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整式的乘除题型和典型习题整式乘除一．典型例题分析：一、同底数幂的乘法1. 下面各式的运算结果为a 14 的是（）A. a 3 a 4 a 7 aB. ( a)5 ( a)9C.a 8 ( a)6D. a 7 a 72. 化简 ( x y)3 ( y x)2为 （）A ． (x y)5B ． ( x y) 6C ． ( y x)5D ． ( y x) 6二、幂的乘方1. 计算x 2 3的结果是（）（ )A ． x 5B ． x 5C ． x 6D ． x 62. 下列各式计算正确的是（ ）A ． ( x n )3n x 4 nB ． (x 2 )3 ( x 3 ) 2 2x 6C ． (a 3 )n1a 3n 1D． ( a 2 ) 4 a 8a 16三、积的乘方31.3a 4b 2 等于（）A ． 9a 12b 6B ． 27a 7 b 5C． 9a 12b6D ． 27a 12b 62. 下列等式，错误的是（）A. (x 2 y 3 ) 2 x 4 y 6B. ( xy) 3xy 3C. (3m 2n 2 ) 2 9m 4n 4D. ( a 2b 3 ) 2 a 4b6四、单项式与多项式的乘法 1、计算 （1） 3a(4 a2b 1)（ 2） ( x 2x 2xy).( 3x)（3） ( x 3y)(2 y x)（ 4） (a b)( a 2 abb 2 )五、乘法公式（平方差公式）1 / 51. 下列式子可用平方差公式计算的式子是（）A ． (a b)(b a)B． ( x 1)(x 1)C ． ( ab)( a b)D ． ( x 1)(x 1)2. 计算 ( a b c)(ab c) 等于（）A. (a b c)2B2c 2． (a b ）C ．a 2（b2D． a 2（ b2c ）c ）3. 化简 ( a 1)2(a1) 2的值为（ ）A ．2B ． 4C ． 4aD ． 2a 22乘法公式（完全平方公式）1. 下列各式计算结果是1 m2 n 2 mn 1的是（）4A. (mn 1 )2B.( 1mn 1)222C. ( 1 mn 1)2D.( 1 mn 1)2242. 加上下列单项式后，仍不能使4x 2 1 成为一个整式的完全平方式的是（）A ． 4x 4B ． 4xC ． 4xD ． 4六、同底数幂的除法1. 下列运算正确的是（）．4A ． a 8 a 4 a 2B15C ． x 3 x x 3D． ( m)4( m)2 m 22. 下列计算错误的有（）① a 6a 2 a 3 ； ② y 5 y 2 y 7 ；③ a 3 a a 2 ； ④ ( x) 4 ( x) 2x 2 ； ⑤ x 8x 5 x 2x ．A ．4 个B ．3个C ．2个D ．1个七、单项式与多项式的除法1. 下列各式计算正确的是（ ）2 / 5A．a2 a a a2 B ．a2 a a a2C．a2 a a 1 D ．a3 a a a32. ( 5a4 15a2 b3 20a3b) ( 5a2 ) .二．跟踪练习一、填空题1、x2x5 , y2 y y y y ．2、合并同类项：2 xy2 3xy 2 ．3、2383 2n,则 n ．4、a b 5 , ab 5 ．则a2 b2 ．5、3 2x 3 2 x ．6、如果4 x2 mxy 9 y2是一个完全平方式, 则 m 的值为．7、a5 a2 a , (2 x )4 (3 x )3 ．8、a b 2 2a b ．9、21ab2 2 a2c ．710、(6 x3 12 x 2 x ) ( 3 x) ．11、边长分别为 a 和2a 的两个正方形按如图(I) 的样式摆放，则图中阴影部分的面积为．12．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为______．13．若（ x－ 3）（ x+1） =x 2+ax+b ，则 b a=________ ．14．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为______．15．若 x+y=5 ， x－ y=1，则 xy=________ ．16．计算（－ 0.25）2006×42006=________ ．17． a2－ 3a+_______=（ a－ _______）2．二、选择题12、下列计算结果正确的是（）3 / 5A a2 a4 a 8B x x 0C 2xy 22 y2 D a34a74 x13．下列运算结果错误的是（）A x y x y x 2 y2 B2a2 b2 a bC x y x y x 2 y2 x 4 y 4D ( x 2)( x 3) x 2 x 614、给出下列各式①11a 2 10a2 1 ，②20 x 10 x 10 20，③ 5b4 4b3 b ，④ 9 y2 10 y2 y2，⑤c c c c 4c ，⑥a2 a2 a2 3a2．其中运算正确有（）A3个B4 个 C 5 个D 6 个15．下列各式中，计算结果是a2 3a 40 的是（）A a 4 a 10B a 4 a 10C a 5 a 8D a 5 a 816．下列各式计算中，结果正确的是（）A x 2 2 x x 2 2B x 2 3 x 2 3 x 2 4C x y x y x 2 y 2D ab c ab c a 2b2 c217. 在下列各式中，运算结果为 1 2xy 2 x 2 y4的是（）A 1 xy 2 21 x2 y221 x2 y221 xy 22 B C D18．下列计算中，正确的是（）A8x3x 5 B a b5b4 x a b a4C x 1 6 2 3a 5 a32 x 1 x 1 D a19．( a2)3a5的运算结果正确的是（）A a13B a11C a21D a620．若x m y n x 3 y x 2 y ，则有（）A m 6, n 2B m 5, n 2C m 5, n 0D m 6, n 0三、计算题21．a4 2a 2322 ab 22 35ab． a 3b4 / 523． 12ab 2a 3 a b 2 b 24 ． x 5 x 2 25 x 5 ．4 325．2xy 2 2 1 xy ．26 2 ． x yx y x y ．327．应用乘法公式进行计算：2006 20082007 2. ．四、解答题28．先化简，再求值： 3 x 2 3 x 2 5x x 1 2 12 x 1 ，其中 x ．3 29．解方程：( x2)2( x 4)( x 4) (2 x 1)( x 4).五、应用题30．已知： m为不等于0 的数，且1m 1 ，求代数式 m 2 1 2的值．m m31．已知：x2 xy 12 ， xy y2 15 ，求x y 2x y x y 的值．32．（ 6 分）如图，某市有一块长为（ 3a+b）米，宽为（ 2a+b）米的长方形地块， ?规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？ ?并求出当 a=3， b=2 时的绿化面积．5 / 5。
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n=a m+n（m，n是正整数）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n b n（n是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）【例1】（2020春•雨花区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（﹣a3）2＝a6C．a9÷a3＝a3D．（﹣bc）4＝﹣b4c4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，原式计算错误，故此选项不合题意；B、（﹣a3）2＝a6，正确；C、a9÷a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；D、（﹣bc）4＝b4c4，原式计算错误，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-1】（2020秋•鹿城区校级月考）下列运算正确的是（）A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；B．