．例19．（2022·湖南·高一课时练习）已知全集U ＝R ，若A ＝{x |x ＞3m －1}，B ＝{x |－1＜x ＜3}．UB A ⊆，求实数m 的取值范围．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知22{|}}240|2{0A x x x B x x ax a =+-==++-=，，若B A ⊆，求实数a 的值．【技巧总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）（1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．（2）涉及“A ⊆B ”或“A ⫋B ，且B ≠⌀”的问题，一定要分A =⌀和A ≠⌀两种情况进行讨论，其中A =⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视．题型四：集合间的基本关系例21．（2022·江苏·高一）设集合{}4,Z M x x n n ==∈，{}2,N x x n n ==∈Z ，则（） A ．M N ⊆B ．N M ⊆ C ．M N ∈D ．N M ∈例22．（2022·全国·高一专题练习）下列四个选项中正确的是（） A ．{}{}10,1∈B ．{}10,1⊆C ．{0,1}∅∈D ．{}10,1∈例23．（2022·北京密云·高三期中）已知集合{|04,}P x x x Z =<<∈，且M P ⊆，则M 可以是（） A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,2}D ．{3,4}例24．（2022·全国·高一期末）若集合{}|3,Z A x x k k ==∈，{}|6,Z B x x k k ==∈，则A 与B 之间最适合的关系是（） A ．A B ⊆B ．A B ⊇ C ．A B D ．B A例25．（2022·江苏·高一）若集合{|}31,A x x k k Z ==-∈，{|}65,B y y m m Z ==+∈，则集合A 与B 的关系是（）A ．AB =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．不确定例26．（多选题）（2021·四川巴中·高一期中）下列关系中正确的是（） A ．{}0∅B ．0∈∅C ．{}{}0,10,1⊆D ．(){}(){},,a b b a ⊆例27．（2022·江苏·高一）下列三个命题中⊆若A ＝{x |x ＝2n ，n ⊆Z }，B ＝{x |x ＝2（n ﹣1），n ⊆Z }，则A ＝B ； ⊆若M ﹣{x |x ＝2n ﹣1，n ⊆N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ⊆N }，则M ＝N ； ⊆若C ＝{x |x 2﹣x ＝0}，D ＝{x |x ()112n+-=，n ⊆Z }，则C ＝D ；⊆若P ＝{x |x ＝2k ，k ⊆Z }，Q ＝{x |x ＝4k ，k ⊆Z }，则P ⊆Q ．其中真命题的是_____．例28．（2022·全国·高一专题练习）判断下列每对集合之间的关系：（1）{}2,N A x x k k ==∈，{}4,N B y y m m ==∈；（2）{}1,2,3,4C =，D{x x 是12的约数}；（3）{}32,N E x x x +=-<∈，{}1,2,3,4,5F =．例29．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合{}A x x =是平行四边形，{}B x x =是矩形，{}C x x =是正方形，{}D x x =是菱形，求集合A ，B ，C ，D 之间的关系．【技巧总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）．题型五：判断两集合是否相等例30．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（）． A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}10M x x =+>，{}10N y y =+>C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{}1,2M =，(){}1,2N =例31．（2022·江西新余·高一期末）下列集合与集合{}20221A =，相等的是（） A ．（1，2022）B ．(){},|2022,1x y x y ==C ．{}2|202320220x x x -+=D ．{（2022，1）}例32．（多选题）（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）下列与集合()1,30x y M x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬--=⎩⎪⎪⎩⎭表示同一个集合的有（）A ．(){}21-，B ．{}2,1-C ．(){},|2,1x y x y ==-D ．{}2,1x y ==- 题型六：根据两集合相等求参数例33．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x x ax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b += _______ 例34．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=∈R ∣，若M N ，则=a （） A ．3B ．4C ．3-D ．4-例35．（2022·江苏·高一）设集合M ={5，x 2}，N ={5x ，5}．若M =N ，则实数x 的值组成的集合为（） A ．{5}B ．{1}C ．{0，5}D ．{0，1}例36．（2022·全国·高三专题练习）已知集合0a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，{}011B b =-，，，若A =B ，则a +2b =（） A ．-2B ．2C ．-1D ．1例37．（2022·全国·高三专题练习（理））设,a b ∈R ，则集合()(){}()(){}22|10,|10P x x x a Q x x x b =--==+-=，若P Q =，则a b -=（）A ．0B ．2C ．2-D ．1例38．（2022·江苏·高一）设a ，b ⊆R ，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2题型七：空集的性质例39．（2022·全国·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（）A ．{}0B ．{8xx >∣，且}5x < C ．{}210x x ∈-=N∣D ．{}4x x > 例40．（2021·全国·高一课时练习）在下面的写法中：⊆∅ {}0；⊆{}{}00,1∈；⊆0∈∅；⊆{}{}0,11,0⊆；⊆{}0∅∈，错误．．的写法的序号是______．例41．（2021·北京市第一二五中学高一期中）若集合{}210A x x ax =-+==∅，则实数a 的取值范围______．例42．（2022·全国·高一专题练习）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：（1）A =∅；（2）A 恰有一个元素．