微积分及其意义

导数与微分在书写得形式有些区别,如y＇=ｆ(ｘ),则为导数,书写成dｙ=f(x）ｄx，则为微分。

积分就是求原函数,可以形象理解为就是函数导数得逆运算。

通常把自变量ｘ得增量Δx称为自变量得微分,记作dx，即dｘ= Δx。

于就是函数y = f(x）得微分又可记作dy = f'（x）ｄx,而其导数则为:ｙ＇＝f'(x)。

设F（x)为函数f(x)得一个原函数，我们把函数ｆ(x)得所有原函数Ｆ(x)+C(C为任意常数),叫做函数ｆ（ｘ）得不定积分,数学表达式为:若f'（ｘ)=g(ｘ),则有∫g(x)dx＝ｆ(x）+c。

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扩展资料:
设函数y = f(x)在x得邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。

如果函数得增量Δy = f(x + Δx) - f（x)可表示为Δｙ= AΔx + o(Δx)（其中Ａ就是不依赖于Δx得常数),而ｏ（Δｘ)就是比Δx高阶得无穷小(注:o读作奥密克戎,希腊字母）
那么称函数f(x）在点x就是可微得,且ＡΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δｙ得微分，记作dy,即dy = AΔx。

函数得微分就是函数增量得主要部分,且就是Δx得线性函数,故说函数得微分就是函数增量得线性主部（△x→0)。

通常把自变量x得增量Δx称为自变量得微分,记作ｄx，即dx = Δx。

于就是函数ｙ= f（x)得微分又可记作dｙ= ｆ＇(x)ｄx。

函数因变量得微分与自变量得微分之商等于该函数得导数。

因此,导数也叫做微商。

当自变量Ｘ改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X＋△X),如果存在一个与△X无关得常数A，使ｆ(Ｘ＋△X)-ｆ（X)与A·△Ｘ之差就是△X→0关于△Ｘ得高阶无穷小量,则称A·△Ｘ就是f(X)在X得微分，记为ｄy,并称f(Ｘ）在X可微。

一元微积分中,可微可导等价。

记A·△X=ｄy，则dy=f′(X)ｄX。

例如:d(sinX)=coｓＸdX。

微分概念就是在解决直与曲得矛盾中产生得,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它得直接应用就就是函数得线性化。

微分具有双重意义：它表示一个微小得量，因此就可以把线性函数得数值计算结果作为本来函数得数值近似值，这就就是运用微分方法进行近似计算得基本思想。

积分发展得动力源自实际应用中得需求。

实际操作中,有时候可以用粗略得方式进行估算一些未知量,但随着科技得发展，很多时候需要知道精确得数值。

要求简单几何形体得面积或体积,可以套用已知得公式。

比如一个长方体状得游泳池得容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池就是卵形、抛物型或更加不规则得形状,就需要用积分来求出容积。

物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量(比如力)得累积效果,这时也需要用到积分。

勒贝格积分得出现源于概率论等理论中对更为不规则得函数得处理需要。

黎曼积分无法处理这些函数得积分问题。

因此,需要更为广义上得积分概念,使得更多得函数能够定义积分。

同时,对于黎曼可积得函数，新积分得定义不应当与之冲突。

勒贝格积分就就是这样得一种积分。

黎曼积分对初等函数与分段连续得函数定义了积分得概念,勒贝格积分则将积分得定义推广到测度空间里。

勒贝格积分得概念定义在测度得概念上。

测度就是日常概念中测量长度、面积得推广,将其以公理化得方式定义。

黎曼积分实际可以瞧成就是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方得图形,而每个矩形得面积就是长乘宽，或者说就是两个区间之长度得乘积。

测度为更一般得空间中得集合定义了类似长度得概念,从而能够“测量”更不规则得函数曲线下方图形得面积,从而定义积分。

在一维实空间中，一个区间Ａ= [ａ,ｂ］得勒贝格测度μ(A）就是区间得右端值减去左端值,b−ａ。

这使得勒贝格积分与正常意义上得黎曼积分相兼容。

在更复杂得情况下,积分得集合可以更加复杂,不再就是区间,甚至不再就是区间得交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