结果是8a6，故本选项不符合题意；C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；D．结果是a，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．【变式1-2】（2020春•顺德区期末）下列计算正确的是（）A．（3×103）2＝6×105B．36×32＝38C．（−13）4×34＝﹣1D．36÷32＝33【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、（3×103）2＝9×106，故此选项错误；B、36×32＝38，正确；C、（−13）4×34＝1，故此选项错误；D、36÷32＝34，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-3】（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【考点2 幂的混合运算】【例2】（2019春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8a m+2【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【变式2-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•崇川区校级月考）计算（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案【解答】解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2•（y﹣x）7•（y﹣x）3＝（y﹣x）12．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【变式2-3】（2020春•安庆期中）计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，＝0．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．【考点3 巧用幂的运算进行简便运算】【例3】（2020春•宁远县期中）计算（−512）2019×（225）2020的结果是（）A．−512B．−125C．512D．﹣2020【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣（512）2019×（125）2020＝﹣（512×125）2019×125＝﹣1×12 5=−125，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．【变式3-1】（2020春•市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021＝0.1252020×82020×（﹣8）＝（0.125×8）2020×（﹣8）＝12020×（﹣8）＝1×（﹣8）＝﹣8．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019＝82×42×（4×﹣0.25）2019＝82×42×（﹣1）＝﹣1024．故答案为：﹣1024．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．【变式3-3】（2019春•城关区校级期中）计算：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014 【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．【解答】解：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014=(23×32)2012×49×1=49． 【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．【考点4 幂的逆运算】【例4】（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x ＝a ，2y ＝b ，求2x +y 的值；（2）已知3m ＝5，3n ＝2，求33m +2n +1的值；（3）若3x +4y ﹣3＝0，求27x •81y 的值．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）∵2x ＝a ，2y ＝b ，∴2x +y ＝2x •2y ＝ab ；（2）∵3m ＝5，3n ＝2，∴33m +2n +1＝（3m ）3•（3n ）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，∴27x •81y＝33x •34y＝33x +4y＝33＝27．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-1】（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．【变式4-2】（2019春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-3】（2020•河北模拟）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【解答】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，∴1﹣3x+4x＝5，解得x＝4；（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．【考点5 巧用幂的运算进行大小比较】【例5】（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，∵8＜9，∴m＜n，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．【变式5-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（）A．255＜344＜433B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．【解答】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．【变式5-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．【解答】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．【变式5-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以解答本题；（3）根据题目中的例子可以解答本题；（4）根据题目中的例子可以解答本题．【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【考点6 幂的运算中新定义问题】【例6】（2020春•漳州期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ）＝n ．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ； （2）[说理]记（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ．试说明：a +b ＝c ；（3）[应用]若（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），求t 的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，2−2=14，（2，14）＝﹣2， 故答案为：3；﹣2；（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；（3）设（m ，16）＝p ，（m ，5）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝16，m q ＝5，m r ＝t ，∵（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），∴p+q＝r，∴m p+q＝m r，∴m p•m r＝m t，即16×5＝t，∴t＝80．