高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向

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[小组合作型]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线 l1 的一个方向向量为(－7,3,4)，直线 l2 的一个方向向量 为(x，y,8)，且 l1∥l2，则 x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点 A(2,0,1)，B(2,6,3)，P 是直线 AB 上一点， 且满足 AP∶PB＝3∶2，则直线 AB 的一个方向向量为________，点 P 的坐标为 ________．
【解析】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则nn··AA→→BC＝＝z－＝x0＋，y＋z＝0， 令 x＝1，则 y＝1，z＝0， 即 n＝(1,1,0)， 则平面 ABC 的一个法向量为(1,1,0)．
【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
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1．应注意直线 AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个． 2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线 的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
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求平面的法向量
如图 3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，
SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SBA
设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，u)，有 n⊥D→C，n⊥D→S，则 n·D→C＝(1，λ， u)·12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.
n·D→S＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0，∴u＝12，∴n＝1，－12，12.
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1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
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1．平面 α 内一条直线 l 的方向向量为 a＝(2,3，－1)，平面 α 的法向量为 n ＝(－1,1，m)，则 m＝________.
【解析】 易知 a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得 m＝1. 【答案】 1
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2．已知 A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC 的法向量为________. 【导学号：09390079】
与平面 SCD 的法向量． 【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向
量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用
图 3-2-1
直接法求出；若没有，设出法向量 n，再利用待定系数法求解．
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【自主解答】 ∵AD，AB，AS 是三条两两垂直的线 段，∴以 A 为原点，以A→D，A→B，A→S的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，A→D＝12，0，0是平面 SBA 的法向量，
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2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向 量． (2)取特值：在求 n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个取特殊值， 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量 n＝(x，y，z)的某个坐标为某特 定值时，一定要注意这个坐标不为 0.
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教材整理 2 平面的法向量
阅读教材 P99 中间部分，完成下列问题． 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称_向__量__n_垂____ _直__于__平__面___α，记作__n_⊥__α___.此时，我们把向量 n 叫做_平__面__α_的__法__向__量____．
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【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)A→B即是直线 AB 的一个方向向量，利用A→P＝35A→B求点 P 的坐标． 【解析】 (1)由 l1∥l2 可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以－x7＝3y＝84，
解得 x＝－14，y＝6.
(2)A→B＝(0,6,2)是直线 AB 的一个方向向量．
由 AP∶PB＝3∶2，得A→P＝35A→B.
设 P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝35(0,6,2)，
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即 x－2＝0，y＝158，z－1＝2·35， 解得 x＝2，y＝158，z＝151， 所以直线 AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点 P 的坐标为2，158，151. 【答案】 (1)－14 6 (2)(0,6,2) 2，158，151
阶
阶
段
段
一
三
3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点) 3．平面法向量的设法．(易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线的方向向量 阅读教材 P99 上半部分，完成下列问题． 我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及_与__e_共__线____的非零向量叫做直线 l 的 _方__向__向__量___．
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已知直线 l 过 A(3,2,1)，B(2,2,2)，且 a＝(2,0，x)是直线 l 的一个方向向量， 则 x＝________.
【解析】 A→B＝(－1,0,1)，由题意知，a∥A→B，则存在实数 λ，使 a＝λA→B，
即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即2x＝＝λ－，λ， ∴λ＝－2，x＝－2. 【答案】 －2