第6章 贪心法

6.2.3 算法正确性
定理6－1 如果p0/w0p1/w1pn－ 1/wn－1 ，则程序6－2求 得的背包问题的解是最优解。
6.3 带时限的作业排序
6.3.1 问题描述
设有一个单机系统、无其它资源限制且每个作业运行相 等时间，不妨假定每个作业运行1个单位时间。 现有n个作业，每个作业都有一个截止期限di>0，di为整 数。如果作业能够在截止期限之内完成，可获得pi>0的收 益。 问题要求得到一种作业调度方案，该方案给出作业的一 个子集和该作业子集的一种排列，使得若按照这种排列 次序调度作业运行，该子集中的每个作业都能如期完成， 并且能够获得最大收益。也就是说这种作业调度是最优 的。
6.1 一般方法
在根据最优量度标准选择分量的过程中，还需要使用 一个可行解判定函数。 贪心，即希望每一步决策都是正确的。 贪心策略并不是从整体上加以考虑的，他只是某种意 义上的局部最优选择，也就是说，每一步决策只是在 当前看来是最优的，因此贪心法不能保证对所有问题 都得到整体最优解。 但对于许多问题，如图的最小代价生成树问题、单源 最短路径问题等，使用精心考虑的选择准则，的确能 产生整体最优解。 贪心法所做出的选择只是当前看似最佳选择，必须进 一步证明该算法最终导致问题的一个整体最优解。
目标函数
max
pi xi
i 0
pi 0 , 0 xi 1 , 0 i n
6.2.2 贪心法求解
例6－1
设有载重能力M=20的背包，3件物品的重量为: （w0,w1,w2）=(18,15,10)，物品装入背包的收益 为：（p0,p1,p2）=(25,24,15)。
例6－3 设n=5个作业， 作业的时限为:(d0,d1,d2,d3,d4)=(2,2,1,3,3), 收益为: (p0,p1,p2,p3,p4)=(20,15,10,5,1)。
【程序6－4】带时限的作业排序程序 int JS(int *d, int *x, int n) { //设p0p1pn-1 int k=0; x[0]=0; for (int j=1;j<n;j++){ int r=k; while (r>=0 && d[x[r]]>d[j] && d[x[r]]>r+1) r--; if((r<0||d[x[r]]<=d[j]) && d[j]>r+1){ for (int i=k;i>=r+1;i--) x[i+1]=x[i]; x[r+1]=j; k++; } } return k; }
WPL w k l k
k 1
wenku.baidu.com 6.4.2 贪心法求解
两路合并最佳模式问题的最优量度标准为带权外路径 长度最小。
两路合并最佳模式的贪心算法简述如下：
设W＝{w0,w1 ,,wn－1}是n个有序文件的 长度；以每个权值作为根结点值，构造n棵只有根 的二叉树； 选择两棵根结点权值最小的树，作为左右子树构造 一棵新二叉树，新树根的权值是两棵子树根的权值 之和； 重复第2步，直到合并成一棵二叉树为止。
6.3.5 作业排序贪心算法
定理6－3提供了一种高效的可行解判定方法。使得在按 最优量度标准，即按作业收益的非增次序选择下一个作业 后，可以有效地判定是否可将该作业加入已生成的部分解 向量X。 具体判定方法：
对任意一个部分解作业子集（x0,x1,…,xk），使X中作业按 时限的非减次序排列，设 =（0, 1,…,k），d 0 ≤ d 1 ≤…≤ d k 是X的这样的排列，为了判定是否为可行的调度 方案，只需对每个作业j 判断d j ≥j+1是否成立。
6.4 最佳合并模式
6.4.1 问题描述
两路合并外排序算法通过反复执行将两个有序子文件 合并成一个有序文件的操作，最终将n个长度不等的 有序子文件合并成一个有序文件。 合并n个有序子文件成为一个有序文件的合并过程可 以有多种方式，称为合并模式。
6.4.1 问题描述
每执行一次合并需将两个有序文件的全部记录依次从 外存读入内存，还需将合并后的新文件写入外存。 采用不同的两两合并方案，完成合并所需进行外存读 /写的记录总数不同（社队一个记录的读和些合计为 一次）。 在整个合并过程中，需从外存读写的记录数最少的合 并 方 案 称 为 最 佳 合 并 模 式 （ optimal merge pattern）。 可以用合并树描述一种合并模式。
为了判断作业j是否允许添加到部分解向量中，具 体做法是：
将作业j按时限的非减次序插入向量（x[0], x[1], x[2],…, x[k]）中的某个位臵，是的插入作业j后，由 k+1个分量组成的部分解向量仍按时限的非减次序排列。 设j被插于下标r+1处。则作业x[r+1]…x[k]在向量 中的位臵都必须依次后移一位，形成一个新的部分解向 量。 为了保证在添加作业j后的作业子集仍能够构成可行解， 必须满足下列两点要求： d[x[j]]>j+1, r+1 ≤ j ≤ k d[j]>r+1,
6.2 背包问题
6.2.1 问题描述
已知一个载重为M的背包和n件物品，第i件物品的 重量为 wi，如果将第i件物品全部装入背包，将有 收益pi，这里，wi>0，pi>0，0≤i<n。 所谓背包问题是指求一种最佳装载方案，使得收益 最大。 背包问题是现实世界一个常见的最优化问题。
6.2.1 问题描述
6.3.6 一种改进算法
本小节将介绍一种带时限作业排序的快速算法，它 采用不同于前者的可行解判定方法，可使算法的时 间从(n2)减少到接近O(n)。
例6－3 设n=5个作业， 作业的时限为:(d0,d1,d2,d3,d4)=(2,2,1,3,3), 收益为: (p0,p1,p2,p3,p4)=(20,15,10,5,1)。
6.1 一般方法
6.1 一般方法
最优化问题（optimization problems）
问题给定某些约束条件（constraint），满足这些约束 条件的问题解称为可行解（feasible solution）。通 常满足约束条件的解不是惟一的。
