计算二重积分的几种方法数学专业论文

计算二重积分的几种方法数学专业论文
计算二重积分的几种方法
摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，
本文总结了二重积分的一般计算方法和特
殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二
重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法
包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分
以及分部积分法.
关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法
1 引言
本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。

职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。

在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见
的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。

2 积分的计算方法
2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法
定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),d c
I x f x y dy
=⎰
存在，则累次积分
(),b
d
a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎰⎰也存在，且
(,)(,)b d a
c R
f x y dxdy f x y dy dx
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
⎰
证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是
0110
1
1
i i n k k
m
a x x x x x b
c y y y y y
d --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=
这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个
小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),
1,2,,;1,2,,.
ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 设
(){}(){}[]
1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，
有()1,,ik i ik k k
m f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),i
f y ξ在[]
1
,k k y
y -可积，
有()1
1
,,k
ik
k
i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰
.将此不等式对1,2,k m
=…相加，有()1
1
1
1
,k k m
m
m
y ik
k
i ik k
y k k k m y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰
，其中()()()
1
1
,,k k m
y d
i i i y c
k f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰
⎰，即()1
1
m
m
ik
k
i ik k
k k m y
I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此
不等式乘以
i
x ∆，然后对
1,2,i n
=…相加，有
()11
1
11
n m
n n m
ik
i k i i ik i k
i k i i k m
x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分
别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()
1n
i i i s T I x S T ξ=≤∆≤∑.
(1) 已知函数(),f x y 在R
可积，根据定理有
()()0
lim lim (,),T T R
S T s T f x y dxdy →→==⎰⎰
又不等式（1），有()()0
1
lim ,n
i
i
T i R
I x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即
()()(),,.
b
b
d
a
a c R
f x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形
域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),d b c
a
f x y dx dy
⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰，也存在，且()(),,d
b
c
a
R
f x y dxdy f x y dx dy
⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
.
也可将累次积分(),b d
a
c
f x y dy dx
⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰与(),d b
c
a
f x y dx dy
⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰分别记为
(),b d
a
c dx f x y dy
⎰
⎰和(),d
b
c
a
dx f x y dy ⎰⎰. 定义 1 设函数()()12
,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数
()()
12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域
()()()[]{}1
2
,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}1
2
,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称
为x 型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .
定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x x
f x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积
分()()()21,b
x
a
x
dx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,b
x
a
x
R
f x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.
利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin R
R
f x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰
例 1 计算二重积分()sin R
x y dxdy +⎰⎰，其中
0,0.
22R x y ππ⎛
⎫≤≤≤≤ ⎪⎝
⎭
解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有
()cos R
x y dxdy +⎰⎰=()2
20
cos dy x y dx
π
π
+⎰
⎰
=220
(cos cos sin sin )dy x y x y dx
π
π
-⎰
⎰
=()20
cos sin y y dy π
+⎰
= 1+01-
例2 计算二重积分2
2
D
x
dxdy
y
⎰⎰，其中D是由直线2,
x y x
==和双曲线1
xy=所围成，D既是x型区域又是y 型区域，如图（3）所示.
解先对y积分，后对x积分.将D投影在x轴上，
得闭区间[]1,2.[]1,2
x
∀∈,关于y积分，在D内y的积分限是
1
y
x
=到y x=，然后在投影区间[]1,2上关于x积分，即
()
22
223
1
22
11
9
4
x
x
D
x x
dxdy dx dy x x dx
y y
==-=
⎰⎰⎰⎰⎰.
先对x积分，后对y积分.因为D的左侧边界不是由
一个解析式给出，而是由两个解析式1
xy=和y x=给出的，所以必须将图（3）所示的区域D分成两个区域()
1
D PRS与()
2
D PRQ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即
21
22222
1222
11
22222
1
2
9
4
y
y
D D D
x x x x x
dxdy dxdy dxdy dy dx dy dx
y y y y y
=+=+=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
.
例3 设函数()
f x在[]0,1上连续，并设()
2
,
f x dx B
=
⎰求()()
22
.
x
I dx f x f y dy
=⎰⎰
解因为
()()()()2
2
2
y
x
I dx f x f y dy dy f x f y dx
==⎰⎰⎰⎰ ()()()()2
2
y
x
f y dy f x dx f x dx f y dy
==⎰⎰⎰⎰
所以
()()()()()()2222
22
2x x
I f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
22
B I =
.
2.2 换元法
求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算. 定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组
()()
,,,x x u v y y u v == （2）
将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈, 有
()
()
,0,
,x y J u v ∂=
≠∂则
()()()()'
,,,,,R
R f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡
⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3）
证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：
12,,,n
R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是1
2
,,,n
σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对
应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域1
2
',',,'n
R R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是1
2',',,'
n σ
σσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'k
u v R ∀∈，有
()
()
(),','.
,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈
∆=∆∂
(),k k k
R ξη∀∈，在
'k
R 对应唯一一点(),k
k
αβ，而
()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.
于是，()()()()1
1
,,,,,'.n
n
k
k
k
k
k
k k k k k k k f f x y J ξησαβ
αβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑
(4)
因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组
()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当
T →时，也有'0T →.对（4）取极限()
0T
→，有
()()()()'
,,,,,R
R f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡
⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.
例4 计算两条抛物线2
y mx
=与2
y
nx
=和两条直线y x
α=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）
所示.
解 已知区域R 的面积R
R dxdy =⎰⎰.
设
2,.
y y
u v x x
==这个函数将xy 平面上的区域R 变换为uv 平
面上的区域'
R ，'
R 是由直线,u m u n ==和,v v αβ==所围成的矩形域.
()()()(
)4
3224222,11.,,2
,1x y x y x u
u v u v y x y v y y
x y x x
y x x
∂⎛⎫===== ⎪
∂∂⎝⎭-∂-
由定理3可知,
()
()
4'
,,n m R
R x y u R dxdy dudv dv du
u v v βα∂===∂⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
()()2233
22433.2
6n m n m dv v β
α
βααβ
---=
=⎰
本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的
问题。

