最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版要点

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()

..

0,1,2, 0,1,

,i j f x s t g x i m h x j p

≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,

,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有

(1)()k k x x ε+-<，

(1)()

()

k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，

()()()

(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等

等。

练习题二

1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R

2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++

123123123

5210

..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0

,,4322

2..min

32131

3213213

21x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min

5324323213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i 解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6

123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++

12341232 =22 5 =3..1 3 6=41,2,3,4,5,60

x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩

因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0，故确定x 3为换入非基变量，以x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。

（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=≥=++=+-=+-+-=)

5,,2,1(052222..4min

5324323

213

2 i x x x x x x x x x x t s x x z i

因检验数σ2<0最小，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小，故确定x3为换入非基变量，以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：*(9,4,1,0,0)

X 。

8、某地区有A、B、C三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1

解：设A、B、C三个化肥厂为A1、A2、A3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B1、B2、B3、B4；

c ij为由A i运化肥至B j的运价，单位是元/吨；x ij为由A i运往B j的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位

是吨；z 表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：

34

11

min ij ij i j z c x ===∑∑

112131122232

13233314243411121314

2122232431323334663..3

787

x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪

++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪

+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令（linprog ）求解。

*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框内的数字为单位价格ij c ，框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ，框底下一行数是各收点的需求量j b ）：

（1） 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。 6 4 6 80 3 2 5 15

75 20 50

（2） 5 1 0 20 要求收点1的需求必须由发点4供应。 3 2 4 10 7 5 2 15 9 6 0 15

5 10 15 解答略。

练习题三

1、用0.618法求解问题

12)(min 30

+-=≥t t t t ϕ

的近似最优解，已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。 答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数） 2、求无约束非线性规划问题