折纸中的数学
折纸中的数学PPT学习教案
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猜一 可以算猜得, 按每张纸的厚度为0.06mm计算,
这个厚度相当于绕地球赤道大约1.65圈 （地球半径6.37×103km ）(★“很大的数”, 通过折纸：可使我们得到现实中难以想像
的“很小的数”和“很大的数”．
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以增加纸的厚度） ⑵为什么要增加纸的厚度呢？（太薄的纸无法测
量） ⑶折叠得厚点好测量．请问你折叠了几次？（纸
变为多少层？） 提醒折纸中应注意的问题： ①把纸按紧，尽量减少纸间的空隙； ②尽量多折叠几次，这样能得到较准确的结果．
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一张小纸结的：厚度，如果用刻度尺直接测量， 我们无法读出它的厚度．所以，同学们在 生活中做任何事都要动脑筋．
折纸中的数学
会计学
1
折角
如何用你手中的长方形纸片折出以下角？ 45°的角 30°的角 60°的角 动手折一折，说出你的方法。
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学具准 ①长方形备薄纸片3张
②刻度尺 ③计算器 ④剪刀、小刀
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㈠活动体验——折一 情境1. 对一张长折方：形纸片作适当的折叠，
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第n次操作后余下纸片的面积为 ＞0 折叠次数 1 2 3 4 … n
扔掉纸片的 面积
…
(剩下的纸片请大家把它放到自己口袋里)
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⑵①请同学们把扔掉的纸片按 原图位置放回（重新拼图）；
②观察你所拼出的图形，你能 发现什么？
（可以讨论，“写”在纸上）
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课后作 想一想；业用一张长方形的纸片如何折出
75°的角？
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折纸中的数学原理
折纸是一门具有深厚数学基础的艺术形式，通过运用数学原理和几何学概念，可以创作出各种独特的折纸作品。
折纸是一种结合几何学和数学原理的艺术和手工技巧。
在折纸的过程中，涉及到很多数学概念和原理。
1.1几何学：折纸中使用的几何概念包括点、直线、角度、比例、相似三角形等。
通过几何学原理，可以实现各种复杂的折纸形状和结构。
1.2尺规作图：在折纸中，通常需要按照一定的比例和尺寸来进行折叠，这涉及到尺规作图中的标尺和尺子等工具，以及画圆规等几何工具。
2.1数学计算：在一些复杂的折纸设计中，需要进行数学计算来确定各个部分的尺寸和位置，以确保最终的折纸作品符合设计要求。
2.2对称性：对称性在折纸中非常重要，通过对称性原理可以实现各种独特的折纸形状和结构，增加折纸作品的美感和艺术性。
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
折纸中的数学问题
通过折叠纸张，可以创造出各种空间几何形状，如球体、 圆柱体和棱柱等。这涉及到对空间几何知识的理解和应用。
折痕的几何性质
折纸过程中形成的折痕具有特定的几何性质，如长度、角 度和形状。研究这些折痕的性质有助于理解折纸的几何原 理。
折纸与代数问题
方程的求解
在折纸过程中，有时需要通过解代数方程来找到折叠的步骤。例如， 需要求解方程来找到折叠某条线段的正确角度。
折纸艺术中经常使用各种几何形状，如三角形、正方形、菱形等， 这些形状在折叠过程中会产生数学美感。
轴对称与中心对称
许多折纸作品具有轴对称或中心对称的特点，这种对称性体现了数 学的和谐与平衡。
黄金分割
在折纸艺术中，黄金分割比例的应用可以使作品更加协调和美观， 这种比例关系体现了数学的韵律和美感。
折纸艺术中的数学思维
折纸游戏激发数学兴趣
通过折纸游戏，学生可以在玩乐中学 习几何、对称等数学概念，提高对数 学的兴趣。
辅助教学工具
折纸可以作为教学工具，帮助学生理 解抽象的数学概念，如函数、微积分 等。
折纸艺术与其他学科的交叉研究
折纸与物理学
折纸艺术在物理学的弹性、动力 学等领域有应用，可以为相关问 题提供直观模型。
利用代数公式、定理和计算机代数系统等手段，解决折纸中的代 数问题。
折纸中的拓扑问题实例
