空间几何体的表面积与体积

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
h
/
h
/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积. A A
ri
O O.
Ci C2 O
Bi B2
r1 R R,
2
R 2 r2 R ( ) , n 2R 2 2 r3 R ( ) , n
2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2, n n
2
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
R R i 1 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1,2,, n n 3
2
V半球 V1 V2 Vn R 3 12 22 (n 1) 2 [n ] 2 n n
知识小结
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
作业布置

书本P28 A组1,2 附加题:圆锥的底面半径为2cm，高为4cm， 求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.
R 3 1 (n 1) n (2n 1) [n 2 ] n n 6 1 ( n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 是怎样得出来的？
a4
S圆 r
2
a3 an
a1
a2
x 2.24 2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 5 150cm
2
2
例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 球O的表面积和体积. C′ o
3 2
3
2 1
1
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 想锥体的体积公式是什么？
1 V Sh 3
高h
底面积S
3、锥体的体积 定理：等底等高锥体的体积相等
等底等高的 棱柱和棱锥 体积的关系
4、台体的体积
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
求此棱柱挖去圆 柱后的体积和表 面积
引申:１.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的 体积。
侧面展开图 直 观 图 1
直观图2
引申2:已知正四棱台两底面的边长, 和棱台体积, 求棱 台的高.
h?
柱、锥、台体积的关系
s' s s' 0
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？ 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
柱体、锥体、台体的表面积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．

1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
思考
求多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体的表面积可以通过求
各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的面积该如何求呢?
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
课本P29B组习题１（考察球、台体体积公式）
20
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
4 3 定理:半径是R的球的体积 V R 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 3 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 2 6
变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142 3 2 3 5 3 142 3 3 x ( ) 11 .3 2 7.9 4 由计算器算得:
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D． A B D C
S 所以： ABC
3 a 因为BC=a，SD SB sin 60 2
A
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切. 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 4 3 3.一个公式:半径为R的球的体积是 V R
思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”，它们的面积之和等于什么？
o
思考3:以这些“小球面片”为底，球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
o
思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗？
S 4 R
2
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 它与球的表面积有什么关系？
2 15 cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
15 cm
999(cm2 )
cm2 ． 答：花盆的表面积约是999
3
课堂练习




1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 2、一个圆台，上、下底面半径分别为10、20， 母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. 变式：求切割之前的圆锥的表面积 3、面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得 几何体的表面积是多少？ 4、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面 积为3，求这个圆锥的表面积
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
V柱 R
3
V锥
1 3 R 3
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你 猜想半球的体积是什么？ 2 3 V球 R 3
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 4 3 体积 V R ，这是一个正确的结论，你 3 能提出一些证明思路吗？
柱体、锥体、台体的体积
１、长方体的体积
D1 A1 D A C1
d
B1
c
C
S a
B
b
d a b c
2 2 2
2
等底等高柱体的体积相等吗？
2、柱体的体积 定理：等底等高柱体的体积相等
祖恒原理
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
3
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
练习一：
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。
4 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。 1: 2 2
3 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。 1: 4
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
r’＝r
上底扩大
l