2.3 极坐标下的换元法
例
5 计算二重积分D
xydxdy ⎰⎰，其中
{
}2222(,)0,1,20
D x y y x y x y x =≥+≥+-≤如图（5）所示.
解 由于区域D 由圆的一部分组成，所以可以用极坐标变换来求解.
设cos ,sin x r y r θθ==，则在极坐标下，被积函数为
2cos sin r θθ
，积分区域为
θ
型区域.则有
(,)12cos ,03D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬
⎩
⎭于是有
2cos 2
30
1
cos sin
D
xydxdy d r rdr π
θ
θθθ=⎰⎰⎰
⎰
()4301916cos 1cos sin 416d πθθθθ=-=⎰
此题是应用极坐标换元法求解的.
2.4 应用函数的对称性求二重积分
定理4 []1如果积分区域D 关于y 轴对称，被积函数
(,)
f x y 是关于x 的偶函数，1
D 是D 的位于y 轴右侧的部分，
则有 1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
[]2如果积分区域D 关于x 轴对称，
被积函数(,)f x y 是关于y 的偶函数，1
D 是D 的位于x 轴上侧的部分，则有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
证明 []1由于
D
关于
y
轴对称，不妨设
()()(){},,,D x y y x y c y d ϕϕ=
-≤≤≤≤y 轴将区域D 分为1
D 和2
D ，则
由二重积分对区域的可加性，得
()()()1
2
,,,D
D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）
对积分()2
,D f x y dxdy ⎰⎰作换元，即令,x u y v =-=，则xoy 面的
区域2D 对应uov 面上的区域'
2
D ，如图（6）所示
()(){}()(){}22
,0,',0,D x y y x c y d D u v u v c v d ϕϕ=
-≤≤≤≤=≤≤≤≤
又因为(),f x y 是关于x 的偶函数，于是可得
()()()()2
221
'
'
,,,,D D D D f x y dxdy f u v dudv f u v dudv f x y dxdy
=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，
将上式带入（5）式得 1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰用完全
类似的方法可证明定理的第二部分.
定理5 如果积分区域D 关于x 轴、y 轴都对称，被积函数关于x 、y 都是偶函数，1
D 是D 中第一象限的部
分，则 ()()1
,4,.D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
证明 由于D 关于y 轴对称，不妨设'
D 为D 的位于y
轴右侧部分，又因为(),f x y 是关于x 的偶函数，由定理4得()()'
,2,D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ （6）
由条件知'
D 又关于x 轴对称，若1
D 是'
D 的位于x 轴上
侧的部分，且因被积函数是关于y 的偶函数，由定理4的第二部分得：
()()1
'
,2,D D f x y dxdy f x y dxdy
=⎰⎰⎰⎰ （7） 由上面（6）
（7）式可得
()()1
,4,D
D f x y dxdy f x y dxdy
=⎰⎰⎰⎰.
定理6 如果积分区域D 关于y 轴（或x 轴）对称，被积函数是关于x
(或
y
)的奇函数，则
(),0D
f x y dxdy =⎰⎰
证明 由定理4的证明过程得
()()()()2
221
'
'
,,,,D D D D f x y dxdy f u v dudv f u v dudv f x y dxdy
=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
将上式代入（5）式得
()()()1
1
,,,0
D
D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
例 6 求圆锥()
2
222z c x y =+截圆柱面2
22x
y y
+=所得有界部分立体的体积.
解 立体在xy 平面上的投影为2
2:2D x y y
+≤根据积分区域是关于y 轴对称并且被积函数(
)g x =y 的偶
函数，那么所得立体体积为
2V =，令cos ,sin x r y r θθ==，
则D 变为(){},0,02sin r r θθπθ≤≤≤≤，所以有
2sin 30
01664
22sin 39
D
c V
d crrdr d c π
θ
πθθθ===
=⎰⎰⎰⎰
⎰.
例7 计算二重积分()cos sin D
xy x y dxdy +⎰⎰，其中D 是xoy 平
面以()()()1,1,1,1,1,1---为顶点的三角形区域，1
D 是D 在第一
象限的部分如图（7）所示.
解 如图（7）所示，作辅助线OB ，则
()()()cos sin cos sin cos sin D
AOB
BOC
xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy
+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
因区域BOC 关于x 轴对称，且cos sin xy x y +为关于y 的奇函数，故
()cos sin 0.BOC
xy x y dxdy +=⎰⎰
又因为()cos sin cos sin AOB
AOB
AOB
xy x y dxdy xydxdy x ydxdy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,而区域
AOB
关于
y
轴对称，
xy
为关于x 的奇函数，故
0,cos sin AOB
xydxdy x y =⎰⎰为关于
x
的偶函数，故
1
cos sin 2cos sin AOB
D x ydxdy x ydxdy
=⎰⎰⎰⎰.
因此()1
cos sin 2cos sin D
D xy x y dxdy x ydxdy +=⎰⎰⎰⎰
2.5 用分部积分法求二重积分 分部积分公式udv uv vdu
=-⎰⎰由两个函数乘积的求导公式得
到，主要用于被奇函数是两个函数乘积时的积分求法，通常根据被积函数类型按次序“反对幂指三” [1]
作为u ，其他的凑成dv ，实现积分的转移。