题型八：补集及其运算例43．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，UA （）A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4,5D ．{}4,5例44．（2022·辽宁沈阳·三模）已知全集{}{}13,12|,U x x A =∈-<≤=N ，则UA （）A ．{}3B ．{}0,3C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-例45．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则UA例46．（2022·上海闵行·二模）设全集{}30U xx x =-=∣，集合{}0,1A =，则UA___________；例47．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集{}|2,U x x x N =≥∈，集合{}39N A xx x =≥∈∣,，则U C A =_____．【技巧总结】补集的求解步骤及方法（1）步骤：⊆确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ⊆紧扣定义求解补集．（2）方法：⊆借助Venn 图或数轴求解； ⊆借助补集性质求解．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·全国·高一专题练习）已知2{|1}A x x ==，1|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则a 的值为（） A ．1或－1B ．0或1或－1C ．1-D ．12．（2022·新疆·二模（理））已知集合{}23,A x x x =<∈N ，则A 的真子集共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．7个3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知集合{},,A a b c =的所有非空真子集的元素之和等于12，则a b c ++的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合{}{}1,2,20A B x ax ==-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为（）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}D ．{0,1,2}5．（2022·重庆一中高三阶段练习）集合{}0,1A =的真子集的个数（） A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知集合{}2|20A x x x =+-=，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的取值组成的集合是（）A ．{}1-B ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．168．（2022·全国·高三专题练习）若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合．其中12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（） A ．1B ．3C ．7D ．31二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·全国·高三专题练习）下面给出的几个关系中正确的是（） A ．{}{},a b ∅⊆B ．(){}{},,a b a b ⊆ C ．{}{},,b a a b ⊆D ．{}0∅⊆10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2230A xx x =--=∣，{}1B x ax ==∣，若B A ⊆，则实数a 的可能取值（） A ．0B ．3C ．13D ．1-11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}1,2A =，{}1,B x mx m R ==∈，若B A ⊆，则实数m 可能的取值为（）A ．0B ．1C ．12D ．212．（2022·全国·高一开学考试）已知集合{}4A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（）A ．−1B ．1C ．−2D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合{}{}2,,1M a a N ==，若N M ⊆，则a 的值为__________．14．（2022·上海市七宝中学高三期中）设()1,2,3i a i =均为实数，若集合{}123,,a a a 的所有非空真子集的元素之和为12，则123a a a ++=__________15．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合{1,2,}A a =，{2,3}B =．若B A ⊆，则=a _______． 16．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）已知A ＝{x ⊆R |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x ⊆R |x <－1或x >4}，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围． 18．（12分）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知M 由0，2，4，6，8组成的集合，{|33}Z N x x =∈-≤．（1）用列举法表示集合N ，用描述法表示集合M （书写格式要规范）（2）若∃x ⊆B 而x ⊆ A ，则称B 不是A 的子集．结合集合M ，N 写出5个含M 中3个元素但不是M 的子集的集合． 19．（12分）（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈ （1）若2,B ∈求实数a 的取值范围（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围20．（12分）（2022·全国·高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20212022a b +的值．21．（12分）（2022·重庆·高一阶段练习）已知集合{}1,2,3A =．（1）若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；（2）若{}30B x ax =-=，且B A ⊆，求实数a 的取值集合．22．（12分）（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}240,A x x x x R =+=∈，(){}222110,B x x a x a x R =+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．。