拓扑问题
连通性、紧致性等
问题描述
在折纸过程中，如何通过拓扑手段研究折叠后图形的连通性、紧致 性和同胚等问题。
解决方式
利用拓扑定理、公式和计算机模拟等手段，解决折纸中的拓扑问题。
06
折纸艺术与数学的未来发 展
折纸艺术在数学教育中的应用
参数的优化
在折纸过程中，为了达到最佳的折叠效果，需要对各种参数进行优 化，如折叠角度、长度和顺序等。这涉及到代数中的优化问题。
五年级下册数学 折纸一课的笔记
五年级下册数学折纸一课的笔记今天咱来聊聊五年级下册数学里那个折纸一课的笔记哈。
一、课程的重要性。
这折纸一课呀，可不光是让咱们折个纸玩玩那么简单哟。
它其实是把数学知识和实际操作结合起来啦。
通过折纸，能让五年级的小朋友们更直观地理解好多数学概念呢，像分数、图形的变换啥的，一下子就变得没那么抽象啦。
二、知识点梳理。
1. 分数的意义。
在折纸的过程中，咱们可以把一张纸看成一个整体，也就是单位“1”。
比如说，把这张纸平均分成4份，那其中的一份就是这张纸的四分之一啦。
小朋友们通过自己动手折一折，就能很清楚地感受到分数到底是咋回事，比光看课本上的定义强多啦。
2. 图形的对称性。
好多折纸作品都有对称的特点哟。
像对折之后两边完全重合的，那就是轴对称图形啦。
小朋友们在折纸的时候，就能发现哪些图形是轴对称的，对称轴又在哪里。
这对他们理解图形的对称性可太有帮助啦，以后再遇到这类数学题，脑子里马上就能有个清晰的画面啦。
3. 图形的变换。
折纸还能让小朋友们体会到图形的变换呢。
比如说，把一个三角形通过折纸可以变成一个平行四边形，这中间就涉及到了图形的平移、旋转等变换。
他们在动手操作的过程中，就能慢慢明白这些变换的规律啦。
三、课堂互动环节。
在课堂上呀，老师可以让小朋友们分组进行折纸比赛。
比如说，给出一个具体的折纸任务，像折一个千纸鹤或者一个小纸船啥的，看哪个小组折得又快又好。
然后让每个小组派代表说一说，在折纸的过程中他们发现了哪些数学知识。
这样一来，小朋友们的积极性就被调动起来啦，而且还能锻炼他们的表达能力呢。
老师还可以问小朋友们一些问题，像“如果把这张纸再对折一次，现在每份是这张纸的几分之几呀”之类的。
引导他们去思考，去探索数学知识。
四、课后作业设计。
作业嘛，不能太枯燥啦。
可以让小朋友们回家之后，自己设计一个折纸作品，然后用数学知识来解释一下自己的作品。
比如说，用分数表示一下各个部分占整个作品的比例，或者说说这个作品里有哪些对称的地方。
折纸船的数学原理
折纸船的数学原理
折纸船的数学原理涉及到几何学和力学。
以下是折纸船的数学原理的介绍：
1. 几何学原理：折纸船的形状通常是由一张平面纸通过折叠而成。
折叠纸的行为涉及到几何学中的折叠技巧和角度计算。
根据纸张的形状和折叠方式，可以得到不同形状和类型的折纸船。
2. 力学原理：纸张本身是柔软的，但当纸张被折叠成船的形状时，它具有刚性和稳定性。
这是因为折纸船中的折痕和形状使得纸张的某些部位受到压缩或张力，并发挥了一定的支撑作用。
3. 浮力原理：纸张折叠成船的形状后，船的底部形成了一个封闭的凹面，这个凹面可以在水中产生浮力。
根据阿基米德定律，浸泡在液体中的物体受到的浮力等于其排开的液体的重量。
当船的底部封闭凹面与水接触时，浮力会支持船体，使其在水中浮起。
总结来说，折纸船的数学原理主要包括几何学中的折叠技巧和角度计算，力学中的稳定性和浮力原理。
这些原理使得纸张能够被折叠成具有形状稳定性和浮力的船形，让折纸船在水中浮起。
折纸中的数学奥秘
折纸中的数学奥秘六(3) 周航宇一丶问题的提出：在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。
我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。
二、分析与探索1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。
我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。
也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。
那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了：第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。
同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。
临近的字母于是也可找到自己的层数。