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式6-1】（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵26＝64，∴T（2，64）＝6；故答案为：6．（2）∵(13)−3=27，（﹣2）4＝16，∴T(13，27)+T(−2，16)=−3+4＝1．（3）相等．理由如下：设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×7＝21得：2m•2n＝2k，可得m+n＝k，即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式6-2】（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log n b（即log n b）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝a m，N＝a n，再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵loga a m =m，loga a n=n，loga a m+n=m+n，∴loga a m +loga a n=loga a m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【变式6-3】（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果a c＝b．那么【a，b】＝c例如因为23＝8．所以【2，8】＝3（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝，【7，1】＝【，81】＝4（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【，】（结果化成最简形式）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．【解答】解：（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．因为70＝1，所以【7，1】＝0．因为（±3）4＝81，∴【±3，18】＝4，故答案为：2；0；±3；（2）①证明：设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，∴5×9＝45＝6x•6y＝6x+y，∴【6，45】＝x+y，则：【6，45】＝【6，9】+【6，5】，∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；②∵【3n，4n】＝【3，4】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．故答案为：x+1，y2﹣3y+2．【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．【考点7 整式的乘法】【例7】（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）A．1B．﹣1C．3x D．﹣3x【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．故选：C．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【变式7-1】（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+（a+3）x2+x，因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，所以a+3＝0，所以a＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．【变式7-2】（2019春•蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】将（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，对比系数即可求解；【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，∴a﹣2b＝﹣a，ab+1＝5，b+3＝5，∴b＝2，a＝2，∴ab＝4；故选：C．【点评】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题．【变式7-3】（2019春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．【解答】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，（a2﹣ma+2n）（a+1）＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换．【考点8 整式乘法的应用】【例8】（2020春•建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（）①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）A．①②④B．①②③④C．①D．②④【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．【解答】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．【变式8-1】（2019秋•平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故选：A．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，故选：C．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式8-3】（2020春•漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．【解答】解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【考点9 利用乘法公式求值】【例9】（2020春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【变式9-1】（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式9-2】（2020春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．【变式9-3】（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，∴①+②得：2（x2+y2）＝34，∴x2+y2＝17，∴17+2xy＝25，∴xy＝4；（2）∵（a﹣b）2＝3，∴a2﹣2ab+b2＝3，∵a2+b2＝15，∴15﹣2ab＝3，∴﹣2ab＝﹣12，∴ab＝6，∵a2+b2＝15，∴a2+2ab+b2＝15+12，∴（a+b）2＝27．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．【考点10 乘法公式几何背景】【例10】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b 的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．【分析】（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），可得等式； （2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，可得等式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形．