《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣；（2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或；（4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析（1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案（1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣；（2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案（1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析：首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ；若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二）无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若AB ，求a 的取值范围.答案（1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析（1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意；若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解；当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

1.2 子集、全集、补集(练习)(解析版)

1.2 子集、全集、补集【基础练习】1．已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（）A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A ⊆，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A ⊆ C A ⊆，正方形是矩形，所以C B ⊆．故选B ．2．集合2{|440}x x x -+=的子集个数为（）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由题意，求得{}2{|440}2x x x -+==，即可求解集合子集的个数，得到答案. 3．满足{}{}1123A ⊆⊆，，的集合A 的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】C【解析】由条件{}1A ⊆⊆{1,2,3}，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．4．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是（） A ．k 2≤ B ．k ≥-1 C ．1k >- D ．2k ≥【答案】D【解析】由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可.5（多选题）已知集合(){},0,0,,M x y x y xy x y =+<>∈R ，(){},0,0,,N x y x y x y =<<∈R ，那么（） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N【答案】ABC【解析】若0x <,0y <,则0x y +<,0xy >,故N M ⊆.若0x y +<,0xy >,则x 与y 同号且为负,即0x <,0y <,故M N ⊆,所以M N ,故选ABC.6．已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有个．【答案】7【解析】集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 7．集合{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)4,+∞【解析】因为{|24},{|2}A x x B x x a =<<=<<，若A B ⊆，所以4a ≥，故a 的取值范围是[)4,+∞.8.若集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，则满足A M B 的集合M 的个数是________.【答案】2 【解析】集合{2,3}A =，{1,2,3,4}B =，且A M B ，∴{1,2,3}M =或{2,3,4}M =，∴满足条件的集合M 的个数是2.9．已知{0,1,2,3},{0,2,4,5},,A B C A C B ==⊆⊆,写出符合条件的所有集合C .【答案】,{0},{2},{0,2}∅10．已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≥-【解析】∵B A ⊆，∵当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．【能力提升】11．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则20202020a b +=_______.【答案】2 【解析】由{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭易知0a ≠，1a ≠ 由两个集合相等定义可知若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若01b a a b +=⎧=⎪⎨⎪⎩，由于0a ≠，则方程组无解综上可知，1a =-，1b =，故2020202020202020(1)12ab +=-+=.故答案为2 12．已知集合{}{}012a b c =,,,,，且下列三个关系：∵2a ≠；∵2b =；∵0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________．【答案】201【解析】已知集合{a ，b ，c }={1，2，3}，且下列三个关系：∵a ≠3；∵b =3；∵c ≠1有且只有一个正确，若∵正确，则c =1，a =2，b =2不成立，若∵正确，则b =3，c =1，a =3不成立，若∵正确，则a =3，b =1，c =2，即有100a +10b +c =312．故答案为312．。

2高中必修一子集、全集、补集知识点+例题全面

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集精典例题透析。

子集全集补集典型例题

子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念，理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。

下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，判断集合 B 是否为集合 A 的子集。

解：因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中，所以集合 B 是集合 A 的子集。

这里要明确子集的定义，如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 就是集合 A 的子集。

例 2：设全集 U ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，求集合 A 的补集。

解：全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9，所以集合 A 的补集为｛5, 6, 7, 8, 9}。

补集的概念就是在给定的全集中，除去某个集合中的元素，剩下的元素所组成的集合。

例 3：集合 M ＝｛x ｜ x ＜ 5}，集合 N ＝｛x ｜ x ＞ 2}，全集 U＝ R，求集合 M 的补集和集合 N 的补集。

解：集合 M 的补集是｛x ｜x ≥ 5}，集合 N 的补集是｛x ｜x ≤ 2}。

对于这种用不等式表示集合的情况，要注意理解实数轴上的范围来确定补集。

例 4：已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 5}，全集 U ＝ R，求（∁UA）∩（∁UB）。

解：∁UA ＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 3}，∁UB ＝｛x ｜x ≤ 1 或x ≥ 5}所以（∁UA）∩（∁UB）＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集，然后再求交集。

例 5：集合 P ＝｛（x, y）｜ x ＋ y ＝ 2}，集合 Q ＝｛（x, y）｜x y ＝ 4}，全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合，求∁UP 和∁UQ。