3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了：第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。
初中数学 角计算 折纸
我们要通过折纸来计算一个角的大小。
首先，我们要理解角的基本概念和如何通过折纸来改变角的大小。
角是由两条射线从一个公共端点开始形成的。
当我们折纸时，我们实际上是在改变角的大小。
假设我们有一个角，大小为θ 度。
当我们折叠纸张时，这个角会减少，新的角度大小为θ -
∠θ_fold。
其中，∠θ_fold 是我们折叠的角度。
为了计算折叠后的角度，我们可以使用以下公式：
新的角度= 原角度- 2 × 折叠角度
这是因为每次折叠都会减少一个相同的角度，所以我们需要从原始角度中减去两次折叠的角度。
计算结果为：新的角度是0 度。
所以，折叠后的角大小为：0度。
折千纸鹤的数学原理
折千纸鹤的数学原理
折千纸鹤的数学原理涉及到几何学和数学推理。
在传统的日本纸折术（折纸）中，折千纸鹤是其中最著名的一种。
数学原理主要包括以下几个方面：
1. 等角三角形：折千纸鹤的基本形状是一个等腰三角形，其中两个角相等。
通过确定两个角的大小和位置，可以合理地折叠出相应的纸鹤。
2. 数学比例：折千纸鹤需要根据一定的比例来确定各部分的长度。
比如，鹤脑部分与鹤颈的长度比例、鹤的身体长度与翅膀长度的比例等。
通过数学计算，可以确定这些长度比例，从而折出比例合适的纸鹤。
3. 对称性：折千纸鹤时需要保持一定的对称性。
以折纸鹤的头部为例，通过将纸张分成两部分，然后按照对称线进行对折，可以确保折出的纸鹤头部两侧对称。
4. 折纸技巧：在折千纸鹤的过程中，还需要一些数学推理和几何技巧。
比如，如何利用对角线、垂直线等来确定折线的位置和角度。
这涉及到几何学中的角度和线段的相关性质。
总之，折千纸鹤的数学原理主要包括等角三角形、数学比例、对称性以及折纸技巧等。
这些原理为折纸制作提供了合理的几何基础和数学基础。
折纸与数学
折纸与数学折纸是一门古老的手工艺术，它源于中国，在日本和西方地区也得到广泛发展。
折纸不仅是一种艺术形式，也可以成为一个很好的数学学习工具。
在折纸的过程中，我们可以学习到很多有趣的数学知识，例如几何，对称性，比例，图案等等。
本文将介绍折纸与数学之间的密切关系。
1. 几何学折纸是几何学的一个重要应用，它可以帮助我们理解许多几何概念。
例如，我们可以折纸来演示平移，转化和镜像等基本变换。
在折纸过程中，我们也可以学习到角度，三角形，四边形，圆形等几何概念。
另外，折纸还能用来演示等角变换和相似性等高级几何概念。
2. 对称性对称性是数学中的一个重要概念，它有助于我们理解和分析物体的特征。
在折纸中，对称性也扮演着重要角色。
我们可以用折纸来展示物体的轴对称和中心对称等对称性质。
此外，在折纸中也可以看出“相似不等于相同”的原则，即两张纸折成同样形状的方法不一样。
3. 比例在折纸中，比例也是一个关键概念。
我们可以用折纸来演示比例的概念，并且在实践中体会比例的重要性。
例如，我们可以折纸来展示两个形状相似的三角形，并利用相似性原理去计算出各边的长度比例。
4. 图案设计图案设计也是折纸的重要应用之一。
我们可以利用折纸来设计出各种各样的图案，突显纸张的美感和艺术性。
在折纸过程中，我们可以运用几何、算数和图案设计的知识，创造出各种不同形式的纸艺作品。
总结：在折纸中，数学不仅是一种工具，更是一种启发思维、开拓眼界的媒介。
通过折纸，我们可以提高自己的创造力和数学实践能力，而且还可以加深我们对于几何、对称性、比例、图案设计等数学知识的理解。
因此，我们可以说，折纸不仅是一种艺术形式，更是一种有趣的数学学习方式。
折纸中的数学原理
折纸中的数学原理Origami is an ancient Japanese art form that involves folding paper into intricate and often beautiful shapes. It is often thought of as a decorative craft, but the act of folding paper also involves a number of mathematical principles. In fact, the mathematics of origami goes far beyond simple geometry and can be quite complex.折纸是一种古老的日本艺术形式，涉及将纸张折叠成复杂而美丽的形状。
人们通常把它看作一种装饰性的手工艺，但折纸的这一行为涉及到许多数学原理。
实际上，折纸的数学远远超出简单的几何学，并且可能相当复杂。