【解答】解：（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），因此有a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；（2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，因此可得a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形，拼图如图所示：【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．【变式10-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）．（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ．（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m 2﹣n 2＝12，2m +n ＝4，则2m ﹣n ＝ ．②计算：20202﹣2018×2022．③计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)．【分析】（1）由面积公式可得到答案；（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，∴2m﹣n＝3，故答案为：3；②＝20202﹣（20202﹣4）＝20202﹣20202+4＝4；③．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．【变式10-2】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1，图2，图3．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．；【解答】解：（1）图1、S阴=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2=(a−b)(a−b)=a2−2ab+b2；图2、S阴=(a+b)(a−b)=a2−b2．图3、S阴（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，=(a+b)2−4ab则S阴＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，∴x﹣y＝±7．【点评】本题主要考查乘法公式的应用，（1）根据题目中正方形和长方形的边长，由面积计算公公式可得出乘法．（2）根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论．（3）根据（2）中结论可直接计算得出答案．【变式10-3】（2020春•东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b 的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2−n24=(m+n)(m−n)4=2x⋅2y4=xy；m2+n22=(m+n)2−2mn2=4x2−2(x2−y2)2=x2+y2；故答案为：A、B、C、D．【点评】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．【考点11 整式乘除的计算与化简】【例11】（2019春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．②[b （a ﹣3b ）﹣a （3a +2b ）+（3a ﹣b ）（2a ﹣3b ）]÷（﹣3a ），其中a ，b 满足2a ﹣8b ﹣6＝0．【分析】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值； ③原式利用完全平方公式计算即可求出值；④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值；②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）①原式＝﹣a 8+16a 8＝15a 8；②原式＝﹣4xy 3•（12xy ）÷x 2y 4 ＝﹣2x 2y 4÷x 2y 4＝﹣2；③原式＝16x 2+24xy +9y 2；④原式＝4a 2﹣b 2+a 2+4ab +4b 2＝5a 2+4ab +3b 2；（2）①原式＝x 2+2xy +y 2﹣y 2+x 2﹣x 2+12xy＝x 2+52xy ，当x ＝﹣1，y =15时，原式＝1−12=12；②原式＝（ab ﹣3b 2﹣3a 2﹣2ab +6a 2﹣9ab ﹣2ab +3b 2）÷（﹣3a ）＝（3a 2﹣12ab ）÷（﹣3a ）＝﹣a +4b＝﹣（a ﹣4b ），由2a ﹣8b ﹣6＝0，得到a ﹣4b ＝3，则原式＝﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【变式11-1】（2020春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−1 2．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（−13ab2）＝﹣36ab；（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，当x＝﹣2，y=−12时，原式＝4−12=312．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】（2020春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）＝0.125；。
整式的乘除难题解析
整式的乘除难题解析整式的乘除是初中数学中的一个难点，需要掌握一定的技巧和方法。
下面将针对不同类型的乘除难题进行解析。
测试1：积的乘方若 $2^n=a$，$3^n=b$，则 $6^n=$______。
解析：根据指数的性质，$6^n=(2\cdot 3)^n=2^n\cdot3^n=a\cdot b$。
选择题：1.$\times (-0.2)^{2010}$，$(-5)\times 67\times (-6)$ 的积为：A。
$-.6$，$-2010$B。
$-.8$，$-2010$C。
$-.6$，$2010$D。
$-.8$，$2010$2.若 $(9x^2)^3\cdot (8)^{-4}=4$，求 $x^3$ 的值。
解析：化简得 $x^3=\frac{1}{2}$。
3.比较 $216\times 310$ 与 $210\times 314$ 的大小。
若$3x^1\cdot 2x-3x\cdot 2x^1=22\cdot 32$，求 $x$。
解析：$216\times 310>210\times 314$。
化简得 $x=4$。
测试2：整式的乘法(一)已知 $x^3a=3$，则 $x^6a+x^4a\cdot x^5a=$______。
解析：根据整式乘法的分配律，$x^6a+x^4a\cdotx^5a=x^3a\cdot x^3a+x^3a\cdot x^4a=x^6a+x^7a=3x+a$。
选择题：1.下列各题中，计算正确的是：A。
$(-m^3)^2(-n^2)^3=m^6n^6$B。
$(-m^2n)^3(-mn^2)^3=-m^9n^9$C。
$(-m^2n)^2(-mn^2)^3=-m^9n^8$D。
$[(-m^3)^2(-n^2)^3]^3=-m^{18}n^{18}$2.若 $x=2m+1$，$y=3+4m$，(1)请用含 $x$ 的代数式表示$y$；(2)如果 $x=4$，求此时 $y$ 的值。
整式复习题(较难)
多项式除以多项式
总结词
转化为单项式除以单项式的形式进行计算
详细描述
多项式除以多项式可以转化为一个多项式除以一个单项式的形式，然后利用除法分配律 进行计算。具体步骤为：先把被除式和除式按相同字母因式分解，然后利用除法法则进
02
CATALOGUE
整式的乘法运算
单项式乘以单项式
总结词
通过系数相乘、同类项的字母部分相加，得到结果。
详细描述