解：对于集合 P，解方程组{x ＋ y ＝ 2}可得 y ＝ 2 x，所以集合 P 表示直线 y ＝ 2 x 上的点。

子集、全集、补集课时练习-02-2022学年高一上学期苏版(2019)必修第一册：第1章

1.2子集、全集、补集中等生刷基础题组一子集的概念1.(2020江苏扬州大学附属中学高一期中)已知集合A={x|x≥-1},则下列正确的是()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A2.(2019陕西汉中勉县高一期中)若集合A={x|x为正方形},B={x|x为矩形},C= {x|x为平行四边形},D={x|x为梯形},则下列关系中不正确的是()A.A⊆BB.B⊆CC.C⊆DD.A⊆C3.(2020江苏泰兴中学高一月考)已知集合A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A},则B 的子集的个数是()A.10B.12C.14D.164.(2020江苏南京六合高一期中)已知集合A={x|x2-4x+3=0,x∈R},B={x|-1<x<5,x ∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数是.题组二真子集的概念5.(2020江苏泰兴黄桥中学高一月考)已知集合C={(x,y)|y=x},集合},则下列正确的是()D={(x,x)|{2x-x=1x+4x=5A.C=DB.C⊆DC.C⫋DD.D⫋C6.(2020江苏常熟中学高一月考)若集合M={x∈N|x≤2},则M的真子集有()A.3个B.4个C.7个D.8个7.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是()题组三全集与补集的概念8.(2020江苏常州前黄高级中学高一月考)已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={2,3,4,5,6},则∁U A = ( )A.⌀B.{1,3}C.{4,5,6}D.{1}9.(2020江苏南京江宁高级中学高一月考)已知全集U =R,集合A ={x |x <-2或x >2},则∁U A =( )A.{x |-2<x <2}B.{x |x <-2或x >2}C.{x |-2≤x ≤2}D.{x |x <-2或x ≥2}10.(2020江苏南京江浦高级中学高一月考)设全集A ={1,2,4},B ={x |x 2-4x +m =0},若1∉∁A B ,则B 等于( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}11.不等式组{3x -1≥0,4x -8<0的解集为A ,U =R,试求A 及∁U A ,并把它们分别表示在数轴上.题组四集合关系中的参数问题12.(2020江苏南京师范大学附属中学高一月考)已知集合A ={x |x =x 2},B ={1,m ,2},若A ⊆B ,则实数m 的值为( )A.2B.0C.0或2D.113.(2020江苏南京田家炳高级中学高一月考)设集合A={3,m,m-1},集合B={3,4},若∁A B={5},则实数m的值为()A.4B.5C.6D.5或614.(2020江苏无锡锡山高级中学高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤3},B={y|y=x2,x∈A},C={y|y=2x+a,x∈A},若C⊆B,则实数a的取值范围为.15.已知集合A={x|x2-4=0},集合B={x|ax-2=0},若B⊆A,求实数a的取值集合.尖子生练素养题组一子集、全集、补集1.(多选)(2020江苏无锡怀仁中学高一月考,)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是()A.{1,8}B.{2,3}C.{1}D.{2}2.(2020江苏南京外国语学校高一月考,)集合A={x|4-|2x-1|∈N*},则A的非空真子集的个数是()A.62B.126C.254D.5103.()集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}之间的关系是 ()A.S⫋P⫋MB.S=P⫋MC.S⫋P=MD.P=M⫋S4.(多选)(2020江苏南京师范大学苏州实验学校高一开学考试,)下列说法中不正确的是()A.集合{x|x<1,x∈N}为无限集B.方程(x-1)2(x-2)=0的解构成的集合的所有子集共四个C.{(x,y)|x+y=1}={y|x-y=-1}D.{y|y=2n,n∈Z}⊆{x|x=4k,k∈Z}5.(2020湖南长沙长郡中学高一上期中,)若规定集合M={a1,a2,…,a n}(n∈N*)的子集N={x x1,x x2,…,x xx}(m∈N*)为M的第k个子集,其中k=2x1-1+2x2-1+⋯+2x x-1,例如P={a1,a3}是M的第5个子集,则M的第25个子集是.题组二集合关系中的参数问题6.(2019江苏扬州宝应中学高一期中,)设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠⌀,B⊆A,则a= ()A.