高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
A
M
B
C
证法一：设直线 AM 与 BC 交于 H，连结 BE，CD，
则知∠BEC=∠BDC= 900 ，
直线 FME 与△ACH 相截，直线 GMD 与
△ABH 相截，由梅氏定理得：
AM HF CE 1， AM HG BD 1
D
MH FC EA MH GB DA
两式相除得 FH CF AE BD HG CE BG DA
A
FK
E
LN
B
DC
证明：设△ABC 的垂心为 H，由 AK EF，CF AB，知 ∠FAK=∠EFH，注意到 A，F，H，E 四点共圆， 知∠FAK=∠EAH，知 AO 与 AK 重合。同理 BO 与 BL 重合，CO 与 CN 重合，故 AK，BL，CN 三线共点于△ABC 的外心 O.
证明：观察三角形 C1B1O，可以看出，K、B2、C2 分别在 C1B1、B1O、OC1 或其延长线上，且 B2、K、C2 三点共线， 根据梅涅劳斯定理可得： C1K B1B2 OC 2 1
KB1 B2O C2C1 同理：观察三角形 OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得： A1L B1B2 OA2 1 LB1 B2O A2 A1 观察三角形 OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得： C1M A1 A2 OC 2 1 MA1 A2O C2C1
或 OA=OB=OC；
A
A
O
B
D
C
D
B
C
O
（2）外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余（如上 左图），即∠OBC+∠A＝90°
二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心； 重心将每条中线都分成定比 2:1； 中线长度公式 AD= 1 2AC2 2AB2 BC2 2
重心的性质：G 为△ABC 的重心，
O、E 分别四点共圆。
得：∠A’OF=∠B，∠A’OE=∠C
由 A' F = OA' = OA' = A' E sin A'OF sin OFA' sin OEA' sin A'OE
由 A' F = sin A'OF = sin B = AC A' E sin A'OE sin C AB
E
的垂心（称为一垂心组，且一垂心组的
四个外接圆的圆心组成另一个垂心组，
与原垂心组全等。）
B
H
D
C
（3）设△ABC 的三条高线为 AD，BE，
CF，其中 D，E，F 分别为垂足，H 为垂心，则对于 A，B，C，
H，D，E，F 有六组四点共圆，有三组相似三角形，且 AH·HD
＝BH·HE＝CH·HF
（4）O 是外心，H 是垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABO=∠
FH

