实变函数试题库(3)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（3） 本科

一、填空题

1．设,A B 为集合，则()

\B A

B A A B

2．设A 为无理数集，则A c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 3．设n

E ⊂

，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是

4．任意个闭集的交是

5．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ∀∈，()E x a f x

b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，

（a b ≤）则称()f x 在E 上 6．可测函数列的上确界也是

7．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒

8．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}

n f x 有子列()k n f x ，使 ..a e 于E 二、选择题

1．下列集合关系成立的是（ ）

A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫=

⎪⎝⎭ B c

c

A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C c

c

A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D c

c c

A A αααα∈Λ∈Λ

⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2．设n R E ⊂，则( )

A E E ⊃

B E E '⊂

C E E '⊂

D

E E =

3．设P 为康托集，则（ ）

A P 是可数集

B 0mP =

C P 是不可数集

D P 是开集 4．下列集合关系成立的是（ ）

A 若A

B ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂

C 若A B ⊂则A B B =

D 若A B ⊂则A B B =

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩

为中有理数

为中无理数，则（ ）

A ()D x 几乎处处等于1

B ()D x 几乎处处等于0

C ()

D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数

2．设n

E ⊂

，*

0m E =，则（ ）

A E 是可测集

B E 的任何子集是可测集

C E 是可数集

D

E 不一定是可数集

3．设n

E ⊂

，()10E c

x E

x x E

χ∈⎧=⎨

∈⎩，则（ ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数

D 当()

E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集

4．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（ ）

A ()f x 在(),a b 上有界

B ()f x 在(),a b 上可测

C ()f x 在(),a b 上L 可积

D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积

四、判断题

1. 对等的集合不一定相等. （ ）

2. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集. （ ）

3. 可数个开集的交是开集 （ ）

4. 可测函数不一定是连续函数. （ ）

5. 对等的集合有相同的基数. （ ） 五、定义题

1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.

2. 简述1

R 中开集的结构.

3. 可测集与闭集、

F σ

集有什么关系？

4. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？

六、计算题

1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪

=⎨

⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦

⎩

，E 为0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎰.

2. 设()()

[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞⎰.

七、证明题

1．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]a

f x E

mE x f x a e e dx -≥≤⎰

2．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞

=

则lim ()()n

E E

n f x dx f x dx →∞=⎰⎰

3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =

4．设n E R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =

5. 证明：1

R 上的实值连续函数()f x 必为1

R 上的可测函数

本科实变函数试题库及参考答案（3）

一、填空题

1.=

2.=

3.开集

4.闭集

5.可测

6.可测函数

7.()()f x g x

8.()()k n f x f x →

二、单选题

1.B

2.A

3.B

4.A

三、多选题

1.BCD

2.ABD

3.AB

4.BD 四、判断题 √√×√√ 五、定义题 1.答：若A

B B *⊂，又B A A *⊂，则A B

2.答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并.

3.答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃闭集F E ⊂，使()\m E F ε<或∃ F σ集F E

⊂，

使

()\0

m E F =.

4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微. 六、解答题

1.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是

()0,0,22cos f x dx xdx ππ

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

=⎰⎰

而cos x 在0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []

()2200

0,1cos cos sin |1xdx R xdx x π

π

===⎰⎰

因此

()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

=⎰

2.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =

又()()[]2222

cos 1

,0,1,1,2,1122

n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =

≤≤=

∈=++