实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B -.
2.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是
3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)）
（b a , G (ii),a G b G ∉∉
4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数)
5.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -.
6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()
()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值 存在且
|()|f x 在E 上 L 可积.（填“一定”“不一定”）
8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有
二、选择题
1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）
A 1mE =
B 0mE =
C E 是2R 中闭集
D
E 是2R 中完备集
2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）
A 、()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集
B 、()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集
C 、()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集
D 、()()
E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集
3．下列集合关系成立的是（ ）
A 、(\)A
B B A B = B 、(\)A B B A =
C 、(\)B A A A ⊆
D 、\B A A ⊆
4. 若()
n E R ⊆是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ⊆ B 、E 的开核E = C 、E E = D 、E 的导集E =
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（ ）
A ()f x 在[],a b 上黎曼可积
B ()f x 在[],a b 上可测
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上不一定连续
2. 设{[0,1]}E =中的无理点,则( )
A 、E 是可数集
B 、E 是闭集
C 、E 中的每个点均是聚点
D 、0m
E >
3. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（ ）
A 、*m E 可以等于０
B 、*
0m E = C 、E 可能是可数集 D 、E 不可能是可数集
4．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ ）
A 、[,]a b 上的符号函数 C 、E 上的连续函数
B 、[,]a b 上的可测函数 D 、[,]a b 上的连续函数
四、判断题
1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）
2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）
3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）
4. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ ）
五、定义题
1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
3. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
4. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
六、计算题
7. 设()[]3sin 0,1\x x P f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求
()[]0,1f x dx ⎰.
8. 求()()
0,ln lim cos x n n x n e xdx n -→∞+⎰.
七、证明题
1．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的
3．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果
()0E f x dx =⎰，则()0.f x a e =于E
4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =
实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于
2.闭集.
3.(a,b)G ⊆
4.≥
5.≥
6.黎斯
7.不一定 不一定
8.界变差函数.
二、单选题
1.B
2.B
3.A
4.B
三、多选题
1.BD
2.CD
3.BD
4.ABC
四、判断题
√×√√
五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
2.答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞
=⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭ 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.
4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1
于是
()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰
而x 在[]0,1上连续，所以 []()2
121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]
0,112f x dx =⎰. 2.解：令()()()()0,ln cos x n n x n f x x e x n
χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且 ()()()()
0,0,ln cos x n n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰
因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n -++≤≤∀
∈+∞=
不难验证()()ln n x n g x n
+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞
=，所以 ()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()
0,00dx +∞==⎰ 由勒贝格控制收敛定理 ()()0,lim 0n n f x dx →∞+∞=⎰ 故()()
0,ln lim cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰.
七、证明题
1.证明 对任何正数0σ>，由于
|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-
所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σ
σ
⊂-≥-≥
于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σ
σ
≤-≥+-≥0()n →→∞
故()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2.证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而
|()||()|f x g x +L -可积，
|()||()|f x g x =+
E 上L -可积
3.证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA > 由于1
1[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥，所以存在1N ≥，使 1[|()]0mE x f x d N ≥
=> 于是11[|()][|()]111()()[|()]0E E x f x E x f x N N
d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰ 因此
()0E f x dx >⎰，矛盾，故()0.f x a e =于E 4.证明
\()()()()()(\)(c c c c c A B C A B C A B C A B A C A B A C
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