One of the fundamental mathematical principles at play in origami is geometry. The very act of folding paper involves the manipulation of shapes and angles, requiring an understanding of geometric concepts such as symmetry, proportion, and the properties of different shapes. By using these principles, origami artists are able to create intricate designs that are not only visually stunning, but also mathematically precise.折纸中起作用的一个基本数学原理是几何学。
折纸与数学
折纸与数学折纸与数学之间的关系可以追溯到二十世纪五十年代，当时日本数学家佐野利器提出了一种折纸问题，即所谓的“纸折问题”。
这个问题的形式是：给定一个长方形的纸张，可以任意次数地将其折叠，但是折叠时不能撕破纸张。
那么问题是，折叠多少次之后可以将这个长方形的纸张从一边完全折叠到另一边？解决这个问题需要运用到一些数学知识。
我们可以通过实验发现，将一张纸正中间折叠一次，纸张的边长将缩短一半。
再次将缩短后的纸张正中间折叠一次，边长会再次缩短一半。
一般地，如果将纸张折叠n次，那么边长将缩短成原来的1/2^n。
当折叠次数无限增加时，纸张的边长将无限趋近于零，这时我们可以将纸张从一边完全折叠到另一边。
这个问题可以表示为一个极限问题，即：求解极限lim(n->∞) 1/2^n。
在数学中，我们知道这个极限的值是零。
所以，根据数学分析，折叠纸张无限次之后，可以将纸张从一边完全折叠到另一边。
除了纸折问题，折纸在数学中还有其他应用。
其中一个应用是几何学中的“牛顿折纸问题”。
牛顿在研究光的折射定律时，提出了折纸对问题的解决方法。
他发现，将一张纸折叠成V形，然后在接触点处的折痕上放置一个小孔，光线通过小孔射入纸张，然后经过反射和折射，最终会在纸张另一侧的一个点上出射。
这个问题涉及到光的折射、反射以及几何光学等内容，是一个复杂的数学问题。
通过折纸实验，我们可以直观地看到光线的路径，帮助我们理解和解决这个问题。
折纸还在数学教育中起到了重要作用。
折纸可以帮助学生理解和运用一些基本的几何概念，如平行线、垂直线等。
通过折纸，学生可以亲自动手操作，在实践中感受和体验几何知识，从而更好地理解和记忆。
折纸也可以培养学生的空间想象能力和创造能力，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
折纸不仅仅是一种艺术形式，还被广泛地应用于解决一些复杂的数学问题。
通过折纸，我们可以感受和体验数学的美妙，激发和培养学生对数学的兴趣，帮助他们更好地理解和运用数学知识。
折纸与数学
折纸与数学折纸是一种古老而有趣的手工艺术，它是通过将平面纸张经过折叠后形成各种形状和结构。
折纸不仅仅是一种手工艺，它还与数学有很深的关联。
本文将探讨折纸与数学之间的联系，以及折纸对于数学教学的重要性。
折纸与几何学密切相关。
在折纸的过程中，我们需要精确地测量和划定纸张的边界和角度。
这要求我们对几何学的基本概念和原理有一定的了解。
当我们折纸时，常常需要计算纸张的尺寸和比例，以确保折叠后的形状能够达到预期的效果。
折纸可以帮助我们加深对几何学的理解，使几何学的概念更加直观和易于理解。
折纸也涉及到一些代数学的概念。
在折纸的过程中，我们经常需要计算和解方程。
当我们折纸时，我们需要考虑每个折痕之间的关系，并根据已知的条件推导出未知的值。
这要求我们具备一定的代数学思维和计算能力。
通过折纸，我们可以将代数学的概念应用到实际问题中，提高我们的问题解决能力。
折纸也与计算机科学有关。
在计算机图形学中，折纸被广泛应用于建模和动画设计。
通过折纸的技术，我们可以将平面纸张折叠成三维的形状，并在计算机中进行模拟和渲染。
这不仅能够帮助我们更好地理解和研究三维几何结构，还可以为计算机图形学的发展提供有力支持。
折纸在计算机科学领域具有重要的应用价值和研究前景。
折纸还对于数学教学有着重要的启发作用。
通过折纸，我们可以将抽象的数学概念转化为具体的可视化模型，使学生更容易理解和接受。
在教学线性方程组时，我们可以通过折纸模拟出平面上两条直线的交点，并帮助学生解决交点的求解问题。
这种直观的教学方法不仅能够提高学生的学习兴趣，还能培养学生的空间想象能力和问题解决能力。
折纸还培养了学生的耐心和创造力。
折纸需要反复尝试和实践，从错误中学习和改进。