例如，$2x^2y times 3x^2y = 6x^{4}y^2$。
单项式乘以多项式
总结词
将单项式与多项式的每一项分别 相乘，合并同类项。
详细描述
例如，$2x^2y times (x + 1) = 2x^3y + 2x^2y$。
。
分组化简
将整式按照一定的规则 分组，然后分别进行化
简。
求整式的值
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代入求值
将给定的数值代入整式中，计 算出整式的值。
参数代换
将参数表示的式子代入整式中 ，简化计算过程。
整体代入
将已知的等式或表达式整体代 入整式中，求出整式的值。
特殊值法
选取整式中的某些特殊值，简 化计算过程。
已知整式的值求参数的值
去括号法则
总结词
去括号法则是整式加减运算中的重要法则之一，它涉及到如何处理括号及其内部 的内容。
详细描述
去括号法则规定，当括号前面是加号或减号时，括号内的各项符号保持不变；当 括号前面是负号时，括号内的各项符号需要改变。例如，在整式$3(x + y) - 2(x - y)$中，根据去括号法则，可以展开为$3x + 3y - 2x + 2y$。
(完整版)七年级下数学第3章整式的乘除经典易错题带答案可直接打印2013浙教版新教材
第3章整式的乘除1．计算：(1)(－2)×(－2)2×(－2)3；(2)(－x)9·x5·(－x)5·(－x)3；(3)a n＋4·a2n－1·a；(4)4m－3·45－m·4.解：(1)26(2)－x22(3)a3n＋4(4)432．如果x m－3·x n＝x2，则n等于(D) A．m－1B．m＋5C．4－m D．5－m【解析】x m－3·x n＝x m＋n－3＝x2，∴m＋n－3＝2，∴n＝5－m.选D.3．(1)已知x3·x a·x2a＋1＝x31，求a的值；(2)已知x3＝m，x5＝n，试用含m，n的代数式表示x11.解：(1)x3a＋4＝x31，3a＋4＝31，a＝9.(2)x11＝x6·x5＝x3·x3·x5＝m·m·n＝m2n.4．计算－(－3a)2的结果是(B) A．－6a2B．－9a2C．6a2D．9a25．计算：(1)－p2·(－p)4·[(－p)3]5；(2)(m－n)2·[(n－m)3]5；(3)25×84×162.解：(1)原式＝－p2·p4·(－p)15＝p21；(2)原式＝(m－n)2·(n－m)15＝－(m－n)17；(3)原式＝25×(23)4×(24)2＝25×212×28＝225.6．已知10m＝2，10n＝3，求103m＋2n的值．解：103m＋2n＝(10m)3·(10n)2＝23×32＝8×9＝72. 7．计算：(1)(－ab2)2(－a4b3)3(－3a2b)；(2)(－x n)2(－y n)3－(x2y3)n；(3)[(a＋b)3]4·[(a＋b)2]3；(4)(a4)5－(－a2·a3)4＋(－a2)10－a·(－a2)5·(－a3)3. 解：(1)原式＝a2b4(－a12b9)(－3a2b)＝3a16b14；(2)原式＝－x2n y3n－x2n y3n＝－2x2n y3n；(3)原式＝(a＋b)12·(a＋b)6＝(a＋b)18；(4)原式＝a20－a20＋a20－a20＝0.8．求值：(1)已知2×8n×16n＝222，求n的值；(2)若q m＝4，q n＝16，求q2m＋2n的值；(3)已知x3n＝2，求x6n＋x4n·x5n的值．解：(1)21×23n×24n＝222，27n＋1＝222，∴7n＝21，n＝3.(2)q2m＋2n＝(q m)2×(q n)2＝42×162＝16×256＝4096.(3)x6n＋x4n·x5n＝x6n＋x9n＝22＋23＝4＋8＝12. 9．计算：(1)4y·(－2xy2)；(2)(3x2y)3·(－4x)；(3)(－2a)3·(－3a)2；(4)(－3×106)×(4×104)(结果用科学记数法表示)．解：(1)原式＝－8xy3；(2)原式＝27x6y3·(－4x)＝－108x7y3；(3)原式＝－8a 3·9a 2＝－72a 5；(4)原式＝－12×1010＝－1.2×1011.10．计算：(1)(－4x 2)·(3x ＋1)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫23ab 2－2ab ·12ab ； (3)a (3＋a )－3(a ＋2)．解：(1)原式＝(－4x 2)·(3x )＋(－4x 2)·1＝－12x 3－4x 2；(2)原式＝23ab 2·12ab ＋(－2ab )·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2； (3)原式＝3a ＋a 2－3a －6＝a 2－6.11．[2012·杭州]化简：2[(m －1)m ＋m (m ＋1)]·[(m －1)m －m (m ＋1)]．若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m (m ＋1)][(m －1)m －m (m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m )(m 2－m －m 2－m )＝2·2m 2·(－2m )＝－8m 3，即原式＝(－2m )3，表示任意一个偶数的立方．12．计算：(1)[2012·安徽](a ＋3)(a －1)＋a (a －2)；(2)(a 2＋3)(a －2)－a (a 2－2a －2)．解：(1)(a ＋3)(a －1)＋a (a －2)＝a 2＋2a －3＋a 2－2a ＝2a 2－3；(2)原式＝a 3－2a 2＋3a －6－a 3＋2a 2＋2a＝5a －6.13．已知a ＋b ＝m ，ab ＝－4，则计算(a －1)(b －1)的结果是( D ) A ．3B．mC．3－mD．－3－m【解析】(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝－4－m＋1＝－3－m.选D.14．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a为有理数，则M，N的大小关系是(B) A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定【解析】M－N＝(a＋3)(a－4)－(a＋2)(2a－5)＝(a2－a－12)－(2a2－a－10)＝a2－a－12－2a2＋a＋10＝－a2－2＜0，∴M＜N.选B.15．[2012·吉林改编]先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝2. 解：原式＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2.当a＝1，b＝2时，3a2－b2＝3×1－22＝－1.16．已知x2－2x＝1，求(x－1)(3x＋1)－(x＋1)2的值．解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－2x－1＝2x2－4x－2.当x2－2x＝1时，原式＝2(x2－2x)－2＝2×1－2＝0.16．解方程：(x－2)2－(x＋3)(x－3)＝4x－1.解：(x－2)2－(x＋3)(x－3)＝4x－1，去括号，得x2－4x＋4－x2＋9＝4x－1，合并同类项，得8x＝14，系数化为1，得x＝74.17．李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如图3－3－5所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖．问：(1)他至少需要多少平方米的地板砖？(2)如果这种地砖板每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？图3－3－5解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室1的面积即是所铺地板砖的面积．列式为：5b·5a－(5b－3b)·(5a－3a)－(5a－3a)·2b，化简得17ab，即他至少需要17ab平方米的地板砖．(2)所花钱数：17ab×m＝17abm(元)．18．运用平方差公式计算：(1)31×29；(2)498×502.解：(1)31×29＝(30＋1)×(30－1)＝900－1＝899；(2)498×502＝(500－2)×(500＋2)＝5002－22＝249996.19．