当被积函数仅一类函数，且被积函数的原函数不易找到，一般也用此方法。

定理7 设(),f x y 是在()(){}1
2
,D a x b y x y y x =≤≤≤≤上的连
续可微函数，()()1
2
,y x y x 为定义在[],a b 上的可微函数.如果
在区域D 上有连续可微函数(),F x y 满足
()()
(),,,F x y F x y x
f x y x
∂+=∂ （8）
则()()()()()()()()()()212211,,,','y x
b
y x
a
D
b f x y dxdy x F x y dy x F x y x y x F x y x y x dx
a
⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰⎰
证明 因为在区域上连续可微，为定义在上的可微函数，由含参变量累次积分的连续性、可微性可得
()()()
()21,,b y x a
y x D
F x y dxdy dx F x y dy
=⎰⎰⎰
⎰
，又由定积分的分部积分法、
含参变量积分的连续性和可微性、含参变量累次积分的连续性和可微性得
()()()
()()()
()
()
2211,,,'y x b
y x y x a
y x D
b F x y dxdy x F x y dy x
F x y dx
a =-⎰⎰⎰
⎰⎰
()()
()
()()()()()()()()()22112211,,,','y x b y x y x a y x b
F x y x F x y dy
x dy F x y x y x F x y x y x dx a x ∂⎛⎫=-+- ⎪∂⎝⎭
⎰
⎰⎰ ()()
()()()()()()()
()()
()
22112211,,,','y x b
y x b y x a
y x a b F x y x F x y dy
dx x
dy F x y x y x F x y x y x dx a
x
∂⎡⎤=---⎣⎦∂⎰
⎰⎰
⎰
而()()
()
()
21,,b y x a
y x
D
F x y F x y dx x dy x dxdy
x x ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰，因此有
()()
()()()()()()()()
()212211,,,,','D
y x b
y x a F x y F x y x
dxdy x
b
x F x y dy
x F x y x y x F x y x y x dx a
∂+∂⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰
⎰
即
()()()()()()()()()
()212211,,,','y x b
y x a D
b
f x y dxdy F x y dy x F x y x y x F x y x y x dx a
⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰
⎰
推论 1 设(),f x y ，与其偏导数
f
x
∂∂在区域
()()(){}1
2
,,D x y y x y y
x a x b =
≤≤≤≤上连续，()()12,y x y x 为定义在[]
,a b 上的可微函数，且()()(),,0F x y f x y αα=≠，则
()()()()()()()()()()
2122111,,,','y x b y x a D
b f x y dxdy x f x y dy x f x y x y x f x y x y x dx a α⎧⎫⎡⎤=
--⎨
⎬⎣⎦⎩⎭
⎰⎰
⎰⎰
证明由定理7知
()()
(),,,F x y F x y x
f x y x
∂+=∂，令
()()()()(),,,,',
f x y x f x y f x y xf x y ααα=+=即()()()1
,',,xf x y f x y α=则有：
()()()()()()()()()()
2122111,,,','y x b y x a D
b f x y dxdy x f x y dy x f x y x y x f x y x y x dx a α⎧⎫⎡⎤=
--⎨⎬⎣⎦⎩⎭
⎰⎰
⎰⎰
推论 2 设(),f x y ，与其偏导数
f
x
∂∂在区域
()()(){}1
2
,,D x y y x y y
x a x b =
≤≤≤≤上连续，()()12,y x y x 为定义在[]
,a b 上的可微函数，且()()(),,1xf x y f x y αα=≠-，则
()()()()()()()()()()