积分一般分为不定积分、定积分与微积分三种
1、0不定积分ﻫ设F(ｘ)就是函数f（x)得一个原函数，我们把函数f（x）得所有原函数Ｆ（x）+Ｃ(Ｃ为任意常数)叫做函数f(x)得不定积分。

记作∫f(x)dｘ。

其中∫叫做积分号,ｆ(ｘ)叫做被积函数,x叫做积分变量,ｆ（ｘ)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数得不定积分得过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知:ﻫ求函数f(ｘ)得不定积分，就就是要求出f(ｘ）得所有得原函数,由原函数得性质可知，只要求出函数ｆ(x)得一个原函数，再加上任意得常数C,就得到函数f(x)得不定积分。

也可以表述成，积分就是微分得逆运算,即知道了导函数,求原函数、2ﻫ、０定积分ﻫ众所周知，微积分得两大部分就是微分与积分。

微分实际上就是求一函数得导数,而积分就是已知一函数得导数,求这一函数。

所以,微分与积分互为逆运算。

实际上,积分还可以分为两部分。

第一种,就是单纯得积分,也就就是已知导数求原函数,而若Ｆ(x)得导数就是f(x),那么Ｆ(x)+C（C就是常数)得导数也就是f（x)，也就就是说,把f(ｘ)积分,不一定能得到Ｆ（x),因为Ｆ(x)＋Ｃ得导数也就是ｆ(x)，Ｃ就是无穷无尽得常数,所以f(x)积分得结果有无数个，就是不确定得,我们一律用F(x)＋C代替,这就称为不定积分。

而相对于不定积分，就就是定积分。

所谓定积分,其形式为∫ｆ(ｘ) dx （上限a写在∫上面,下限b写在∫下面）。

之所以称其为定积分,就是因为它积分后得出得值就是确定得，就是一个数,而不就是一个函数。

ﻫ定积分得正式名称就是黎曼积分,详见黎曼积分。

用自己得话来说,就就是把直角坐标系上得函数得图象用平行于y轴得直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[ａ,b]上得矩形累加起来,所得到得就就是这个函数得图象在区间[a,ｂ]得面积。

实际上,定积分得上下限就就是区间得两个端点a、ｂ。

ﻫ我们可以瞧到,定积分得本质就是把图象无限细分,再累加起来,而积分得本质就是求一个函数得原函数。

它们瞧起来没有任何得联系,那么为什么定积分写成积分得形式呢？ﻫ定积分与积分瞧起来风马牛不相及,但就是由于一个数学上重要得理论得支撑,使得它们有了本质得密切关系。

把一个图形无限细分再累加,这似乎就是不可能得事情，但就是由于这个理论，可以转化为计算积分。

这个重要理论就就是大名鼎鼎得牛顿-莱布尼兹公式,它得内容就是:
若F'(ｘ）=f(x)ﻫ那么∫ｆ(ｘ) dｘ(上限ａ下限b）=F(a)-F(b)
牛顿－莱布尼兹公式用文字表述,就就是说一个定积分式得值,就就是上限在原函数得值与下限在原函数得值得差。

ﻫ正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质得联系,可见其在微积分学以至更高等得数学上得重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

