计算二重积分的几种方法数学专业论文

计算二重积分的几种方法数学专业论文

计算二重积分的几种方法

摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，

本文总结了二重积分的一般计算方法和特

殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二

重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法

包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分

以及分部积分法.

关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法

1 引言

本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见

的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。

2 积分的计算方法

2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法

定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),d c

I x f x y dy

=⎰

存在，则累次积分

(),b

d

a c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰⎰也存在，且

(,)(,)b d a

c R

f x y dxdy f x y dy dx

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

⎰

证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是

0110

1

1

i i n k k

m

a x x x x x b

c y y y y y

d --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=

这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个

小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),

1,2,,;1,2,,.

ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 设

(){}(){}[]

1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，

有()1,,ik i ik k k

m f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),i

f y ξ在[]

1

,k k y

y -可积，

有()1

1

,,k

ik

k

i ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰

.将此不等式对1,2,k m

=…相加，有()1

1

1

1

,k k m

m

m

y ik

k

i ik k

y k k k m y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰

，其中()()()

1

1

,,k k m

y d

i i i y c

k f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰

⎰，即()1

1

m

m

ik

k

i ik k

k k m y

I M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此

不等式乘以

i

x ∆，然后对

1,2,i n

=…相加，有

()11

1

11

n m

n n m

ik

i k i i ik i k

i k i i k m

x y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分

别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()

1n

i i i s T I x S T ξ=≤∆≤∑.

(1) 已知函数(),f x y 在R

可积，根据定理有

()()0

lim lim (,),T T R

S T s T f x y dxdy →→==⎰⎰

又不等式（1），有()()0

1

lim ,n

i

i

T i R

I x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即

()()(),,.

b

b

d

a

a c R

f x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形

域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),d b c

a

f x y dx dy

⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰，也存在，且()(),,d

b

c

a

R

f x y dxdy f x y dx dy

⎡

⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

.

也可将累次积分(),b d

a

c

f x y dy dx

⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰与(),d b

c

a

f x y dx dy

⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰分别记为

(),b d

a

c dx f x y dy

⎰

⎰和(),d

b

c

a

dx f x y dy ⎰⎰. 定义 1 设函数()()12

,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数

()()

12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域

()()()[]{}1

2

,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}1

2

,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称

为x 型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .