1网络图论

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C
• D
B
欧拉得出了一般结论， 欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必 充分条件是奇次顶点 奇次顶点（ 要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数 为奇数）的数目为0或 。 为奇数）的数目为 或2。显然右图不满足此条件 因此，七桥问题的答案是否定的。 ，因此，七桥问题的答案是否定的。 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地， 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段 表示桥。图论中， 表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此， 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图 就是一些点与线段的集合。 就是一些点与线段的集合。
m＝l＝b-(nt-1) =b-n。 ＝＝ 。
b＝nt ＝ 3。 ＝ 。 m＝l＝b-(nt-1) =1。 ＝＝ 。
增加虚线部分： 增加虚线部分： b＝8 ， nt ＝ 7 。 ＝ m＝l＝b-(nt-1) =2。 ＝＝ 。
§1-3 割 集
割集(cut set) ： 割集
任一连通图G中 符合下列两个条件的支路集 任一连通图 中，符合下列两个条件的支路集 叫做图G的割集 的割集。 叫做图 的割集。 (1) 该支路集中的所有支路被移去 但所有节 该支路集中的所有支路被移去(但所有节 点予以保留)后 原连通图留下的图形将是两个 两个彼 点予以保留 后，原连通图留下的图形将是两个彼 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点） 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点）； (2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余 该支路集中，当保留任一支路， 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 通的。 通的。
基本概念 树支(tree branch)：树中的支路叫做树支。 树支 ：树中的支路叫做树支。
树余中的支路叫做连支。 连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。 连支
任一连通图G中可以选出许多不同的树。 任一连通图 中可以选出许多不同的树。 中可以选出许多不同的树 但树一经选定后， 的所有支路中， 但树一经选定后，图G的所有支路中，哪些是 的所有支路中 树支，哪些是连支，就完全确定了。 树支，哪些是连支，就完全确定了。
平面图(planar graph)： 平面图 ：
凡是能在一个平面上绘出， 凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条 支路在一个非节点处交叉的图，称为平面图。 支路在一个非节点处交叉的图，称为平面图。 一个平面图的网孔数m等于图的基本回路数 一个平面图的网孔数 等于图的基本回路数l 。 等于图的基本回路数 即：m＝l＝b-(nt-1) =b-n。 ＝＝ 。
网络的图
网络的图只表明网络中各支路的联接情况， 网络的图只表明网络中各支路的联接情况，而不 联接情况 涉及元件的性质。 涉及元件的性质。即它只是用以表示网络的几何结构 或拓扑结构）的图形。 （或拓扑结构）的图形。
网络的图
M
右图网络的网络图中包含有两个独 立部分。虽然网络中存在互感， 立部分。虽然网络中存在互感，但在网 络图中并不反映出磁耦合M，因为M属 络图中并不反映出磁耦合 ，因为 属 于网络中支路的特性， 于网络中支路的特性，而不属于网络图 的性质。 的性质。 一个网络图可以有多个独立部分。 一个网络图可以有多个独立部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 基本割集
只包含一条树支的割集叫做单树支割集或 只包含一条树支的割集叫做单树支割集或 一条树支的割集叫做单树支割集 基本割集 。
由每一树支决定的 基本割集是唯一 唯一的 基本割集是唯一的。 基本割集数： 基本割集数：n
