必修五 等差数列
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2.2等差数列
第1课时等差数列
课时过关·能力提升
1已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为().
A.2
B.3
C.-2
D.-3
解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,
故公差d=a2-a1=-1-1=-2.
答案:C
2数列{a n}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若a n=2 005,则n的值为().
A.667
B.668
C.669
D.670
解析:由a n=a1+(n-1)d得2 005=1+3(n-1),故n=669.
答案:C
3已知数列{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于().
A.-2
B.-
C.
D.2
解析:由题意,得
解得d=-.
答案:B
4已知数列{a n}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于().
A.40
B.42
C.43
D.45
解析:设公差为d,则a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以
a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.
答案:B
5已知在等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则b15等于().
A.30
B.45
C.90
D.186
解析:设数列{a n}的公差为d,则
解得
∴a n=3+3(n-1)=3n,b n=a2n=6n,
∴b15=6×15=90.
答案:C
6在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().
A.24
B.22
C.20
D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,
∴5a8=120.∴a8=24.
∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
答案:A
7等差数列1,-3,-7,…的通项公式为,a20=.
解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,
∴a n=1-4(n-1)=-4n+5.
∴a20=-80+5=-75.
答案:a n=-4n+5-75
8已知在数列{a n}中,a1=1,a2=,且(n≥2),则a n=.解析:∵,
∴数列是等差数列,公差d=.
∴+(n-1)d=1+(n-1)=.
∴a n=.
答案:
9数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n,则实数a=.
解析:∵{a n}是等差数列,∴a n+1-a n=常数.
∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.
∴2a=0,∴a=0.
答案:0
★10已知数列{a n}满足+4,且a1=1,a n>0,则a n=.
解析:由+4,得=4,
∴数列{}是公差为4的等差数列.
∴+4(n-1)=4n-3.
∵a n>0,
∴a n=.
答案:
11在等差数列{a n}中,
(1)已知a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
解:(1)由题意知
解得
(2)∵
∴a n=1+2(n-1)=2n-1.
∴a9=2×9-1=17.
12夏季高山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度
是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米? 解:∵每升高100米温度降低0.7 ℃,
∴该处温度的变化是一个等差数列问题.
山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,
∴26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.
故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(米).
★13数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)是否存在实数λ,使数列{a n}为等差数列?若存在,求出λ及数列{a n}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解:(1)由于a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{a n}不可能为等差数列.证明如下: 由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{a n}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{a n}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{a n}是等差数列.