-1B.0C.1D.±17.(多选)(2020江苏宜兴中学高一月考,)已知集合A={-5,2},B={x|mx=1},若B⊆A,则实数m的值可以为()A.-15B.12C.−12D.08.(多选)(2020福建龙岩武平第一中学高一月考,)已知集合A={x|1<x<2},B={x|2a-3<x<a-2},下列说法正确的是()A.不存在实数a使得A=BB.当a=4时,A⊆BC.当0≤a≤4时,B⊆AD.存在实数a使得B⊆A9.(2020江苏扬州江都大桥高级中学高一月考,)已知全集U=R,集合A={x|x>2或x<1},B={x|x-a≤0},若∁U B⊆A,则实数a的取值范围是.10.(2020江苏徐州第三中学高一月考,)设集合U={-2,1,2,3},A={x|2x2-2},若∁U A=B,则b=.5x+2=0},B={3x,xx11.(2019江苏常州高一月考,)设集合A={x|x2-x-2=0},B={x|ax2+x+2=0},若B⊆A,求实数a的取值范围.12.(2020广西玉林高级中学高一期中,)设集合A={x|x2-1=0},集合B={x|x2-ax+b=0,x∈R},且B≠⌀.(1)若B⊆A,求实数a,b的值;(2)若A⊆C,且集合C={-1,2m+1,m2},求实数m的值.答案全解全析1.2子集、全集、补集中等生刷基础1.D对于选项A,0∈A,故A错误;对于选项B、D,{0}⊆A,故B错误,D正确;对于选项C,空集是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误.故选D.警示元素与集合之间是“属于”或“不属于”的关系,用符号“∈”或“∉”来表示;集合与集合之间是“包含”或“不包含”的关系,用符号“⊆”或“⊈”来表示.2.C正方形一定是矩形,所以选项A中关系正确;矩形一定是平行四边形,所以选项B中关系正确;梯形不是平行四边形,平行四边形也不是梯形,所以选项C中关系不正确;正方形一定是平行四边形,所以选项D中关系正确.故选C.3.D易知B={x|x=ab,a,b∈A}={0,4,6,9}.因此B的子集的个数是24=16.故选D.4.答案8解析由x 2-4x +3=(x -3)(x -1)=0,解得x =1或x =3,所以A ={1,3}.易得B ={0,1,2,3,4}.由于A ⊆C ⊆B ,所以C 中元素必有1,3,还可有0,2,4,所以满足条件的集合C 的个数是8.5.D 因为D ={(x ,x )|{2x -x =1x +4x =5}={(1,1)},C ={(x ,y )|y =x },所以D ⫋C.故选D.6.C 根据题意,集合M ={x ∈N|x ≤2}={0,1,2},则其真子集的个数为23-1=7.故选C.规律总结含有n 个元素的集合有2n 个子集,(2n -1)个真子集,(2n -1)个非空子集,(2n -2)个非空真子集.7.B 由x 2-x =0得x =1或x =0,故N ={0,1},易得N ⫋M ,其对应的Venn 图如选项B 所示.8.D 因为全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={2,3,4,5,6},所以∁U A ={1}.故选D. 9.C 已知全集U =R,集合A ={x |x <-2或x >2},所以∁U A ={x |-2≤x ≤2}.故选C. 10.C 因为1∉∁A B ,所以1∈B ,所以1-4+m =0,即m =3,所以B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}. 故选C.11.解析由{3x -1≥0,4x -8<0,得{x ≥13,x <2,故A ={x |13≤x <2},所以∁U A ={x |x <13或x ≥2}.集合A 及∁U A 在数轴上表示如下:12.B 集合A ={x |x =x 2}={0,1}.因为A ⊆B ,所以m =0.故选B. 13.B 由∁A B ={5},B ={3,4},得4,5∈A , 又A ={3,m ,m -1},m -1<m ,所以m =5.故选B.14.答案 {a |2≤a ≤3}解析因为A ={x |-1≤x ≤3},所以B ={y |y =x 2,x ∈A }={y |0≤y ≤9},C ={y |y =2x +a ,x ∈A }={y |-2+a ≤y ≤6+a }.又C ⊆B ,C ≠⌀,所以{-2+x ≥0,6+x ≤9,解得2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为{a |2≤a ≤3}.15.解析解方程x 2-4=0,得x =±2,则集合A ={-2,2}. ①当a =0时,B =⌀⊆A ,符合题意;②当a ≠0时,B ={x |ax -2=0}={2x },∵B ⊆A ,∴2x =−2或2x =2,解得a =-1或a =1.综上,实数a 的取值集合为{0,-1,1}.警示由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以在遇到“A ⊆B ”或“A ⫋B ”时,一定要注意分A =⌀和A ≠⌀两种情况讨论,不能忽略A =⌀的情形.