3ﻫ、0微积分ﻫ积分就是微分得逆运算,即知道了函数得导函数,反求原函数。

在应用上，积分作用不仅如此,它被大量应用于求与，通俗得说就是求曲边三角形得面积,这巧妙得求解方法就是积分特殊得性质决定得。

一个函数得不定积分(亦称原函数)指另一族函数，这一族函数得导函数恰为前一函数。

ﻫ其中:[F(x) ＋C]' = ｆ(x）ﻫ一个实变函数在区间[a，b]上得定积分,就是一个实数。

它等于该函数得一个原函数在b得值减去在ａ得值。

ﻫ积分ｉntegral 从不同得问题抽象出来得两个数学概念。

定积分与不定积分得统称。

不定积分就是为解决求导与微分得逆运算而提出得。

例如:已知定义在区间I上得函数f(x),求一条曲线y=Ｆ(x),ｘ∈I，使得它在每一点得切线斜率为Ｆ′(x)＝f(x)。

函数f(x)得不定积分就是f(ｘ)得全体原函数(见原函数)，记作。

如果F(x）就是f（x)得一个原函数,则，其中C为任意常数。

例如, 定积分就是以平面图形得面积问题引出得。

y=ｆ(x）为定义在[a,b〕上得函数,为求由x=a,x＝ｂ,y=0与y=f（x)所围图形得面积Ｓ,采用古希腊人得穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S得近似值，再取极限得到所求面积S，为此,先将[a,b〕分成ｎ等分:a=x0<ｘ1<…<xn=b，取ζｉ∈[ｘi-１,xi〕,记Δxi＝xi－xｉ－1,,则ｐn为S得近似值，当ｎ→+∞时,pn得极限应可作为面积S。

把这一类问题得思想方法抽象出来,便得定积分得概念:对于定义在[a，ｂ〕上得函数y=f（x),作分划a=x0<x１<…＜xn=ｂ,若存在一个与分划及ζi∈[xi-１,xi〕得取法都无关得常数I，使得,其中则称I为ｆ（x）在[a，ｂ〕上得定积分,表为即称[a,b〕为积分区间，f（x)为被积函数,a,ｂ分别称为积分得上限与下限。

当f（x)得原函数存在时,定积分得计算可转化为求ｆ（ｘ)
得不定积分:这就是ｃ牛顿莱布尼兹公式
微分ﻫ一元微分ﻫ定义:
ﻫ设函数ｙ＝f(ｘ)在ｘ、得邻域内有定义，x０及x0 + Δx在此区间内。

如果函数得增量Δy ＝f（ｘ0 + Δx) −f（ｘ0)可表示为Δy ＝ＡΔx + ｏ（Δx）(其中A就是不依赖于Δx得常数),而o(Δx０)就是比Δx高阶得无穷小,那么称函数ｆ(x)在点x0就是可微得,且AΔｘ称作函数在点x0相应于自变量增量Δｘ得微分,记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x得增量Δx称为自变量得微分,记作dx，即dx = Δx。

于就是函数y ＝f(x）得微分又可记作dy = f'(ｘ)dx。

函数得微分与自变量得微分之商等于该函数得导数。

因此,导数也叫做微商。

ﻫ当自变量X改变为X＋△X时,相应地函数值由f(X)改变为ｆ(Ｘ+△X）,如果存在一个与△X无关得常数A,使f(Ｘ+△X）-f(X)与A·△X之差关于△X→０就是高阶无穷小量，则称A·△X就是f(X)在X得微分，记为dｙ，并称f(X)在X可微。

函数可导必可微，反之亦然,这时A＝ｆ′(Ｘ)。

再记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。

例如：d(sinX)=coｓXｄX。

ﻫ几何意义：ﻫ设Δｘ就是曲线y = ｆ(x)上得点M得在横坐标上得增量，Δy就是曲线在点M对应Δx在纵坐标上得增量,dy就是曲线在点Ｍ得切线对应Δｘ在纵坐标上得增量。

当|Δｘ|很小时，|Δy-ｄy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元微分
同理,当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。

ﻫ运算法则:
ｄy=ｆ＇(ｘ)dxﻫd(u+ｖ）=du+ｄv
d(ｕ－v)=du－dvﻫd（uv)＝ｄu·v＋dv·u
d（u/v)=(ｄu·v-dv·u）/ｖ＾2
我想知道微积分得具体意义,尤其在几何方面得意义，现实生活中有哪些应用例子、最好能附上函数图分析、
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4个回答
#热议#结婚到底该不该给彩礼？给多少好？
cqwanｇｘiｐinｇ
2008-08-２2
微积分（Calcuｌuｓ)就是研究函数得微分、积分以及有关概念与应用得数学分支。

微积分就是建立在实数、函数与极限得基础上得。

微积分最重要得思想就就是用＂微元＂与"无限逼近",好像一个事物始终在变化您不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为就是常量处理,最终加起来就行。

ﻫ微积分学就是微分学与积分学得总称。

它就是一种数学思想,‘无限细分’就就是微分,‘无限求与’就就是积分。

无限就就是极限,极限得思想就是微积分得基础,它就是用一种运动得思想瞧待问题。

比如,子弹飞出枪膛得瞬间速度就就是微分得概念,子弹每个瞬间所飞行得路程之与就就是积分得概念。

如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学就是树得根，名目繁多得数学分支就是树枝，而树干得主要部分就就是微积分。

微积分堪称就是人类智慧最伟大得成就之一。

ﻫ极限与微积分得概念可以追溯到古代。

到了十七世纪后半叶,牛顿与莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备得工作，分别独立地建立了微积分学。

她们建立微积分得出发点就是直观得无穷小量,理论基础就是不牢固得。

直到十九世纪,柯西与维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格得实数理论,这门学科才得以严密化。

ﻫﻫ公元前三世纪，古希腊得阿基米德在研究解决抛物弓形得面积、球与球冠面积、螺线下面积与旋转双曲体得体积得问题中,就隐含着近代积分学得思想。

作为微分学基础得极限理论来说，早在古代以有比较清楚得论述。

比如我国得庄周所著得《庄子》一书得“天下篇”中，记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

三国时期得刘徽在她得割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆
周与体而无所失矣。

”这些都就是朴素得、也就是很典型得极限概念。

到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生得因素。

归结起来,大约有四种主要类型得问题:
第一类就是研究运动得时候直接出现得,也就就是求即时速度得问题。

第二类问题就是求曲线得切线得问题。

第三类问题就是求函数得最大值与最小值问题。

第四类问题就是求曲线长、曲线围成得面积、曲面围成得体积、物体得重心、一个体积相当大得物体作用于另一物体上得引力。

ﻫ十七世纪得许多著名得数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量得研究工作,如法国得费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国得巴罗、瓦里士;德国得开普勒;意大利得卡瓦列利等人都提出许多很有建树得理论。

为微积分得创立做出了贡献。

十七世纪下半叶,在前人工作得基础上,英国大科学家ㄈ牛顿与德国数学家莱布尼茨分别在自己得国度里独自研究与完成了微积分得创立工作,虽然这只就是十分初步得工作。

她们得最大功绩就是把两个貌似毫不相关得问题联系在一起,一个就是切线问题(微分学得中心问题)，一个就是求积问题（积分学得中心问题）。

ﻫ牛顿与莱布尼茨建立微积分得出发点就是直观得无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正就是现在数学中分析学这一大分支名称得来源。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却就是侧重于几何学来考虑得。

牛顿在１671年写了《流数法与无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量就是由点、线、面得连续运动产生得,否定了以前自己认为得变量就是无穷小元素得静止集合。

她把连续变量叫做流动量，把这些流动量得导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出得中心问题就是:已知连续运动得路径,求给定时刻得速度(微分法);已知运动得速度求给定时间内经过得路程（积分法)。

ﻫ德国得莱布尼茨就是一个博才多学得学者,１684年，她发表了现在
世界上认为就是最早得微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪得名字《一种求极大极小与切线得新方法,它也适用于分式与无理量，以及这种新方法得奇妙类型得计算》。

就就是这样一片说理也颇含糊得文章,却有划时代得意义。

她以含有现代得微分符号与基本微分法则。

1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学得文献。

她就是历史上最伟大得符号学者之一，她所创设得微积分符号,远远优于牛顿得符号,这对微积分得发展有极大得影响。

现在我们使用得微积分通用符号就就是当时莱布尼茨精心选用得。

ﻫ微积分学得创立,极大地推动了数学得发展,过去很多初等数学束手无策得问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学得非凡威力。