[2012·无锡]计算：3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)．解：原式＝3x2＋6－3(x2—1) ＝3x2＋6－3x2＋3＝9.20．(1)[2012·遵义]已知x ＋ y ＝－5 ，xy ＝6，则x 2 ＋y 2＝__13__.(2)若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2＋y 2＝__7__，x 2－xy ＋y 2＝__6__．(3)[2012·江西]已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2＝__5__．(4)已知ab ＝－1，a ＋b ＝2，则代数式b a ＋a b 的值为__－6__.(5)已知x ＋1x ＝3，则代数式x 2＋1x 2的值为__7__.(6)已知a －b ＝1，ab ＝6，则a 2＋b 2＝__13__．21．有两个正方形的边长的和为20 cm ，面积的差为40 cm 2.求这两个正方形的面积分别是多少？解：设这两个正方形的边长分别为x cm ，y cm(x >y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20， ①x 2－y 2＝40， ②由②得(x ＋y )(x －y )＝40，∴x －y ＝2. ③由①③得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝9，故这两个正方形的面积分别为121 cm 2，81 cm 2.22．[2012·泉州]先化简，再求值：(x ＋3)2＋(2＋x )(2－x )，其中x ＝－2. 解：原式＝x 2＋6x ＋9＋4－x 2 ＝ 6x ＋13.当x ＝－2时，原式＝6×(－2)＋13＝1.23．[2011·衡阳]先化简，再求值：(x ＋1)2＋x (x －2)，其中x ＝－12.解：原式＝x 2＋2x ＋1＋x 2－2x ＝2x 2＋1，当x ＝－12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝12＋1＝32.24．[2011·绍兴]先化简，再求值：a (a －2b )＋2(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2，其中a ＝－12，b ＝1.解：a (a －2b )＋2(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2＝4a 2－b 2，当a ＝－12，b ＝1时，原式＝0.25．如果a －b ＝5，ab ＝32，求a 2＋b 2和(a ＋b )2的值．解：a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝52＋2×32＝25＋3＝28；(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab＝52＋4×32＝25＋6＝31. 26．如果a (a －1)＋(b －a 2)＝－7，求a 2＋b 22－ab 的值．解：∵a (a －1)＋(b －a 2)＝－7，∴a 2－a ＋b －a 2＝－7，∴b －a ＝－7，∴a －b ＝7，∴a 2＋b 22－ab ＝（a －b ）22＝722＝492. 27．计算：(1)(x 2y )5÷(x 2y )2；(2)(a 10÷a 2)÷a 3；(3)a 2·a 5÷a 5.解：(1)原式＝(x 2y )3＝x 6y 3；(2)原式＝a 8÷a 3＝a 5；(3)原式＝a 7÷a 5＝a 2.28．求值：(1)已知5m ＝6，5n ＝3，求5m －n 的值；(2)若2x ＝3，4y ＝5，求2x －2y 的值；(3)若10m ＝20，10n ＝15，求9m ÷32n 的值．解：(1)5m －n ＝5m ÷5n ＝6÷3＝2；(2)2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y＝35；(3)∵10m ÷10n ＝10m －n ＝20÷15＝100， ∴m －n ＝2.∴9m ÷32n ＝32(m －n )＝34＝81.29．[2012·威海]计算：(2－3)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝__－56__. 30．用科学记数法表示下列各数：0．00001；0.00002；0.000000567；0.000000301.解：0.00001＝10－5；0．00002＝2×10－5；0．000000567＝5.67×10－7；0．000000301＝3.01×10－7.31．计算：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋2－1－20130； (2)[2012·义乌]|－2|＋(－1)2012－(π－4)0；(3)||－2＋(－1)2012×(π－3)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(－2)－2. 解：(1)原式＝12＋12－1＝0.(2)原式＝2＋1－1＝2.(3)原式＝2＋1×1－2＋14 ＝54.32．已知x 2－7x ＋1＝0，求x 2＋x －2的值．解：因为x 2－7x ＋1＝0，所以x ≠0，则等式两边都除以x ，得x －7＋x －1＝0，即x ＋x －1＝7，所以(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝49，所以x 2＋x －2＝47.33．计算：(1)(－24x 2y 3)÷(－8y 3)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2y －xy 2＋12xy ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy . 解：(1)原式＝3x 2；(2)原式＝－6x ＋2y －1.34．计算：(1)16x 3y 3÷12x 2y 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy 3； (2)(－ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25a 2b －12a 3b 2－16a 4b 3÷(－0.5a 2b )； (3)[(x 2＋y 2)－(x －y )2＋2y (x －y )]÷4y .解：(1)原式＝32x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xy 3 ＝－16x 2y 3.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－0.25a 3b 2＋12a 4b 3＋16a 5b 4 ÷(－0.5a 2b )＝12ab －a 2b 2－13a 3b 3.(3)原式＝(x 2＋y 2－x 2＋2xy －y 2＋2xy －2y 2)÷4y＝(4xy －2y 2)÷4y＝x －12y .35．先化简，再求值：[(x ＋3y )(x －3y )－(x ＋3y )2]÷4y ，其中x ＝6，y ＝2.解：[(x ＋3y )(x －3y )－(x ＋3y )2]÷4y＝(x 2－9y 2－x 2－6xy －9y 2)÷4y＝(－6xy －18y 2)÷4y＝－32x －92y .当x ＝6，y ＝2时，原式＝－32×6－92×2＝－9－9＝－18.36．先化简，再求值：(a 2b 2－2ab 3－b 4)÷b 2－(a ＋b )(a －b )，其中a ＝12，b ＝－1.解：原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－b 2)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab ，当a ＝12，b ＝－1时，原式＝－2×12×(－1)＝1.37．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－2－2－()π－20130＋||－1.解：原式＝2－14－1＋1＝74.38．[2012·南宁]芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约重0.00000201千克，用科学记数法表示为( A ) A ．2.01×10－6千克B ．0.201×10－5千克C ．20.1×10－7千克D ．2.01×10－7千克39．已知x ＋1x ＝4，求：(1)x 2＋1x 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16， 即x 2＋1x 2＋2·x ·1x ＝16， ∴x 2＋1x 2＝14. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2＝12.。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)精选全文