尖子生练素养1.AC ∵A ⊆B ,A ⊆C ,B ={2,0,1,8},C ={1,9,3,8},∴A ⊆{1,8}. 结合选项可知A,C 均满足题意.2.B ∵A ={x |4-|2x -1|∈N *},∴x =2或x =32或x =1或x =12或x =0或x =−12或x =-1,∴A ={2,32,1,12,0,-12,-1},∴A 的非空真子集的个数是27-2=126.故选B.3.C ∵M ={x |x =5k -2,k ∈Z},P ={x |x =5n +3,n ∈Z},S ={x |x =10m +3,m ∈Z},∴M ={…,-7,-2,3,8,13,18,…},P ={…,-7,-2,3,8,13,18,…},S ={…,-7,3,13,23,…},∴S ⫋P =M.故选C .4.ACD 集合{x |x <1,x ∈N}={0},不是无限集,故A 中说法不正确;方程(x -1)2(x -2)=0的解构成的集合为{1,2},所有子集为⌀,{1},{2},{1,2},共四个,故B 中说法正确;因为{(x ,y )|x +y =1}是点集,{y |x -y =-1}是数集,所以它们不相等,故C 中说法不正确;因为{y |y =2n ,n ∈Z}={…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,…},{x |x =4k ,k ∈Z}={…,-8,-4,0,4,8,…},所以{y |y =2n ,n ∈Z}⊇{x |x =4k ,k ∈Z},故D 中说法不正确. 故选ACD. 5.答案 {a 1,a 4,a 5}解析因为N ={x x 1,x x 2,…,x x x }(m ∈N *)为M 的第k 个子集,且k =2x 1-1+2x 2-1+⋯+2x x -1,25=20+23+24=21-1+24-1+25-1, 所以M 的第25个子集是{a 1,a 4,a 5}.6.D 当B ={-1}时,方程x 2-2ax +1=0有两个相等的实数根-1,得a =-1; 当B ={1}时,方程x 2-2ax +1=0有两个相等的实数根1,得a =1; 当B ={-1,1}时,{2+2x =0,2-2x =0,无解.综上,a =±1.7.ABD 当m =0时,B =⌀,满足题意;当m ≠0时,由B ⊆A ,得2∈B 或-5∈B ,则2m =1或-5m =1,解得m =12或x =−15.综上,m 的值为0或12或−15.故选ABD.8.AD 选项A 中,由集合相等的概念可得{2x -3=1,x -2=2,此方程组无解,故不存在实数a 使得集合A =B ,故A 正确.选项B 中,当a =4时,B =⌀,不满足A ⊆B ,故B 错误.选项C 、D 中,当2a -3≥a -2,即a ≥1时,B =⌀,满足B ⊆A ;当a <1时,要使B ⊆A ,需满足{2x -3≥1,x -2≤2,解得2≤a ≤4,不满足a <1,故实数a 不存在.故当a ≥1时,B ⊆A ,故C 错误,D 正确. 故选AD .9.答案 {a |a ≥2}解析 ∵B ={x |x -a ≤0}={x |x ≤a }, ∴∁U B ={x |x >a }.∵集合A ={x |x >2或x <1},∁U B ⊆A , ∴a ≥2.∴实数a 的取值范围是{a |a ≥2}. 10.答案 -2解析因为U ={-2,12,2,3},A ={x |2x 2-5x +2=0}={12,2},∁U A =B ,所以B ={-2,3},所以3a =3,xx=-2,所以a =1,b =-2.11.解析由x 2-x -2=0得(x +1)(x -2)=0,解得x =-1或x =2,故A ={-1,2}. ∵B ⊆A ,∴B =⌀或{-1}或{2}或{-1,2}. ①当B =⌀时,a ≠0且Δ=1-8a <0,解得a >18;②当B ={-1}时,a ≠0,且{x =1-8x =0,x -1+2=0,即{x =18,x =-1,无解; ③当B ={2}时,a ≠0,且{x =1-8x =0,x ×22+2+2=0,即{x =18,x =-1,无解; ④当B ={-1,2}时,a ≠0, 且{ x =1-8x >0,-1+2=-1x ,-1×2=2x,解得a =-1.综上,实数a 的取值范围是a =-1或a >18.12.解析 (1)A ={x |x 2-1=0}={-1,1}. 分以下三种情况讨论:①当B ={-1}时,由根与系数的关系得{x =-1+(-1)=-2,x =(-1)2=1;②当B ={1}时,由根与系数的关系得{x =1+1=2,x =12=1;11 ③当B ={-1,1}时,由根与系数的关系得{x =1+(-1)=0,x =1×(-1)=-1.综上,a =-2,b =1或a =2,b =1或a =0,b =-1.(2)∵A ⊆C ,且A ={-1,1},C ={-1,2m +1,m 2},∴2m +1=1或m 2=1,解得m =0或m =±1. 当m =0时,C ={-1,1,0},满足集合中元素的互异性,符合题意;当m =-1时,2m +1=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去;当m =1时,C ={-1,3,1},满足集合中元素的互异性,符合题意.综上所述,m =0或m =1.。