这培养了学生的耐心和毅力，使他们能够面对困难和挑战。
折纸也注重学生的创造力和想象力。
在折纸的过程中，学生可以尝试各种不同的折叠方法和形式，发挥自己的创造力和想象力。
这不仅能够提高学生的创造思维和创新能力，还能激发他们对数学的兴趣和探索欲望。
折纸中的数学
《数学 之 友 》
２００８年 第 ２３期
又 ＋鲁：ｌ，解得 ： ：一 ，
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ｏ
Ｘ０ 一 Ⅱ
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一ｋｘ。：ｂＬ
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所
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为
Ｙ： 一
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ａ Ｙｏ
即Ｘ ０Ｘ＋ ：１
，
．
Ｙｏ ａ‘ ｂ‘
探 究 ４：由 对 称 性 可 知 ， ＦＭＮ ＝ Ｚ．ＰＭＮ ＝ Ｆ ＭＭ ，这 一点 反 映在 椭 圆 的光 波 与 声 波 的性 质 上 ，一束 光从 Ｆ点 出发 ，经椭 圆反 射后 ，反 射 光 一定 通 过 Ｆ 点 ，声音 传到椭 圆上 ，经过 连 续 几 次反 射 ，在 很 远 的地 方也能 听到 声 音 ，北京 天 坛 公 园里 的 回音 就 暗合 了声 学 的传 音原理．
·。 ．
６ ＋ｎ 一ｍ２＝口２一ｃ２＋ｎ （
）‘一
（ ）‘＝ｏ，．·．Ａ＝０，即ｆ与椭圆相切．
当 ｆ的斜 率不 存 在 时 ，相 切 显 然成 立 ，所 以 ｚ是 椭 圆 的切 线 ， 是 切 点．
为 ＋ Ｙ ＝１．
ａ Ｄ
探 究 ３：若 Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则 ｚ的直 线 方 程 为 ＋ Ｙ 百ｏＹ ：１（可类比以圆上某点为切点的切线方程）．
长 为半径 的圆 ，方 程 为 ＋ｙ ＝ｎ ，同时折 痕 ｆ是椭 圆 的切线．
探究 ６：若 Ｆ ＪＰ，＝０，则 Ｓ△＾ ，＝ｂ２ｔａｎＯ．
证 明 ：’．’ Ｆ ＰＦ＝ ｌ ＋ ｌＭ Ｆ ｌ 一２ｌＭ Ｆ Ｉ ｌ ， ｌ ｃｏｓ２０
ｃ ＝４ａ 一２Ｉ ｌ ｌＭＦｆ（１＋ｃｏｓ２０）
折纸卡中的数学奥秘
周末，我和弟弟玩正方形手工折纸卡，越玩越起劲，争得不可开交，差点儿打起来。
听到吵嚷声的妈妈问清楚了原因，说：“谁能把这36张边长为2分米的折纸卡摆出周长最小的图形，谁就可以独自玩。
”弟弟一听，先下手为强，不一会儿就摆出了一个图形，还边摆放边算。
弟弟将36张折纸卡摆成1排，拼成一个长方形（如图1），这个长方形的长是36×2＝72（分米），宽是2分米，所以周长为（72＋2）×2＝148（分米）。
图1我一看弟弟算出的这个周长有148分米，顿时来了精神，说道：“看我的！”我将36张折纸卡摆成2排，每排摆18个（如图2）。
这个长方形的长是18×2＝36（分米），宽是2×2＝4（分米），它的周长为（36＋4）×2＝80（分米）。
比弟弟摆放的周长小，哈哈，我赢了，这下折纸卡归我玩喽！图2弟弟一看，不服气了，说他还可以摆成更小的周长，便立即动手：“36是3的倍数，所以36张折纸卡可以摆成3排，每排摆12张折纸卡中的数学奥秘□陈星安（如图3）。
这个长方形的长是12×2＝24（分米），宽是3×2＝6（分米），周长是（24＋6）×2＝60（分米）。
怎么样，是不是比你摆放的周长小？”看着弟弟摆放出来图形的周长，我思索着：将同样大的小正方形拼成长方形，这个新图形的长和宽相差越小，它的周长就越小。
我还可以将它们摆成4排，每排摆9张（如图4）。
这个长方形的长是9×2＝18（分米），宽是4×2＝8（分米），周长是（18＋8）×2＝52（分米）。
我边思考边把图形摆了出来。
弟弟一看傻眼了。
正当我拿起折纸卡要玩的时候，弟弟说他还有一种方法，比我摆放的这个周长更小。
只见弟弟把36张折纸卡摆成了正方形（如图5），正方形的周长=边长×4，那么，它的边长是6×2＝12（分米），周长为12×4＝48（分米）。
折纸中的数学问题
均分次数
1
2
3
4
… …
18
所得正方 1+3= 形的个数 ( 4 )
1+3×( 2 ) 1+3×( 3 ) 1+3×( 4 ) =( 7 ) =( 13 ) =( 10 )
第18次均分后所得的正方形 是:1+3×18=55(个)
第1000次均分后所得的正方形 是:1+3×1000=3001(个)
4.把一张纸对折,再对折,然后在折叠的角上剪一刀,即在纸 的中间剪出了一个洞.