目标函数（objective function）
6.4.1 问题描述
例6－4 设有5个有序子文件（F1,F2,F3,F4,F5），其长度分别 为（20，30，30，10，5）。现通过两两合并将其合并成一个 有序文件。
6.4.1 问题描述
两路合并树表达的合并方案确定了合并排序过程中所 需读/写的记录总数，这个量正式该两路合并树的带权 外路径长度。 带权外路径长度是针对扩充二叉树而言的。 扩充二叉树（extended binary tree）中除叶子结点 外，其余结点都必须有两个孩子。 扩充二叉树的带权外路径长度（weighted external path length）定义为： m
template<class T> void Knapsack<T>::GreedyKnapsack(float* x) { //前置条件：w[i]已按p[i]/w[i]的非增次序排列 float u=m; for (int i=0;i<n;i++) x[i]=0; for (i=0;i<n;i++) { if (w[i]>u) break; x[i]=1.0; u=u-w[i]; } if (i<=n) x[i]=u/w[i]; }
6.1 一般方法
贪心法是通过分步决策（stepwise decision）的方法来 求解问题的。 贪心法每一步上用作决策依据的选择准则被称为最优 量度标准（optimization criterion）或称为贪心准则 （greedy criterion），也称贪心选择性质。 在初始状态下，解向量为空。使用最优量度标准，一 次选择一个分量，逐步形成解向量（x0,x1,x2,…,xn-1）。 算法过程中生成的向量（x0,x1,x2,…,xk）（k<n）称为 部分解向量，或部分向量。
6.2.2 贪心法求解
背包问题
背包问题的解可以表示成一个n-元组：X=(x0,x1,,xn－1)，0xi1， 0i<n，每个xi是第i件物品装入背包中的部分。
判定可行解的约束条件是：
n1 i 0
wi xi M
n1
wi 0 , 0 xi 1 , 0 i n
6.3.3 算法正确性
定理6－2 程序6－2的贪心算法对于带时限作业排序问题将得 到最优解。
6.3.4 可行性判定
定理6－3
X=（x0,x1,…,xk）是k个作业的集合，=（0, 1,…,k）是X 的一种特定排列，它使得，其中， 是作业j的时限。X是一个可行解当且仅当X中 的作业能够按次序调度而不会有作业超期。
6.3.2 贪心法求解
例6－2 设有4个作业，每个作业的时限为 (d0,d1,d2,d3)=(2,1,2,1),收益为 (p0,p1,p2,p3)=(100,10,15,27)。
【程序6－3】带时限作业排序的贪心算法 void GreedyJob(int d[], Set X, int n) { //前臵条件：p0p1,…,pn-1 X={0}; for (int i=1;i<n;i++) if ( 集合 X{i} 中作业都能在给定时限内完成) X=X{i}; }
按物品重量的非降次序选择物品 以重量为度量标准，让背包载重慢慢消耗
试验标准3：
选择使单位重量收益最大的物品装入背包，即 按pi/pw的非增次序选取物品。
【程序6－2】背包问题的贪心算法 template<class T> class Knapsack { public: Knapsack(int mSize,float cap,float *wei,T *prof); void GreedyKnapsack(float* x); …… private: float m,*w; T *p; int n; };
算法分析与设计
鲁 敏（讲师） 中南财经政法大学信息学院 ulula@yahoo.cn 2013年7月22日 lumiousy@yahoo.com.cn
第6章 贪心法
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 一般方法 背包问题 带时限的作业排序 最佳合并模式 最小代价生成树 单源最短路径 磁带最优存储 贪心法的基本要素
两类背包问题:
如果每一件物品不能分割，只能作为整体或者装入背包， 或者不装入，称为 0/1背包问题； 如果物品是可以分割的，也就是允许将其中的一部分装 入背包为一般背包问题或简称背包问题。
0/1背包问题看似简单，却无法用贪心法求得它的 最优解，而只能的到它的近似解。 本节讨论一般背包问题（背包问题）。
6.2.2 贪心法求解
用贪心法求解，找出最优量度标准是至关重 要的。 如何得到最优量度标准并没有现成的方法。 一般需要根据现有的知识和经验，通过猜测 形成一些选择准则，并进行测试找出规律。
6.2.2 贪心法求解
试验标准1：
选取目标函数作为度量标准 不考虑重量，收益优先
试验标准2：
为了衡量可行解的好坏，问题还给出了某个数值函数，称 为目标函数。
最优解（optimal solution）
使目标函数取最大（或最小）值的可行解称为最优解。
6.1 一般方法
穷举法（brute force approach）
假定所有的可行解都属于一个候选解集，若该 候选解集是有限集，从理论上讲可以用穷举法。 一一考察候选解集中的每一个，检查它是否满 足约束条件。 若某个候选解能满足约束条件，便是可行解。 通过衡量可行解，找到最优解。 当候选解集十分庞大时，这种方法费时而且不 经济，当候选解集为无穷集合时，无法求解。
6.1 一般方法
【程序6－1】贪心法 SolutionType Greedy(SType a[],int n) { SolutionType solution=; for(int i=0;i<n;i++){ SType x=Select(a); if (Feasiable(solution, x)) solution=Union(solution, x); } return solution; }