可编辑修改精选全文完整版整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
完整版)整式的乘除典型例题
完整版)整式的乘除典型例题1.若 $a=8$，$m+n=16$，则 $a=\frac{m+n}{n}=2$。
2.已知 $2m=3$，$2n=4$，则$23m+2n=23\times\frac{3}{2}+2\times2=19$。
3.若 $\frac{xy}{2x+5y}=4$，则 $xy=8x+20y$。
4.若 $a>5$，且 $a=2$ 或 $a=3$，则 $ax-y$ 的值为 $2^{x-y}$ 或 $3^{x-y}$。
5.已知 $x^8\times x^a=x^3a$，则 $a=5-3m$。
6.若 $a^{m+1}b^{n+2}\times a^{2n-1}b=a^5b^3$，则$m+n=3$。
7.若 $2a=5$，$2b=3$，$2c=45$，则 $a=\frac{5}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，$c=15$。
8.若 $\frac{x-m}{x^2+x+a}=1$，则 $m=-\frac{a}{4}$，$a=12$。
9.若 $abc^2=5$，$2=3$，$2=30$，则$a=\frac{1}{\sqrt{15}}$，$b=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=1$。
10.比较 $5$ 和 $\frac{24}{25}$ 的大小，$8$ 和$\frac{2514}{1000}$ 的大小。
11.计算$\frac{2011}{3}-\frac{1}{2}\times\frac{2012}{3}$。
12.计算 $\frac{-1}{8}\times2$，$1990\times\frac{3980}{825n}$。
13.若 $a+b=2013$，$a-b=1$，则 $a^2-b^2=2012\times2014$。
14.计算 $1232-\frac{124\times122}{2}$，$899\times901+1$。
15.计算 $\frac{2x+1}{2x-1}\times\frac{4x+1}{x^2+2x+1}\times\frac{2}{(x+2)^3}$。
(完整版)整式的乘除较难题.doc
整式的乘除较难题1、解答：有些大数可以通用字母代替数化成整式来解决，先下面的解程，再解答后面的．例：若 x=123456789 123456786×， y=123456788 123456787×，比x、 y 的大小．解： 123456788=a，那么 x=（ a+1）（ a-2） =a2-a-2， y=a（ a-1） =a2-a.∵x-y= （ a2-a-2） -（ a2-a） =-2 ＜ 0∴ x＜ y看完后，你学到了种方法再自一吧，你准行！：算 1.345 0×.345 2×.69-1.3453-1.3450.3452 ×解： 1.345=x ，那么：原式 =x （ x-1 ） ?2x-x3-x（ x-1）2，=（ 2x3-2x2） -x3-x（ x2-2x+1 ）， =2x 3-2x2-x3-x3+2x 2-x，=-1.345 ．4、我把符号“ n!”作“n的乘”，定“其中n自然数，当n≠0 ，n!=n?（ n-1） ?（ n-2）⋯ 2?1，当 n=0 ， 0!=1 ”．例如： 6!=6 ×5×4×3×2×1=720 ．又定“在含有乘和加、减、乘、除运算，先算乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”．按照以上的定和运算序，算：（ 1） 4!=；（2）（3+2）!-4!=；（ 3）用具体数一下，看看等式（m+n） !=m!+n! 是否成立？12.小明和小平是思考的学生，他在学《整式的运算》一章，有些整式乘法果很有特点，例如：（ x-1）（ x2+x+1 ） =x 3-1，（ 2a+b）（4a2-2ab+b2） =8a3+b3，小明：“ 些整式乘法左都是一个二式跟一个三式相乘，右是一个二式”，小：“是啊！而且右都可以看成是某两的立方的和（或差）”小明：“ 有，我左那个二式和最后的果有点像”小：“ 啊，我也左那个三式好像是个完全平方式，不，又好像不是，中不是两的 2 倍””小明：“二式中的符号、三式中的符号和右果中的符号也有点系⋯的同学，你能参与到他的中并找到相的律？（ 1）能否用字母表示你所的律？（ 2）你能利用上面的律来算（-x-2y ）（ x2-2xy+4y 2）？2、一个式加上多式9（ x-1 ）2-2x-5 后等于一个整式的平方，求所有的式．3、化：（ 1）；（ 2）多式x2-xy 与另一个整式的和是2x2 +xy+3y 2，求一个整式解：（1）原式 =2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2）（2x 2+xy+3y 2） -（ x2 -xy ）=2x 2+xy+3y 2-x2+xy=x 2+2xy+ 3y2．∴个整式是x2+2xy+ 3y2．点：（ 1）关是去括号．① 按5、，求整式的．6、已知整式2x2+ax-y+6 与整式2bx2-3x+5y-1 的差与字母x 的无关，求代数式 2 （ab2+2b3-a2b）+3a2-（ 2a2b-3ab2-3a2）的．解：（ 2x2+ax-y+6 ）-（ 2bx2-3x+5y-1 ）=2x 2+ax-y+6-2bx 2 +3x-5y+1= （ 2-2b）x2+（ a+3）x-6y+7 ，因它的差与字母x 的取无关，所以2-2b=0， a+3=0，解得 a=-3， b=1．2（ ab2+2b 3-a2b） +3a2-（ 2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b 3=6×（ -3）2-4 ×（ -3）2×1+5 ×（ -3）×1+4 ×1=7 ．8。
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整式的乘除难题解析
测试 1 积的乘方
若 2n ＝ a ， 3n ＝ b ，则 6n ＝ ______．
二、选择题
52009× (－ 0.2)2010．
(
1
) 5 67 ( 1
)6 .
3 2
若 (9x 2 )3
(1
)8 4 ，求 x 3 的值．
3
比较 216
× 310
与 210× 314
的大小．
若
3
x ＋
1 ·
2x －
3x ·
2
x ＋
1＝ 22· 32，求
x ．
测试 2 整式的乘法 (一 )
已知 x 3a ＝3，则 x 6a ＋ x 4a · x 5a ＝______．
下列各题中，计算正确的是 ( )．
(A)( －m 3)2(－ n 2)3＝ m 6n 6 (B)( － m 2n)3(－ mn 2)3＝－ m 9n 9 (C)( －m 2n)2 (－ mn 2)3＝－ m 9n 8
(D) ［ (－ m 3)2(－ n 2)3]3 ＝－ m 18n 18
若 x ＝ 2m ＋ 1， y ＝ 3＋4m ； (1)请用含 x 的代数式表示 y ；(2) 如果 x ＝ 4，求此时 y 的值．
测试 3 同底数幂的乘法
2
3·
2
(______) ＝
256；
若 2m ＝6， 2n ＝ 5，则 2m ＋
n ＝ ______．
25× 54－ 125× 53 ． (－2) 2009＋( －2) 2010．
(－ a)n 与－ a n 相等吗 ?(a － b)n 与 (b － a)n 相等吗 ?