对折的次数
2
32
…
剪出洞的个数
长方形的个数
…
…
用你发现的规律计算: 1. 对折6次时剪出几个洞. 2×2×2×2=16(个) 2. 对折8次时剪出几个洞. 16×2×2=64(个) 3. 对折n次时剪出几个洞. 2×2×2×2×2……×2=
(n-2)个2
4.分割等边三角形。（长智慧P74）
折的次数 长方形的个 数
折痕条数
1
2 1
2
4 3
3
8 7
4
16 15
…
n 2 2
n n
－1
我发现:
3.一个大正方形用十字形连续均分,所得的小正方形有多少 个.
思考：1、每均分一次，正方形的个数发生什么变化？
2、观察均分的次数与所得正方形个数之间的关
系，看看能发现什么规律？
3.一个大正方形用十字形连续均分,所得的小正方形有多少 个.
分割次数
所得三角形个数
1
4 5
2
7 9
3
10 13
4
13 17
5
16 21
…
折纸与数学
折纸与数学折纸艺术是源自日本的一种古老传统手工艺，它通过将一张平面纸张折叠成各种形状，切割后得到各式各样的造型。
折纸不仅是一种有趣的手工艺活动，更是一门融合了数学知识的艺术。
在折纸的世界里，数学不仅仅是一个工具，更是一种灵感的源泉和丰富想象力的支持。
折纸与数学之间存在着密不可分的联系，让我们一起来探索一下折纸与数学的奇妙之处。
折纸艺术中的基本形状，如正方形、三角形等，都涉及到数学中的几何知识。
折纸作品的形状、大小以及比例都需要精确的测量和计算，这就需要我们运用到数学中的测量与标注以及比例的知识。
而在折纸的过程中，几何学中的对称性也占据着重要的位置。
对称折纸是折纸中的一种常见手法，通过折纸在对称轴上的对称性，可以创造出各种富有美感的作品。
在数学的帮助下，我们可以更加轻松地理解和掌握折纸的技巧，如角度的选择、纸张的折叠方法等。
数学知识可以帮助我们计算出不同角度的折叠方法，使得折纸作品更加准确、精美。
利用数学中的投影理论，我们还可以更好地把握折纸中的立体构造，创造出更加真实的折纸作品。
在折纸的创作过程中，数学还可以为我们提供更多的灵感。
在数学中有着无穷自相似性的分形几何，而折纸中的雪花折纸正是运用了分形几何的原理。
又如，在解决折纸问题时，数学家们利用了图论的知识，通过对纸张的折叠过程建模，发现了一些有趣而又复杂的数学规律。
折纸还有助于激发人们的数学兴趣。
折纸不仅可以让学生们在实践中感受到数学的魅力，还可以帮助他们更加直观地理解和体验数学概念。
通过折纸，学生们可以更加深入地理解到几何学中的各种概念和定理，提高他们的数学学习兴趣和动手能力。
除了几何学之外，折纸还与数学中的一些其他分支有着紧密的联系。
比如在折纸的折叠过程中，数学中的拓扑学概念也经常发挥着重要作用。
通过对折纸作品的表面和边界的分析，我们可以更好地理解其拓扑结构，进而创造出更有趣的折纸作品。
数学与折纸的结合，不仅让折纸更加有趣和富有挑战性，同时也为数学知识的应用提供了新的领域。
折纸中的数学原理三角形
折纸中的数学原理三角形
在折纸中，涉及到一些数学原理与三角形的相关概念。
以下是一些常见的数学原理和三角形相关的内容：
1. 平行线与角的性质：在折纸中，折线与边界线可以看作平行线，根据平行线的性质，对应角、同位角和内错角等具有一些特定的关系。
2. 直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在折纸中，可以通过将纸张对折形成直角三角形，利用直角三角形的性质进行计算。
3. 三角形的角度和：三角形的内角和等于180度。
在折纸中，可以通过折叠纸张形成三角形，并利用三角形的角度和等于180度的性质进行计算。
4. 三角形的相似性：在折纸中，可以通过折叠纸张形成相似三角形。
相似三角形具有相似比例关系，可以利用相似三角形的性质进行计算。