子集和补集(2知识点+5题型+强化训练)(学生版) 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册

1.1.2 子集和补集课程标准学习目标（1）理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中, 了解全集与空集的含义；（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。

（1）理解子集和真子集的概念，会用venn 图理解集合之间的关系; （难点)（2）会求已给定集合的子集和真子集；（3）会判断两个集合是否相等；（4）了解掌握补集的概念，会求一给定集合的补集.（难点)知识点01 集合间的关系1 子集① 概念对于两个集合A，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset ).(感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有)记作：A ⊆B (或B ⊇A )，读作：A 包含于B ，或B 包含A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作(A⊈B 或B⊉A ).②Venn图【即学即练1】已知集合M={x∈Z|―1≤x<3}，N={x|x=|y|,y∈M}，判断集合M,N的关系．2真子集概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.记作：A⊂B(或B⊃A) (有些地方⊂用⫋或⊊表示)读作：A真包含于B(或B真包含A)类比⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等；Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a<b，则a≤b也成立；对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则A⊆B也成立.【即学即练2】若{1,2}⊊A⊆{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A的个数是( )A．6B．8C．7D．93集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．即A⊆B且B⊆A⇔A=B.4几个结论①空集是任何集合的子集：∅⊆A；②空集是任何非空集合的真子集；③任何一个集合是它本身的子集；④对于集合A , B , C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；⑤集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n―1.【即学即练3】求集合A={1,2,3}的子集和真子集.知识点02 补集1 补集概念对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集.记号C U A(读作:A的补集)符号C U A={x|x∈U,x∉A}图形表示性质(1)C U A⊆U；(2)C U U=∅，C U∅=U；(3)C U(C U A)=A.注求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．【即学即练4】已知全集U＝{1,2,,3,4,5,6,7}，A＝{5,6,7}，则C U A等于.【题型一：判断集合间的关系】例1．已知集合M=x|x=m+16,m∈Z，N=x|x=n2―13,n∈Z，P=x|x=p2+16,p∈Z，则M，N，P的关系为（）A．M=N P B．N=P M C．M N P D．M N=P变式1-1．若A=x|x2=x，则下列说法正确的是（）A．{∅}⊆A B．{1}=AC．{―1,1}⊆A D．{0}⊆A变式1-2．已知集合A={x|―1<x<2}，B={x|0<x<1}，则（）A．A>B B．A⊆B C．B⊆A D．A=B变式1-3．已知集合A={x|x=4n+1,n∈Z},B={x|x=4n―3,n∈Z}，C={x|x=8n+1,n∈Z}，则A,B,C之间的关系是（）A．C⊊B⊊A B．A⊆B⊆CC．C⊆A=B D．A=B=C【方法技巧与总结】1 元素与集合间的关系是属于或不属于，集合间的关系是包含或不包含；2 理解子集和真子集的概念，遇到集合可先化简，当集合元素较为复杂，在选择题中可利用取特殊值的方法进行排除.【题型二：求已知集合的子集(真子集)或其的个数】例2．设集合T={x∈Z|x≤0}，则集合(x,y,z)|x2+y2+z2≤8,x,y,z∈T的子集的个数为（）A．225B．224C．223D．222变式2-1．已知M=x∈N|88―x∈N，则集合M的子集的个数是（）A．8B．16C．32D．64变式2-2．满足{a}⊆M⊆{a,b,c,d}的集合M共有（）A．16个B．15个C．8个D．7个变式2-3．若集合P=x|m2―2m<x<3,x∈Z有7个真子集，则实数m的取值范围为（）A．(0,2)B．[0,2)C．(0,2]D．[0,2]变式2-4．已知集合A ={x∣x 2―3x +2=0}，B ={x∣0<x <6,x ∈N}，则满足条件A C ⊆B 的集合C 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【方法技巧与总结】集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，真子集的个数为2n ―1.【题型三：根据两个集合相等求参数】例3．已知集合A =x,yx,1，集合B =x 2,x +y,0，若A =B ，则x 2023+y 2024=（）A ．―1B ．0C ．1D ．2变式3-1．已知集合A ={1,a }，B ={a 2,―1}，若A =B ，则a =（）A ．-1B ．1C ．0D ．2变式3-2．已知{x∣ax 2―4x +1=0}={b }，其中a,b ∈R ，则b =（）A ．0B ．14或12C ．12D ．14变式3-3．已知集合A ={―2,0}，B =x |ax 2+bx =0,a,b ∈N ，A =B ，则a +b 的值为（）A ．3B ．―3C ．1D ．―1变式3-4．设a ､b ､c 是两个两两不相等的正整数.若{a +b ，b +c ，c +a}={n 2，(n +1)2，(n +2)2}(n ∈N +)，则a 2+b 2+c 2的最小值是（）A ．1000B ．1297C ．1849D ．2020【方法技巧与总结】若两个集合相等，则它们之间的元素均相同；求解过程中要注意元素的互异性，注意检验。

第2课时子集、全集、补集配套练习

第2课时子集、全集、补集作业1.集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________2.设M满足{1，2，3}⊆M{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为_________3.设S＝{x∈N|0≤x≤4}；A＝{x∈N|0＜x＜4}，则∁S A＝________4.设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________5.设x，y∈R,A={(x,y)|32yx--=1}，B={(x,y)|y-3=x-2}，则集合A与B的关系是__________6.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k，k∈Z}，则A与B的关系为________7.设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是__________8.已知全集U＝{x|－1≤x≤1}，A＝{x|0<x<a}．若∁U A≠U，则实数a的取值范围是__________9.已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________10.设全集S＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}，∁S A＝{x|ax－1＝0}，则由实数a组成的集合为________11.集合M={x|x∈Z且121Nx∈+}，则M的非空真子集的个数是_________12.设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，UC M={1}，求x．13.已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N⊆M，求实数a的取值范围．14.全集U＝R，A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，(1)求∁U A，∁U B；(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．15.设集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，(1)若AB ，求实数a 的取值范围； (2)是否存在实数a 使B ⊆A?16.已知集合{}260P x x x =+-=，{}10Q x ax =-=满足：Q P ⊆，求a 的所有取值组成的集合．提高1.集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．（2）当x R ∈时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．提高2.设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．。