CD

BD =
S DBC
=
DF

DM
，从而 MH//DF，
HG BE CE SEBC EG MG
而 DF⊥BC，则 MH⊥BC，故 AM⊥BC
证法二：作高 AH，连 BE，CD，则∠BEC=∠BDC= 900
于是 DF BD sin B BC cosB sin B ， EG BC cosC sin C
则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是: BP CQ AR 1 PC QA RB
A
A
RQ
BP
C
P BC
R
Q
3.托勒密定理： 定理：四边形 ABCD 中，有：
AB·CD+AD·BC AC·BD 并当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等号成立。
A D
B
C
4.西姆松定理：P 是 ΔABC 的外接圆⊙O 上的 任意一点，PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥CA，垂 足为 E、D、F，则 E、D、F 三点共线． 西姆松的逆定理：从一点 P 向 ABC的三边（或延
五、旁心
（1）∠BIAC＝90º－12∠A，∠BIBC＝∠BICC＝12∠A
（2）设 AIA 的连线交△ABC 的外接圆于 D，
则 DIA＝DB＝DC
A
I
B
C
D
IA
例 1．过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M；引 PN∥BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证：P′点在△ABC 外 接圆上.
例 4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边 所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）
K
已知：若△A1B1C1 与△A2B2C2 的对应顶点连线 A1A2、B1B2、 C1C2 相交于一点 O，则对应边 B1C1 与 B2C2 的交点 K、C1A1 与 C2A2 的交点 L、A1B1 与 A2B2 的交点 M 共线。
DC H'
四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心（三角平分线的交
点）。性质：
（1）张角公式∠BIC＝90º＋12∠A； （2）设 I 为△ABC 的内心，射线 AI 交△ABC 外接圆于 A′，则有 A ′I=A′B=A′C.换言之，点 A′必是△IBC 之外心(内 心的等量关系之逆同样有用).
在 Rt△DBC 与 Rt△EBC 中，有
CD2 BC FC ， BE2 BC BG
BF
A
E M HG C
即 CF CD 2 ，代入上式得 FH CD2 AE BD
BG BE 2
HG BE 2 CE AD
又 ABE∽ACD，有 AD CD 代B HG AD MG AC MG AD
故 BH GM DA 1 HG MD AB
对△BDG 应用梅氏定理逆定理，知 H，M，A 三点共线 由 AH⊥BC，故 AM⊥BC
例 2. 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F， 满足∠BAE=∠CAF，作 FM⊥AB，FN⊥AC（M、N 是垂 足），延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D． 证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等．
长线）作垂线，若其垂足 L，M，N 在同一直线上，
则点 P 在 ABC的外接圆上。
例1．以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆， 分别与 AB、AC 交于点 D 和 E，分别过 D、 E 作 BC 的垂线，垂足依次为 F、G，线段 DG 和 EF 交于点 M，求证：AM⊥BC （IMO-37国家队选拔题）
由于 P′P 平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.
例 2．如图，设圆 O 是△ABC 的内切圆，BC，CA， AB 上的切点各是 D，E，F，射线 DO 交 EF 于 A’，同样可得 B’，C’，试证：直线 AA’， BB’，CC’共点。
A
F A' E
B'
O C'
B
D
C
证明：连结 A’B，A’C，易知 B、D、O、F 及 C、D、
则 GA2＋GB2＋GC2＝13（AB2＋BC2＋CA2）
三、垂心
三角形三条高的交点，称为三角形的垂心。由三角形的垂
心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便
利。
A
性质：（1）∠BHC＝180º－∠A＝∠B＋
∠C
（2）H 为垂心，则 H，A，B，C 四
F
点中任一点是其余三点为顶点的三角形
第一部分【几个著名定理】 1．梅涅劳斯（Menelauss）定理
设 ABC的边 AB，BC，CA 或其延长线分别交于点 P,Q, R ，且 有奇数个点在边的延长线上（如图）则 P，Q，R 三点共线的充要条
件是： AP BQ CR 1 。 PB QC RA
2.塞瓦定理：
设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点， 且有偶数个点在延长线上，
以上三式相乘得： C1K B1L A1M 1 KB1 LA1 MC1
可以看到，在三角形 B1A1C1 中，L、K、M 分别在 A1B1、 B1C1、C1A1 或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判 断 L、K、M 共线。
第二部分【三角形五心研究】 一些重要结论： 一、外心：（1）O 为三角形外心的充要条件： ∠BOC＝2∠A，∠BOA＝2∠C，∠AOC＝2∠B （钝角三角形中为：∠BOC＝360°-2∠A，角 A 为钝角，如下右图）；
A
B
D
C
E
F
证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中， AB交CD于点E，BC交AD于点F， 圆BCE与圆CDF的另一个交点为G BGF BGC CGF BEC CDA BGF A 180，即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G 圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G 若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P， 由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上， M、N、P在一条直线上， 故L、M、N、P在同一条直线上
A
I
B
C
A'
（3）设 I 为△ABC 的内心，BC=a，AC=b，AB=c， ∠A 的平分线交 BC 于 K，交△ABC 的外接圆于点 D，则 AI AD DI b c KI DI DK a
A
OI
B
K
C
D
（ 4 ） △DEF 为 切 点 三 角 形 ， 则 AD=AF=p-a ， BD=BF=p-b，CE=CF=p-c
分析：由已知可得 MP′=MP=MB， NP′=NP=NC，
故点 M 是△P′BP 的外心，点 N
P' A N
是△P′PC 的外心。
M
有∠BP′P= 1 ∠BMP= 1 ∠BAC， B
P
C
2
2
∠PP′C= 1 ∠PNC= 1 ∠BAC。
2
2
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
∴P′点与 A，B，C 共圆、即 P′在△ABC 外接圆上.
A
FK
E L ON
B
DC
例 4．如图，在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5， ∠A 的平分线 AD 交△ABC 的外接圆于 K，
△ABC 的外心，内心分别是 O，I，求证：OI AK。
A
O I
B
C
K
证明：连结 KO 并延长交圆 O 于 E，连结 AE，
则∠KAE= 900 ， EK 2 OK
所以 DF DM sin B cosB AC cosB EG MG sin C cosC AB cosC
又 BH AB cosB, HG AE cosC
所以 BH AB cosB AC cosB HG AE cosC AD cosC
2
4R
S ABC

1 2
AB
AF sin(

)
1 2
AC
AF sin
AF (AB CD AC BD) 4R
由托勒密定理可知： AB CD AC BD AD BC ，故结论
成立。
例３.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆 相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直 线上 已知：四条直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ中，ＡＢ交ＣＤ于 点Ｅ，ＢＣ交ＡＤ于点Ｆ 求证： ADE， ABF， BCE， CDF 的外接圆相交于一 点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。