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左面两个图， 左面两个图，上面的图中包含有一 个单独节点， 个单独节点，下面的图中有一条支路的 两端终止在同一个节点上， 自环” 两端终止在同一个节点上，称“自环” 这些情况都属于图，但对“自环” 。这些情况都属于图，但对“自环”图 将不作讨论。 ，将不作讨论。
独立源和受控源的处理
方法一：单独作为一条支路处理； 方法一：单独作为一条支路处理； 方法二：采用复合支路（本章多采用此方法） 方法二：采用复合支路（本章多采用此方法） 复合支路
图论是数学家欧拉创始的。 图论是数学家欧拉创始的。 A 1736年欧拉解决了有名的难题 年欧拉解决了有名的难题， 1736年欧拉解决了有名的难题，哥 尼斯堡城七桥问题。 尼斯堡城七桥问题。该镇的普雷格 C D 尔河中有两个小岛， 尔河中有两个小岛，共有七座桥与 两岸彼此连通，问题： 两岸彼此连通，问题：从陆地或岛 B 上任一地方开始， 上任一地方开始，能否通过每座桥 一次且仅仅一次就能回到原地。 一次且仅仅一次就能回到原地。 欧拉用顶点表示陆地区域， 欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应 顶点的线段表示各座桥（如左图）， ），于是七 顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七 桥问题就变为一道数学问题： 桥问题就变为一道数学问题：在下图中是否 可能连续沿各线段， 可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过 各线段一次且仅仅一次又回到出发点， 各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是 否存在一条“单行曲线” 一笔画” 否存在一条“单行曲线”,即“一笔画”。
在图G中 如果任意两个节点之间至少有一条路 在图 中，如果任意两个节点之间至少有一条路 径存在，则此图称为连通图，否则就称为非连通图。 径存在，则此图称为连通图，否则就称为非连通图。
本书主要讨论连通图。 本书主要讨论连通图。
树和树余·树支和连支 §1-2 树和树余 树支和连支
树(tree)： T ：
有向图
标明各支路参考方向的图称为有向图。 标明各支路参考方向的图称为有向图。 参考方向的图称为有向图
子图(subgraph) ： 子图
如果图G 中的每一个节点和支路都是图G中 如果图 a中的每一个节点和支路都是图 中 的节点和支路，即图G 是图G的一部分 的一部分， 的节点和支路，即图 a是图 的一部分，则Ga叫 G的子图 的子图。 做G的子图。
树是一个连通图的子图，该子图也是一个连通 树是一个连通图的子图，该子图也是一个连通 子图 该子图包含了连通图G的全部节点， 图，该子图包含了连通图 的全部节点，但不包含 任何回路。 任何回路。
树余(cotree) ： 树余
连通图中与树互补的子图叫做树余。 连通图中与树互补的子图叫做树余。 互补的子图叫做树余
将电压源（含受控电压源） 将电压源（含受控电压源）连同串联的元件作 为网络的一条复合支路； 为网络的一条复合支路； 将电流源（含受控电流源） 将电流源（含受控电流源）连同并联的元 件作为网络的一条复合支路； 件作为网络的一条复合支路； 由无源元件、电压源、电流源串并联组成 由无源元件、电压源、 的部分也作为网络的一条复合支路； 的部分也作为网络的一条复合支路；
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数学家欧拉
C
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分析：除了起点以外， 分析：除了起点以外，每一次当一个人 由一座桥进入一块陆地（或点） 由一座桥进入一块陆地（或点）时，他 或她）同时也由另一座桥离开此点。 （或她）同时也由另一座桥离开此点。 所以每行经一点时，计算两座桥（ 所以每行经一点时，计算两座桥（或 ），从起点离开的线与最後回到始点 线），从起点离开的线与最後回到始点 的线亦计算两座桥， 的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与 其他陆地连接的桥数必为偶数。 其他陆地连接的桥数必为偶数。
树支和连支的个数
树是连通全部节点所需要的为数最少的支路 树是连通全部节点所需要的为数最少的支路 的集合。 的集合。
把n+1个节点全部 个节点全部 连通以构成一种树时， 连通以构成一种树时， 至少需要n条支路 条支路。 至少需要 条支路。 树支的个数 ：n
树支和连支的个数
连支数等于全部支路数减去树支数。 连支数等于全部支路数减去树支数。 连支的个数 ：b-n
补图(complement subgraph)： 补图 ：