子集、全集、补集知识点总结及练习

1.2 子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ____B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即∅⊆A ，∅____B (B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有个，A 的非空子集有个．(5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集．简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．⊂ ≠全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P = ．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ．8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是________．①M⊆∁U N ②M∁U N ③∁U M＝∁U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①∁U A＝{x|x/∈A}；②∁U∅＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则∁S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则∁U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若∁U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且M U，N U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊇∁U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若∁U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则∁I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由∁U A与∁U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则∁U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|x ≤－12或x>2}． (1)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围；(2)集合A 、∁U B 能否相等？若能，求出a 的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M ＝{x|x≥22，x ∈R}，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{a}M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A ⊆{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A ＝{2,x,y}，B ＝{2x,y 2,2}，且A ＝B ，则x ＋y 的值为________．4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是________．5．集合M ＝{x|x ＝6－2n ，n ∈N ＋，x ∈N}的子集有________个．6．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是________．7．已知集合A ＝{x|0<x<2，x ∈Z}，B ＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}，C ＝{x|ax 2＋bx ＋c ＝0}，若A ⊆C ，B ⊆C ，则a ∶b ∶c 等于________．8．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，若B≠∅，且B A ，则实数a ，b 的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N ；②{0}⊆Z ；③∅⊆{1,2}；④Q R ．10．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M ＝{x|－1≤x<2}，N ＝{x|x －k≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是________．12．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．二、解答题13．已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z}．试确定M ，N ，P 之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。

1.2子集全集补集基础知识.doc

1.2子集、全集、补集基础知识
一、选择题。

1、下列说法中，正确的是（）
（A）空集没有子集。

（B）空集是任何一个集合的真子集。

（C）任何一个集合必有两个或两个以上的子集。

（D）如果集合B⊆A，那么凡不属于集合A的元素必不属于集合B。

2、下列五个关系式中正确的是（）
①0{0}；②0∈{0}；③∅= 0；④∅∈{0} ⑤∅{0}；
（A）①②（B）①⑤（C）②④（D）②⑤
3、已知A{a，b，c}，且A{a，b，e，f}，则满足上述条件的集合有（）。

（A）3个（B）4个（C）5个（Ｄ）６个
二、填空题。

4、A = {1，2，3，4，5}，I = {1，2，3，4，5，6}，则C I A = 。

5、已知集合A满足：{0，1}⊆A{0，1，2，3}，则A = 。

（写出所有可能的情况）
6、已知A = {菱形}，B = {正方形}，C = {平行四边形}。

那么A，B，C之间的关系是。

7、已知全集S = {x|x≥－2}，集合A = {x|x＞2}，则C S A = 。

三、解答题。

8、设集合A = {1，3，a}，B = {1，a2－a + 1}，且A⊇B，求a的值。

9、设S = {2，4，1－a}，A = {2，a2－a + 2}，若C S A = {－1}，求a的值。

10、已知A = {－1，1}，B = {x|x2－2px + q = 0}，B≠∅，且B⊆A。

求实数p，q值。

子集全集补集练习题及答案

子集全集补集练习题及答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠ (4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆ [ ]分析作出4图形．答选C ．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．答选A．说明：要注意集合中谁是元素．M与P的关系是[ ]A．M＝UPB．M＝PC M PD M P．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝UN＝U(UP)＝P；三是利用画图的方法．答选B．说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7 下列命题中正确的是[ ]A．U(UA)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素．∴A ∈B ．答选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M＝{1，4}，则p ＝________．分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解．答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

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精心整理1.2子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A____B (或B ?A )．(2)真子集：若A ?B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即??A ，?____B (B ≠?)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有个，A 的非空子集有个．(5)集合相等：若A ?B ，且B ?A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集．简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R }则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是___________．8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，BA ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P =．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ． 8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U? ?三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若?U M?N，则下列关系正确的是________．①M??U N ②?U N ③?U M＝?U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝?U B，B＝?U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①?U A＝{x|x/∈A}；②?U?＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则?S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则?U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若?U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且，，N?M，则①?U M??U N；②M??U N；③?U M??U N；④M??U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，?U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若?U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则?I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由?U A与?U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则?U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且?U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?U A＝{2,4,6,8}，?U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，?I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U＝R，集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|x≤－或x>2}．(1)若A??U B，求实数a的取值范围；(2)集合A、?U B能否相等？若能，求出a的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M＝{x|x≥2，x∈R}，a＝π，给定下列关系：①a∈M；②；③；④{a}∈M，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A?{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A＝{2,x,y}，B＝{2x,y2,2}，且A＝B，则x＋y的值为________．4．已知非空集合P满足：①P?{1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的集合P的个数是________．5．集合M＝{x|x＝6－2n，n∈N＋，x∈N}的子集有________个．6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是________．7．已知集合A＝{x|0<x<2，x∈Z}，B＝{x|x2＋4x＋4＝0}，C＝{x|ax2＋bx＋c＝0}，若A?C，B?C，则a∶b∶c等于________．8．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，且，则实数a，b的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N；②{0}?Z；③??{1,2}；④QR．10．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若M?N，则k的取值范围是________．12．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝________．二、解答题13．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}．试确定M，N，P之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B?A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。