以上仅是折纸中涉及到的一些数学原理与三角形相关的内容，具体应用可以根据具体情况而定。
如果您有具体的问题或需要更详细的解释，请告诉我。
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《折纸中的数学》
——小课题研究 王炯亮
（1） 课题的背景 折纸起源于中国，而我酷爱折纸，因为折纸又称之为“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动。
如今折纸的发展不只是儿童的玩具，也是一种有益身心、开发智力和思维的活动。
凭着我对折纸的热爱，在无数次的折纸实践中，我发现其实折纸与数学存在着密不可分的关系，在折纸中用到许多数学知识。
（2） 此小课题的目的 如何将一张平面的纸张通过折叠成有空间概念的模型，
比如幸运星、千纸鹤、或是纸飞机等等？这就是需要运用到折纸中最基础的“将一条线N 等分”的方法，可是如何将一条直线进行多次等分，比如2、3、4、5、6等分呢？
（3） 研究的内容和步骤
①二等分 将一张矩形纸进行边对边的对折（即1×½=½）
，最后形成的两个矩形的面积比为1:1，且是全等图形。
② 三等分 如下图，在一个正方形ABCD 的纸中，取对角线BD 进行对折；然后打开后进行左右，边对边对折（AD 对BC ）；再将纸打开，在长方形EBCF 中取对角线EC 对折，与BD 相交于点G ，这时经G 点作平行于BC 的直线（即
下图中红线）
，红直线与上纸边AB 的交点即3等分点，最后形成的两个长方形的面积比为2:1
A
B D
C O E F G
③四等分在一张矩形的纸中，如何进行四等分呢，最简单的就是把这张纸边对边的对折再对折（½×½=¼），最后形成的两个矩形的面积比为3:1
④五等分如下图，在一张正方形的纸中，先进行对角线对折，再取其中一个角平分对折再对折，这时取第三条角平分线与左边的交点D，作与上下边的平行线，以此边为界而形成的两个长方形面积比为4:1
⑤六等分如下图，也是在一张正方形的纸中进行对角线对折再对折，（图二所示）边上所产生的交点与正方形的顶点重合，(在图三)交红色边为点Q，经点Q作平行于底边做一折痕，最后形成的两个矩形的面积比为5:1，即六等分。
（4）研究总结通过上面系列的等分折法证明，生活中无处不蕴含着数学知识。
数学寓于折纸之中，对数学的了解总然会在折纸中增加人的能力和创造力。
当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念和代数概念。
诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线。
在每一次折纸时，用数学的眼光去观察，会发现折纸中包含着许许多多的数学奥秘。
折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象。
任何一张纸都是个几何图形，折叠后产生新的几何图形，组合后可称为几何体。
这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合知识的运用。
通过各种几何图形的折叠实践，可以领悟出角等分和边等分是使用最为普遍的方法。
也发现了折叠中常见的几种类型：线线重合折叠、点线重合折叠、点点重合折叠、沿对称轴折叠。
只有掌握了上面例举的几种方法，才能折出各种各样的纸模型来。
而且事实证明，如果没有很好的掌握数学知识，稍有偏差就成不了等分，所折的出来的作品就会不规则，影响效果和美感。
所以想做好折纸这项手工艺术活，也必须认真学好数学，研究数学的规律，才会创造出更多的新作品来。
通过折纸可启发我们的创造力和逻辑思维，更可促进手脑的协调。
折纸还可以丰富我们的生活，使我们的生活变得更加绚烂多彩。