根据以上结论计算① (m － 2n) 4· (2n －m)2；② (m － n)4·( n － m)3．
测试 4 幂的乘方
若( a3)x·a＝ a19，则 x＝ _______．已知 a3n＝ 5，那么 a6n＝ ______．
若 16x＝ 216，求 x 的值；若(9a)2＝38，求a的值．
若10 ＝2， 10 ＝ 3，求 102＋3的值；若 2x＋ 5y－ 3＝0，求 4x· 32y的值．比较大小： 3555， 4444， 5333．
测试 5整式的乘法(二)
要使 x(x＋ a)＋ 3x－2b＝ x2＋ 5x＋ 4 成立，则a， b 的值分别是 ()．
(A) a＝－ 2， b＝－ 2(B) a＝ 2， b＝2
(C)a＝ 2， b＝－ 2(D) a＝－ 2， b＝ 2
通过对代数式进行适当变化求出代数式的值
(1)若 x＋ 5y＝ 6，求 x2＋5xy＋ 30y；
(2)若 m2＋ m－ 1＝ 0，求 m3＋2m2＋ 2009；
测试 6整式的乘法(三)
先化简，再求值：4x(y－ x)＋(2x＋y)(2x－ y)，其中 x＝1
，y＝－ 2．2
在( x2＋ ax＋ b)(2x2－3x－ 1)的积中， x3项的系数是－5， x2项的系数是－ 6，求 a、 b．已知 (x2＋px＋ 8)(x2－3x＋ q)的展开式中不含x2和 x3项，求 p、 q 的值．
23．回答下列 ：
(1) 算：① (x ＋ 2)(x ＋ 3)＝________；② (x ＋ 3)(x ＋ 7)＝ ______；
③ (a ＋ 7)(a － 10)＝ _______；④ ( x －5)( x －6)＝ ______．
(2)由 (1) 的 果，直接写出下列 算的 果：
① (x ＋ 1)(x ＋ 3)＝ ______； ②(x －2)(x －3)＝ ______； ③ (x ＋ 2)(x － 5)＝ ______； ④ (m
1
)(m
1
) ＝ ______．
2 3
(3) 公式： (x ＋ a)( x ＋b)＝ ____________ ． (4)已知 a ， b ， m 均 整数，且
(x ＋ a)(x ＋ b)＝ x 2＋ mx ＋ 36，求 m 的所有可能 ．
测试 7 平方差公式
下列各式中能使用平方差公式的是
( )．
(A)( x 2－ y 2 )(y 2＋ x 2)
(B) ( 1 m
2
1 n 3 )( 1 m 2
1 n 3
)
2
5 2
5
(C)(－ 2x － 3y)(2x ＋ 3y)
(D)(4 x － 3y)(－ 3y ＋ 4x) 下面 算 (－ 7＋a ＋ b)(－ 7－ a － b)正确的是 (
)．
(A) 原式＝ (－7＋ a ＋ b)[ － 7－ (a ＋ b)] ＝－ 72－ (a ＋ b)2 (B) 原式＝ (－7＋ a ＋ b)[ － 7－(a ＋b)] ＝72＋( a ＋ b)2 (C) 原式＝ [ －(7－ a － b)][ － (7＋ a ＋ b)] ＝ 72－ (a ＋ b)2
(D) 原式＝ [ －(7＋ a)＋ b][ － (7＋ a)－ b]＝ (7＋ a)2－ b 2
(a ＋ 3)(a 2＋ 9)(a － 3)的 算 果是 ( )．
(A) a 4＋ 81
(B) －a 4 －81
(C) a 4 －81
(D)81 － a 4
巧算： (1) (1 1
1
1 1 1
;
2 )(1
2 2
)(1
24
)(1
28
)
215
(2)(3＋ 1)(32 ＋ 1)(34＋ 1)(38＋ 1)⋯ ( 32n ＋ 1)．
已知： x ， y 正整数，且
4x 2－ 9y 2＝ 31，你能求出 x ， y 的 ? 一 ．
测试 8 完全平方公式
回答下列问题：(1) 填空： x2 1
( x 1 )2 ______＝( x 1 )2 ______．x2 x x
(2) 若 a 1 5 ，则 a2 1 的值是多少 ?
a a2
(3) 若 a2－ 3a＋ 1＝ 0，则a2 1 的值是多少 ?
a2
若x2－2x＋ 10＋ y2＋6y＝ 0，求 (2x－ y)2的值．
若a4＋ b4＋ a2b2＝ 5， ab＝2，求 a2＋ b2的值．
29．若△ ABC 三边 a，b， c 满足 a2＋b2＋ c2＝ ab＋ bc＋ca，试问△ ABC 的三边有何关系? 测试 9 同底数幂的除法
(1) 已知
m n m－n
的值．
m n m－ n
10 ＝ 3， 10 ＝ 2，求 102 (2) 已知 32 ＝6， 9 ＝ 8，求 36 4的值．
学校图书馆藏书约 3.6× 104册，学校现有师生约 1.8× 103人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅多少册图书 ?
若2x＝ 3，2y＝ 6， 2z＝ 12，求 x， y， z 之间的数量关系．
若( a－ 1)a＝1，求 a 的值．
测试 10整式的除法(一)
2 b2，求m，n的值．
若 8a3b m 28a n b2
7
已知 x2＝ x＋ 1，求代数式x5－5x＋ 2 的值．
测试 11 整式的除法 (二)
1
， b＝－ 1 时，求 (a2b－ 2ab2－ b3) ÷b－ (a＋ b)(a－ b)的值．当 a
2。