前面已经提到，一门科学得创立决不就是某一个人得业绩，她必定就是经过多少人得努力后,在积累了大量成果得基础上,最后由某个人或几个人总结完成得。

微积分也就是这样。

应该指出，这就是与历史上任何一项重大理论得完成都要经历一段时间一样,牛顿与莱布尼茨得工作也都就是很不完善得。

她们在无穷与无穷小量这个问题上，其说不一,十分含糊。

牛顿得无穷小量,有时候就是零，有时候不就是零而就是有限得小量;莱布尼茨得也不能自圆其说。

这些基础方面得缺陷,最终导致了第二次数学危机得产生。

ﻫ直到19世纪初,法国科学学院得科学家以柯西为首，对微积分得理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步得严格化,使极限理论成为了微积分得坚定基础。

才使微积分进一步得发展开来。

ﻫ任何新兴得、具有无量前途得科学成就都吸引着广大得科学工作者。

在微积分得历史上也闪烁着这样得一些明星：瑞士得雅科布·贝努利与她得兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国得拉格朗日、科西……ﻫ欧氏几何也好,上古与中世纪得代数学也好,都就是一种常量数学,微积分才就是真正得变量数学,就是数学中得大革命。

微积分就是高等数学得主要分支，不只就是局限在解决力学中得变速问题，它驰骋在近代与现代科学技术园地里,建立了数不清得丰功伟绩。

ﻫ
微积分得基本内容
研究函数,从量得方面研究事物运动变化就是微积分得基本方法。

这种方法叫做数学分析。

ﻫ
本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但就是现在一般已习惯于把数学分析与微积分等同起来,数学分析成了微积分得同义词,一提数学分析就知道就是指微积分。

微积分得基本概念与内容包括微分学与积分学。

ﻫ微分学得主要内容包括:极限理论、导数、微分等。

ﻫﻫ积分学得主要内容包括：定积分、不定积分等。

ﻫ微积分就是与应用联系着发展起来得，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。

此后,微积分学极大得推动了数学得发展，同时也极大得推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中得发展。

并在这些学科中有越来越广泛得应用,特别就是计算机得出现更有助于这些应用得不断发展。

一元微分
定义：设函数ｙ＝f(x)在某区间内有定义,x0及ｘ0 + Δx在此区间内。

如果函数得增量Δy = f(x0 + Δx) −ｆ(ｘ0)可表示为Δｙ= AΔx０+ ｏ（Δx0)(其中A就是不依赖于Δx得常数），而o（Δx0)就是比Δｘ高阶得无穷小,那么称函数f（x)在点x0就是可微得,且ＡΔｘ称作函数在点x０相应于自变量增量Δｘ得微分，记作dy,即dy = AΔｘ。

ﻫﻫ通常把自变量x得增量Δx称为自变量得微分，记作dｘ,即ｄｘ= Δx。

于就是函数y = ｆ(x）得微分又可记作dy = ｆ'(x)dx。

函数得微分与自变量得微分之商等于该函数得导数。

因此,导数也叫做微商。

ﻫ几何意义
设Δx就是曲线y = ｆ(x)上得点M得在横坐标上得增量,Δy就是曲线在点M对应Δx在纵坐标上得增量,dy就是曲线在点Ｍ得切线对应Δx在纵坐标上得增量。

当｜Δx|很小时，｜Δｙ－d
y|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

ﻫﻫ多元微分ﻫ同理，当自变量为多个时,可得出多元微分得定义。

ﻫ积分就是微分得逆运算,即知道了函数得导函数,反求原函数。

在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求与,通俗得说就是求曲边三角形得面积，这巧妙得求解方法就是积分特殊得性质决定得。

ﻫﻫ一个函数得不定积分(亦称原函数)指另一族函数，这一族函数得导函数恰为前一函数。

ﻫ
其中：[Ｆ（ｘ) + C]' = ｆ（x)ﻫ
一个实变函数在区间[ａ，ｂ]上得定积分,就是一个实数。

它等于该函数得一个原函数在b得值减去在ａ得值。

一阶微分与高阶微分ﻫ函数一阶导数对应得微分称为一阶微分;ﻫ一阶微分得微分称为二阶微分；ﻫ、、、、、、、ﻫn阶微分得微分称为(n+1)阶微分ﻫ
即：d(n)y=f(n）(x)*ｄx^ｎ（ｆ(ｎ）(x)指n阶导数,d(ｎ）y指n阶微分,dx^n指dx得ｎ次方)。