2122111,,,','1y x b y x a D
b f x y dxdy x f x y dy x f x y x y x f x y x y x dx a α⎧⎫⎡⎤=
--⎨
⎬⎣⎦+⎩⎭
⎰⎰
⎰⎰
例10 计算二重积分2
D
x ydxdy ⎰⎰，其中区域D 是由
0,0
x y ==与2
2
1x y +=所围成第一象限的图形.
解 如果先对y 积分，后对x 积分，
1
200
I dx ydy
=⎰由
分部积分法可得
1
12220
000010I ydy dx x x ydy x ydy dx
⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰⎰
)(
)1
1
22
001
1
2
40
122x xydy x x x dx
dx ydy x dx
-⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦
=-+⎰⎰⎰
所以5
1
113,05
5I x
==于是1
15I =.
例11 计算二重积分sin ,D
x
dxdy x
⎰⎰D 是由直线y x =及抛物线2
y x =围成的区域.
解 对于x 型区域得2
1
sin sin x
x D
x
y
I dxdy dx dy x
y
==⎰⎰⎰⎰显然，由
上式易求出
1sin1
I =-.对于
y
型区域
得
10sin sin y D
x
x I dxdy dy dx
x x ==⎰⎰⎰若用一般方法，想要求解非常困
难，若用分部积分法，则易得结果.所以用分部积分法可得
1
0y x I dx dy
x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
101sin 0y y x x y dx y dx dy x x ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰
1120sin y y y dy y ⎤=--⎥⎥⎦
⎰
1
11000sin 1sin 21sin1
y y dy ydy y ⎡==-⎢⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰
3.结论
以上是对二重积分的常用计算方法的总结，通过以上总结使我们对二重积分的计算有了更深入的了
解.在以后的计算过程中，我们可以通过函数的不同特点来选择不同的计算方法，以简化计算过程.更多的计算方法与技巧有待于我们今后做进一步的研究与探索.
【参考文献】
[1]刘玉涟.数学分析讲义[M].高等教育出版社.2010年.第五版
[2]李玲.对称性在二重积分中的应用[J].黄山学院学报.2006年.第8卷.第3期
[3]熊明.用元素法把二重积分直接化为单积分[J].高等数学研究.2010年.第13卷.第4期
[4]韩红伟.分部积分法在二重积分中的应用[J].时代教育.2008年.第1期
[5]孙幸荣.二重积分的分部积分法[J].绵阳师范学院学报.2009年.第28卷.第11期
Several methods for calculating the double integral
School of mathematics and statistics, Chifeng
University, Chifeng 024000
Abstract: Calculation of double integral is
an important content of mathematical
analysis, the calculation method of diversity,
flexibility, this paper summarizes the
general methods of calculating the double
integral and special calculation method.
Among them, the general calculation
methods including double integral for the iterated integral and substitution method, symmetry, parity and double integral and integral method special calculation methods including application functions. Key words: The double integral integral symmetry of subsection integral method。