必修五 等差数列

2.2等差数列

第1课时等差数列

课时过关·能力提升

1已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为().

A.2

B.3

C.-2

D.-3

解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,

故公差d=a2-a1=-1-1=-2.

答案:C

2数列{a n}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若a n=2 005,则n的值为().

A.667

B.668

C.669

D.670

解析:由a n=a1+(n-1)d得2 005=1+3(n-1),故n=669.

答案:C

3已知数列{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于().

A.-2

B.-

C.

D.2

解析:由题意,得

解得d=-.

答案:B

4已知数列{a n}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于().

A.40

B.42

C.43

D.45

解析:设公差为d,则a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以

a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.

答案:B

5已知在等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则b15等于().

A.30

B.45

C.90

D.186

解析:设数列{a n}的公差为d,则

解得

∴a n=3+3(n-1)=3n,b n=a2n=6n,

∴b15=6×15=90.

答案:C

6在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().

A.24

B.22

C.20

D.-8

解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,

∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,

∴5a8=120.∴a8=24.

∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.

答案:A

7等差数列1,-3,-7,…的通项公式为,a20=.

解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,

∴a n=1-4(n-1)=-4n+5.

∴a20=-80+5=-75.

答案:a n=-4n+5-75

8已知在数列{a n}中,a1=1,a2=,且(n≥2),则a n=.解析:∵,

∴数列是等差数列,公差d=.

∴+(n-1)d=1+(n-1)=.

∴a n=.

答案:

9数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n,则实数a=.

解析:∵{a n}是等差数列,∴a n+1-a n=常数.

∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.

∴2a=0,∴a=0.

答案:0

★10已知数列{a n}满足+4,且a1=1,a n>0,则a n=.

解析:由+4,得=4,

∴数列{}是公差为4的等差数列.

∴+4(n-1)=4n-3.

∵a n>0,

∴a n=.

答案:

11在等差数列{a n}中,

(1)已知a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;

(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.

解:(1)由题意知

解得

(2)∵

∴a n=1+2(n-1)=2n-1.

∴a9=2×9-1=17.

12夏季高山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度

是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米? 解:∵每升高100米温度降低0.7 ℃,

∴该处温度的变化是一个等差数列问题.

山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,

∴26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.

故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(米).

★13数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;

(2)是否存在实数λ,使数列{a n}为等差数列?若存在,求出λ及数列{a n}的通项公式;若不存在,请说明理由.

解:(1)由于a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3.

从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)数列{a n}不可能为等差数列.证明如下: 由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n,

得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{a n}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ.

解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

这与{a n}为等差数列矛盾.

所以不存在λ,使数列{a n}是等差数列.