如果图G的子图 包含了G的所有支路和节 如果图 的子图Ga和Gb包含了 的所有支路和节 的子图 而且G 又没有公共的支路 支路， 点，而且 a和Gb又没有公共的支路，则Ga和Gb互为 补图。 补图。
路径(path)： ： 路径
条不同的支路和m+1个不同的节点依次 由m条不同的支路和 条不同的支路和 个不同的节点依次 联接成的一条通路称为路径。 联接成的一条通路称为路径。 如支路1、4、6构 如支路 、 、 构 成一条路径。 成一条路径。 支路数： ＝ 支路数：m＝3 节点数： 节点数：m+1=4
本章主要内容： 本章主要内容：
本章主要介绍网络图论的基本知识。 本章主要介绍网络图论的基本知识。
有向图、连通图、子图等基本概念； 有向图、连通图、子图等基本概念； 树支、连支； 树、树支、连支； 基本割集、基本回路； 基本割集、基本回路； 关联矩阵、基本割集矩阵、基本回路矩阵。 关联矩阵、基本割集矩阵、基本回路矩阵。
下册主要内容
网络图论 网络方程的矩阵形式 网络的状态方程 二端口网络 均匀传输线的正弦稳态响应 无损耗均匀传输线的波过程
第一章 网络图论
图论是数学领域中一个十分重要的分支， 图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里 所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。 所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。 网络图论也称网络拓扑。 网络图论也称网络拓扑。 从五十年代后期， 从五十年代后期，图论在电路理论中日益得到 重视，特别是大型复杂网络如何系统地列出它的方 重视， 程以便于分析是网络理论所能解决的问题。 程以便于分析是网络理论所能解决的问题。 当电路结构比较复杂时， 当电路结构比较复杂时，传统方法就显得很不 适应， 适应，特别是如何在计算机上把输入的数据自动地 转换为所需要的方程， 转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵 的概念去完成这一任务。 的概念去完成这一任务。
说明割集的图
对于具有s个分离部分的非连通图， 对于具有 个分离部分的非连通图，符合下列 个分离部分的非连通图 条件的支路集叫做割集 。 (1) 该支路集中的所有支路被移去 但所有节点 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点 予以保留)后 原非连通图留下的图形将具有s+1个 予以保留 后，原非连通图留下的图形将具有 个 分离部分； 分离部分； (2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余 该支路集中，当保留任一支路， 的所有支路移去后， 的所有支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只 具有s个分离部分 个分离部分。 具有 个分离部分。
基本要求： 基本要求：
图、连通图和子图的概念
树、回路和割集的概念
树的选取， 树的选取，基本回路和基本割集的选取
§1-1 网络的图
基本概念 ：
将网络中的每一个元件用一条线段代替， 将网络中的每一个元件用一条线段代替，称之 支路； 为支路； 将每一个元件的端点或若干个元件相联接的点 用一个圆点表示，并称之为节点 节点。 用一个圆点表示，并称之为节点。 如此得到的一个点、线的集合，称为网络的图 如此得到的一个点、线的集合，称为网络的图， 网络的 线形图，用符号G代表 代表。 n 的连通图G， 一个节点数为 t=n+1，支路数为 的连通图 ， ，支路数为b的连通图 无论如何选树，恒具有n条树支和 条连支。 条树支和b-n条连支 无论如何选树，恒具有 条树支和 条连支。
基本回路(fundamental loop)： 基本回路 ：
只包含一条连支的回路叫做单连支回路或 只包含一条连支的回路叫做单连支回路或基 一条连支的回路叫做单连支回路 本回路。 本回路。 由每条连支决定的 基本回路是唯一 唯一的 基本回路是唯一的。 基本回路数：b－n 基本回路数： －
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合， 如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的 始端节点和终端节点重合 路径称为回路。 路径称为回路。 如支路1、 、 构成一 如支路 、2、3构成一 个回路。 个回路。
连通图(connected graph)和 连通图 和 非连通图(disconnected graph) : 非连通图